人教版初中数学同步讲义七年级下册第04讲 专题1 点的坐标：规律题（解析版）

第04讲专题1点的坐标：规律题1．小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形OABC，小球P从（0，3）出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0），当小球P第2024次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点P2024的坐标是（）A．（1，4） B．（7，4） C．（0，3） D．（3，0）【解答】解：因为点P1的坐标为（3，0），根据点P的运动方式，结合反射角等于入射角可知，点P2的坐标为（7，4），点P3的坐标为（8，3），点P4的坐标为（5，0），点P5的坐标为（1，4），点P6的坐标为（0，3），点P7的坐标为（3，0），…，由此可见，点P每反弹6次，点的坐标循环出现，由因为2024÷6＝337余2，所以点P2024的坐标为（7，4）．故选：B．2．如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1），点A4（6，3）…，按照这样的规律下去，点A2024的坐标为（）A．（3035，1011） B．（3036，1011） C．（3035，1013） D．（3036，1013）【解答】解：由题知，点A1的坐标为（2，0）；点A2的坐标为（3，2）；点A3的坐标为（5，1）；点A4的坐标为（6，3）；点A5的坐标为（8，2）；点A6的坐标为（9，4）；点A7的坐标为（11，3）；点A8的坐标为（12，5）；…，由此可见，点An的坐标为（），点An﹣1的坐标为（）（n为正偶数）；当n＝2024时，，，所以点A2024的坐标为（3036，1013）．故选：D．3．如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1（﹣2，0），A2（﹣1，﹣1），A3（0，0），⋯；则根据图示规律，点A1020的坐标为（）A．（﹣1，﹣510） B．（2，510） C．（﹣2，510） D．（1，﹣510）【解答】解：由题知，点A1的坐标为（﹣2，0）；点A2的坐标为（﹣1，﹣1）；点A3的坐标为（0，0）；点A4的坐标为（﹣2，2）；点A5的坐标为（﹣4，0）；点A6的坐标为（﹣1，﹣3）；点A7的坐标为（2，0）；点A8的坐标为（﹣2，4）；…，由此可知，点A4n的坐标为（﹣2，2n）（n为正整数），又因为1020÷4＝255，所以2×255＝510，所以点A1020的坐标为（﹣2，510）．故选：C．4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，其对应的点坐标依次为（0，0），（1，0），（1，1），（0，1），（0，2），（1，2），（2，2），（2，1），…，根据这个规律，第2023个点的横坐标为（）A．44 B．45 C．46 D．47【解答】解：第一个正方形上有4个点，添上第二个正方形后，一共有3×3＝9个点，添上第三个正方形后，一共有4×4＝16个点，∵添上第44个正方形后，一共有45×45＝2025个点，∴第2025个点的坐标是（44，0），∴第2023个点的横坐标为44，故选：A．5．如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点（）A．（2024，2） B．（4048，0） C．（2024，4） D．（4048，4）【解答】解：∵第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），第4次从原点运动到点（8，0），第5次运动到点（10，2）……，∴动点M的横坐标为2n，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环，∵2024÷4＝504，∴第2023次运动到点（2×2024，0），即：（4048，0）；故选：B．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向边连续翻转2023次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2023的位置，则P2023的横坐标x2023为（）A．2021 B．2022 C．2023 D．不能确定【解答】解：从P到P4要翻转4次，横坐标刚好加4，∵2023÷4＝505……3，∴505×4﹣1＝2019，还要再翻三次，即完成从P到P3的过程，横坐标加3，则P2023的横坐标x2023＝2022．故选：B．7．如图，在平面直角坐标系中，动点P从A1（1，0）出发，沿着A1（1，0）→A2（2，0）→A3（2，1）→A4（1，1）→A5（1，2）→A6（3，2）→A7（3，4）→A8（1，4）→A9（1，6）→A10（4，6）→⋯的路线运动，按此规律，则点P运动到A47时坐标为（）A．（13，156） B．（1，156） C．（1，144） D．（13，144）【解答】解：由题知，∵A4（1，1），A8（1，4），A12（1，9），…，∴（n为正整数）．当n＝12时，A48（1，144）．再结合点A47和点A48的位置可知，点A47在点A48的右边12个单位长度，∴1+12＝13，故点A47的坐标为（13，144）．故选：D．8．如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…，按这样的运动规律，动点P第2023次运动到点（）A．（2023，0） B．（2022，﹣2） C．（2023，1） D．（2022，0）【解答】解：由题意可知，第1次运动到点（0，1）、第2次运动到点（1，0）、第3次运动到点（2，﹣2）、第4次运动到点（3，0）、第5次运动到点（4，1），∴可得到，第n次运动到点的横坐标为n﹣1，纵坐标为4次一循环，循环规律为1→0→﹣2→0→1，∵2023÷4＝505......3，∴动点P第2023次运动到点的坐标为（2022，﹣2），故选：B．9．如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2023的横坐标为（）A．﹣1010 B．1010 C．1012 D．﹣1012【解答】解：∵图中的各三角形都是等腰直角三角形，斜边长分别为2，4，6，…∴A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），A4（2，2），A5（4，0），A6（1，﹣3），A7（﹣2，0），A8（2，4），A9（6，0），A10（1，﹣5），A11（﹣4，0），A12（2，6），..．总结得出规律：A4n+1（2n+2，0），A4n+2（1，﹣2n﹣1），A4n+3（﹣2n，0），A4n+4（2，2n+2），∵2023＝4×505+3，∴点A2023在x轴负半轴上，横坐标为﹣2×505＝﹣1010．故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2025秒瓢虫在点（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（0，﹣2）【解答】解：∵AB+BC+CD+DA＝3+4+3+4＝14，14÷2＝7，∴瓢虫7秒爬行一圈，∵2025÷7＝289……2，2×2＝4，4﹣3＝1，∴第2025秒瓢虫在点（0，﹣2），故选：D．11．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，1），第三次运动到点P3（3，0），第四次运动到点P4（4，﹣2），第五次运动到点P5（5，0），第六次运动到点P6（6，2），按这样的运动规律，点P2023的纵坐标是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，1），第三次运动到点P3（3，0），第四次运动到点P4（4，﹣2），第五次运动到点P5（5，0），第六次运动到点P6（6，2），运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动组成一个循环：P1（1，1），P2（2，1），P3（3，0），P4（4，﹣2），P5（5，0），P6（6，2），P7（7，0），P8（8，1）…，∵2023＝7×289，∴动点P2023的坐标是（2023，0），∴动点P2023的纵坐标是0，故选：B．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣2）、D（1，﹣2），动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣2，2） D．（1，1）【解答】解：∵点A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣2）、D（1，﹣2），∴AB＝CD＝1﹣（﹣1）＝2，AD＝BC＝1﹣（﹣2）＝3，∴矩形的周长为2×（2+3）＝10，由题意，经过1秒时，P、Q在点B（﹣1，1）处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为10÷（2+3）＝2秒，∴第二次相遇点是CD的中点（0，﹣2），第三次相遇点是点A（1，1），第四次相遇点是点（﹣1，﹣1），第五次相遇点是点（1，﹣1），第六次相遇点是点B（﹣1，1），……，由此发现，每五次相遇点重合一次，∵2023÷5＝404⋯⋯3，∴第2023次相遇点的坐标与第三次相遇点的坐标重合，即A（1，1），故选：D．如图，在直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点A1，第2次移动到点A2，…第n次移动到点An，则点A2023的坐标是（）A．（1011，0） B．（1012，1） C．（1012，0） D．（1011，1）【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），……，∵2023÷4＝505……3，∴点A2023的坐标为（505×2+1，0），∴A2023（1011，0），故选：A．14．如图，将边长为1的正方形依次放在坐标系中，其中第一个正方形的两边OA1，OA3分别在y轴和x轴上，第二个正方形的一边A3A4与第一个正方形的边A2A3共线，一边A3A6在x轴上…以此类推，则点A2022的坐标为（）A．（672，﹣1） B．（673，﹣1） C．（674，1） D．（674，0）【解答】解：∵（2022﹣1）÷3＝673…2，∴点A2022的坐标为（674，0）．故选：D．15．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，则A6的坐标为（）A．（9，15） B．（6，15） C．（9，9） D．（9，12）【解答】解：由题意可知：OA1＝3；A1A2＝3×2；A2A3＝3×3；可得规律：An﹣1An＝3n，当机器人走到A6点时，A5A6＝18米，点A6的坐标是（9，12）．故选：D．16．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2023次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2023的位置，则点P2023的横坐标为（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2022.5【解答】解：观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5…依此类推下去，∴P3n+1的横坐标为3n+1，P3n+2的横坐标为：3n+1，P3n+3的横坐标为3n+（n为自然数），∵2023＝674×3+1，∴点P2023的横坐标为2023．故选：B．二．填空题（共4小题）17．如图，点A（1，0）第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次跳动至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次跳动至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点A2024的坐标是（1013，1012）．【解答】解：由题知，因为点A的坐标为（1，0），根据点A的运动方式可知，点A1的坐标为（﹣1，1）；点A2的坐标为（2，1）；点A3的坐标为（﹣2，2）；点A4的坐标为（3，2）；点A5的坐标为（﹣3，3）；点A6的坐标为（4，3）；…，由此可见，点An的坐标为（）（n为正偶数），当n＝2024时，，＝1012，即点A2024的坐标为（1013，1012）．故答案为：（1013，1012）．18．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2024的坐标是（675，1）．【解答】解：由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），2024÷6＝337……2，∴P6×337+2（2×337+1，1），即P2024（675，1），故答案为：（675，1）．19．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按（1，0）→（2，0）→（2