人教版初中数学同步讲义七年级下册第02讲 立方根（解析版）

第02讲立方根课程标准学习目标①立方根的概念②立方根的性质掌握立方根的概念，能够熟练求一个数的立方根以及利用立方根对一个数开立方运算。掌握立方根的性质，能够对其熟练应用。知识点01同类项立方根的概念：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根．记作。其中叫做三次根号。根指数3不能省略。求立方根：求一个数的立方根叫做开立方，与立方运算互为逆运算。【即学即练1】1．求下面数的立方根．（1）﹣8；（2）；（3）±125；（4）81×9．【分析】直接利用立方根的意义计算得出答案即可．【解答】解：（1）因为（﹣2）3＝﹣8，所以﹣8的立方根是﹣2，即＝﹣2；（2）因为（）3＝，所以的立方根是，即＝；（3）因为（±5）3＝±125，所以±125的立方根是±5，即＝±5；（4）81×9＝729，因为93＝729，所以729的立方根是9，即＝9．【即学即练2】2．解下列方程：（1）x3＝512（2）64x3﹣125＝0（3）（x﹣1）3＝﹣216．【分析】（1）根据开立方，可得答案；（2）根据移项、等式的性质，可得乘方形式，根据开方运算，可得答案；（3）根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．【解答】解；（1）开方，得x＝8；（2）移项、系数化为1得，xx＝；（3）开方，得x﹣1＝﹣6，移项，得x＝﹣5．知识点02立方根的性质立方根的基本性质：由立方运算可知，任何数都有立方根，且都只有1个立方根。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根等于它本身的数是0，±1。其他性质：①一个数的立方根的立方等于它本身。即②一个数的立方的立方根等于它本身。即③一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根。即【即学即练1】3．计算＝5．【分析】根据，即可．【解答】解：∵，∴．故答案为：5．【即学即练2】4．计算：＝﹣1．【分析】根据立方根的定义进行解题即可．【解答】解：＝＝﹣1，故答案为：﹣1．题型01求一个数的立方根【典例1】8的立方根为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．64【分析】首先根据立方根的定义求出8的立方，然后就可以解决问题．【解答】解：∵2的立方是8，∴8的立方根为2．故选：B．【变式1】﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．不存在 D．﹣【分析】根据立方根的定义进行解答．【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选：B．【变式2】求下列各数的立方根：（1）0.125；（2）﹣；（3）729．【分析】根据立方根的定义逐个进行计算即可．【解答】解；（1）0.125的立方根是0.5，即＝0.5；（2）﹣的立方根是﹣，即＝﹣；（3）729的立方根是9，即＝9．题型02利用立方根解方程【典例1】求下列各式中x的值．（1）﹣x3＝0.027；（2）8（x﹣1）3＝﹣64．【分析】（1）先两边同时除以﹣1，系数化为1，再开立方法进行解答；（2）先两边同时除以8，系数化为1，再开立方法进行解答．【解答】解：（1）﹣x3＝0.027，x3＝﹣0.027，x＝﹣0.3；（2）8（x﹣1）3＝﹣64，（x﹣1）3＝﹣8，x﹣1＝﹣2，x＝﹣1．【变式1】求下列各式中的x值．①2x3＝﹣②（x+1）3＝8③3（x﹣1）3﹣81＝0．【分析】根据立方根的定义求解即可．【解答】解：①系数化为1得，x3＝﹣，解得：x＝﹣；②开立方得，x+1＝2，解得：x＝1；③移项得，3（x﹣1）3＝81，系数化为1得，（x﹣1）3＝27，解得：x＝4．【变式2】求下列各式中的x．（1）125x3＝8（2）（﹣2+x）3＝﹣216（3）＝﹣2（4）27（x+1）3+64＝0．【分析】题中的四小题都可用直接开立方法进行解答．【解答】解：（1）∵x3＝＝，∴x＝．（2）∵（﹣2+x）3＝﹣216＝（﹣6）3，∴﹣2+x＝﹣6，x＝﹣4．（3）∵＝﹣2，∴x﹣2＝﹣8，x＝﹣6．（4）∵（x+1）3＝﹣，∴x+1＝﹣，x＝﹣．题型03立方根的性质【典例1】立方根和算术平方根都等于它本身的数是（）A．0 B．1，0 C．0，1，﹣1 D．0，﹣1【分析】首先设出这个数为x，根据立方根是它本身列式为x3＝x，由算术平方根是它本身列式为＝x，联立两式解得x．【解答】解：设这个数为x，根据题意可知，，解得x＝1或0，故选：B．【变式1】已知，，则x2﹣x的值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0、2或6【分析】根据立方根等于本身的数有0，±1，求出x的值，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：∵立方根等于本身的数有0，±1，∴x﹣1＝0或x﹣1＝±1，解得x＝1或0或2，∴x2﹣x的值为0或2．故选：B．【典例2】（﹣4）3的立方根是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【分析】根据题意可得（﹣4）3＝﹣64，再根据立方根的性质，即可求解．【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，∴（﹣4）3的立方根是．故选：B．【变式1】若a＜0，则化简的结果为（）A．2 B．﹣2 C．2﹣2a D．2a﹣2【分析】结合已知条件，根据算术平方根及立方根的定义化简即可．【解答】解：∵a＜0，∴原式＝﹣a﹣（a﹣2）＝﹣a﹣a+2＝2﹣2a，故选：C．【变式2】若，则k的值为5．【分析】根据立方根的定义即可求得答案．【解答】解：∵＝5﹣k＝k﹣5，∴k＝5，故答案为：5．【典例3】如果，那么x与y的关系是（）A．x＝y＝0 B．x＝y C．x+y＝0 D．xy＝1【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：，由此即可得到答案．【解答】解：∵，∴＝﹣＝，∴x＝﹣y，∴x+y＝0．故选：C．题型04算术平方根、平方根以及立方根综合应用【典例1】一个正数b的平方根为a+1和2a﹣7，则9a+b的立方根是（）A．2 B．3 C．9 D．±3【分析】根据平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0即可求解．【解答】解：∵正数b的平方根为a+1和2a﹣7，∴a+1+2a﹣7＝0，∴a＝2，∴a+1＝2+1＝3，∴b＝32＝9，∴9a+b＝9×2+9＝27，∴9a+b的立方根是3，故选：B．【变式1】若2a+1的平方根是±3，3b﹣1的立方根是2，则a+b的值是7．【分析】根据平方根及立方根的定义分别求得a，b的值，然后将其代入a+b中计算即可．【解答】解：∵2a+1的平方根是±3，3b﹣1的立方根是2，∴2a+1＝9，3b﹣1＝8，解得：a＝4，b＝3，则a+b＝4+3＝7，故答案为：7．【变式2】已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+b+1的立方根2．【分析】根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值后代入a+b+1中计算，然后利用立方根的定义即可求得答案．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，∴2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∴a+b+1＝5+2+1＝8，那么a+b+1的立方根为2，故答案为：2．【变式3】已知a+1的平方根是±2，2a+b﹣2的立方根是2，则a2+b2的算术平方根是5．【分析】根据平方根及立方根的定义求得a，b的值，然后将其代入a2+b2中计算，再利用算术平方根的定义即可求得答案．【解答】解：∵a+1的平方根是±2，2a+b﹣2的立方根是2，∴a+1＝4，2a+b﹣2＝8，∴a＝3，b＝4，则a2+b2＝32+42＝9+16＝25，那么原式的算术平方根是5，故答案为：5．1．﹣的立方根为（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】直接根据立方根的定义解答即可．【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，∴﹣的立方根为﹣．故选：A．2．下列各式中，正确的是（）A． B．﹣（）2＝4 C． D．【分析】依据平方根、平方根立方根、算术平方根的定义和性质求解即可．【解答】解：A、±＝±3，故A正确；B、﹣（）2＝﹣2，故B错误；C、≠﹣3，故C错误；D、＝＝2，故D错误．故选：A．3．下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．1的平方根是1 C．算术平方根等于它本身的数只有0 D．＝﹣【分析】直接根据立方根，平方根，算术平方根的概念解答即可．【解答】解：A.64的立方根是4，不正确，不符合题意；B.1的平方根为±1，不正确，不符合题意；C．算术平方根等于它本身的数只有1和0，不正确，不符合题意；D．＝﹣3，﹣＝﹣3，故＝﹣，正确，符合题意．故选：D．4．甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当a＞0时，；乙：a＜0时，；丙：当a＞0时，，则下列说法正确的是（）A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确【分析】利用平方根，算术平方根和立方根的性质对甲，乙，丙进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵当a＞0时，，∴甲的说法正确；∵a＜0时，﹣＝﹣（﹣a）＝a，∴乙的说法不正确；∵当a＞0时，，∴丙的说法正确．故选：B．5．已知，则的值是（）A．0.1a B．a C．1.1a D．10.1a【分析】根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵，∴．故选：D．6．若a，b为实数，且，则的值为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．3【分析】根据二次根式的被开方数和偶次方为非负数，得到相应的关系式求出a、b的值，然后代入求解，最后求数的立方根即可【解答】解：∵，∴a+1＝0，9﹣b＝0，解得：a＝﹣1，b＝9，∴，故选：B．7．一个正方体木块的体积是27cm3，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，每个小正方体木块的棱长是（）A． B． C． D．【分析】由题意可知每个小正方体木块的体积为cm3，再根据立方根的定义即可求出个小正方体木块的棱长．【解答】解：一个正方体木块的体积是27cm3，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的体积为cm3，所以每个小正方体木块的棱长是cm，故选：A．8．若x＞1，则x2、x，，这四个数中（）A．最大，x2最小 B．x最大，最小 C．x2最大，最小 D．x最大，x2最小【分析】利用实数的大小比较来计算即可．【解答】解：∵x＞1，∴x2＞x＞＞，故选：C．9．若x2＝（﹣3）2，y3＝﹣8，那么代数式x+y的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣5【分析】先由平方根与立方根定义求出x、y值，再代入计算即可．【解答】解：∵x2＝（﹣3）2＝9，∴x＝±3，∵y3＝﹣8，∴y＝﹣2，当x＝3，y＝﹣2时，x+y＝3﹣2＝1；当x＝﹣3，y＝﹣2时，x+y＝﹣3﹣2＝﹣5；∴x+y的值是1或﹣5，故选：D．10．实数介于m和m+1之间（m为整数），则m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据立方根的定义估算出在哪两个连续整数之间即可．【解答】解：∵64＜99＜125，∴＜＜，即4＜＜5，则m＝4，故选：D．11．﹣64的立方根是﹣4．【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解．【解答】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数，可知﹣64的立方根为﹣4．故答案为：﹣4．12．如果一个正数的两个平方根是a+1和2a﹣22，这个正数的立方根是4．【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，然后计算即可．【解答】解：∵一个正数的两个平方根是a+1和2a﹣22，∴a+1＝﹣（2a﹣22），解得a＝7，∴这个正数是64，∴这个正数的立方根是4，故答案为：4．13．已知5x﹣1的平方根是±3，y﹣3的立方根是﹣2，则x+y＝﹣3．．【分析】先根据平方根与立方根的定义求出x与y的值，再代入计算即可．【解答】解：∵5x﹣1的平方根是±3，y﹣3的立方根是﹣2，∴5x﹣1＝（±3）2＝9，y﹣3＝（﹣2）3＝﹣8，∴x＝2，y＝﹣5，∴x+y＝﹣3．故答案为：﹣3．14．已知，则a+b﹣c的立方根是2．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵，∴a﹣6b＝0，c+b＝0，c+1＝0，即，解得：，∴a+b﹣c＝6+1﹣（﹣1）＝8，∴8的立方根是2，故答案为：2．15．若，则x的值为0或﹣1或．【分析】根据立方根的定义得出2x+1＝1或2x+1＝0或2x+1＝﹣1即可．【解答】解：由于，即＝2x+1，所以2x+1＝1或2x+1＝0或2x+1＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣或x＝﹣1，故答案为：0或﹣1或．16．计算：①②﹣③+．【分析】①先开立方，然后进行有理数的乘法运算即可；②先开立方，然后进行有理数的减法运算即可；③先开立方，然后进行有理数的加法运算即可；【解答】解：①原式＝2×（﹣）＝﹣；②原式＝7﹣（﹣0.5）＝7.5；③原式＝﹣+＝﹣1．17．求下列各式中未知数x的值．（1）x3＝﹣；（2）2（x+1）3＝250．【分析】（1）直接开立方求解；（2）两边同时除2，然后开立方求出x+1的值，然后求解x的值．【解答】解：（1）开立方得：x＝﹣；（2）两边同时除2得，（x+1）3＝125，开立方得：x+1＝5，移项得：x＝4，系数化为1得：x＝12．18．已知2a+1的一个平方根是3，1﹣b的立方根为﹣1．（1）求a与b的值；（2）求a+2b的立方根．【分析】根据题意求出a、b的值即可得到答案．【解答】解：（1）∵2a+1的一个平方根是3，∴2a+1＝9，解得a＝4；∵1﹣b的立方根为﹣1，∴b﹣1＝1，解得b＝2；（2）∵a＝4，b＝2，∴a+2b＝4+2×2＝8，∴a+2b的立方根是2．19．某金属冶炼厂将27个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化，铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为