考研数学二历年真题

考研数学二历年真题word版

2010年考研数学二真题

-填空题(8X4=32分

)-1-

-2-

-3-

-4-

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1)函数xx3的可去间断点的个数，则()fxsinnx

A1.B2.C3.D无穷多个.

(2)当x0时、fxxsinax与gxx21n1bx是等价无穷小，则

()

Aa1,b

(3)设函数zl.6Bal,b111.Cal,bDal,b.

666fx,y的全微分为dzxdxydy,则点0,0()

A不是fx,y的连续点.B不是fx,y的极值点.

C是fx,y的极大值点.D是fx,y的极小值点.

(4)设函数fx,y连续，则dxfx,ydydy1x12224yyfx,ydx

()

Aldx1

224xfx,ydy.fx,ydx.Bldxx224xfx,ydy.CIdy1

(5)若

()4yD.Idyyfx,ydx2fx不变号，且曲线yfx在点

1,1上的曲率圆为x2y22,则fx在区间1,2内

A有极值点，无零点.B无极值点，有零点.

C有极值点，有零点.D无极值点，无零点.

(6)设函数yfx在区间1,3上的图形为：

-5-

则函数Fxx

Oftdt的图形为()

A.

B.

C.D

(7)设A、B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A、B的伴随矩阵。若A=2B=3,则分块矩阵

0

B

的伴随矩阵为()

A03B*

2A*0B

02B*

3A*0

-6-A0

0C.*2B3A*0OD.*3B2A*0

100TT(8)设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，月.PAP=010,若

002

TP=(1,2,3),Q=(1+2,2,3),贝UQAQ为()

210110A.

002

200010C.

002110120B.002100020D.

002

二、填空题：9T4小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

1-tu2x=edu(9)曲线在处的切线方程为0(0,0)

yt21n(2t2)

(10)已知+kxedx1,则k

1x(11)limesinnxdxn0

d2y(12)设yy(x)是由方程xyex1确定的隐函数，则dx2yx=0=(13)函数1

上的最小值为yx2x在区间0,

200TTT(14)设，为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于000,

则=000

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.

-7-

(15)(本题满分9分)求极限limx01cosxxIn(1tanx)sin4x

(16)(本题满分10

分)计算不定积分

(17)(本题满分10分)设z

(18)(本题满分10分)

设非负函数ln(ldx(x0)fxy,xy,xy,其中2zf具有2阶连续偏导

数，求dz与xyyyxx0满足微分方程xyy20,当曲线

yyx过原点时，其与直线x1及y0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋

转所得旋转体体积。

(19)(本题满分10分)求二重积分

xydxdy,D-8-

其中D

y1222,yx

(20)(本题满分12分)

设内过((-,)

yy(x)是区间的光滑曲线，当-x0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0

X时,函数y(x)满足yyxOo求y(x)的表达式

(21)(本题满分11分)

(I)证明拉格朗日中值定理：若函数fx在a.b上连续，在a,b可导，则存

在a,b,使得fbfafba(II)证明：若函数fx

在x0处连续，在0,0内可导，且

xOlimfxA,则f0存在，且f0A。

11111(22)(本题满分11分)设A11,11

2042

(I)求满足A2

1.A231的所有向量2,3-9-

(1【)对(I)中的任一向量2,3,证明：1,2,3线性无关。

(23)(本题满分11分)设二次型

(I)求二次型22fxl,x2,x3ax12ax2a1x32x1x32x2x3f

f的矩阵的所有特征值；2,求a的值。yl2y2(II)若二次型

的规范形为

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1)设

f(x)x2(x1)(x2),则f'(x)的零点个数为()-10-

A0B1.C2D3

yf(x)函数在区间［0,a］上有连续导数，则定积分aft(x)dx()0a(2)曲线方程

为A曲边梯形AB0D面积.

B梯形ABOD面积.

C曲边三角形ACD面积.

D三角形ACD面积.

(3)在下列微分方程中，以yClexC2cos2xC3sin2x(Cl,C2,C3为任意常数)为

通解的是()

ACy'''y''4y'4yoy'y''4y'4y0

BDy'''y''4y'4y0y'''y''4y'4y0

(5)设函数f(数在()内单调有界,xn为数列，下列命题正确的是()

A若xn收敛，则f(xn)收敛.C若f(xn)收敛，则xn收敛.

(6)设函数B若xn单调，则f(xn)收敛.D若f(xn)单调，则

xn收敛.，其中区域Duv为图中阴影部分，则f

连续，若F(u,v)Duv22Fu

Avf(u2)

Cvf(u)

⑺设vf(u2)uvDf(u)BA为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若

A30,则()

AEA不可逆，EA不可逆.CEA可逆，EA可逆.BEA不可逆,

EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.

12(8)设A，则在实数域上一与A合同的矩阵为()

21

-11-

21A1221B.12

C21.12D12.21

二、填空题：9T4小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(9)已知函数f(x)连续，且limx0

2xlcos[xf(x)](el)f(x)x21,则f(0)____.(10)微分方程(yx

(11)曲线sine)dxxdy0的通解是y.xyInyxx在点0,1

处的切线方程为

2

3(12)曲线y(x5)x

yxxy的拐点坐标为.(13)设z,则zx(l,2).

(14)设3阶矩阵A的特征值为2,3,.若行列式2A48,则—.

三、解答题：15—23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

sinxsinsinxsinx(15)(本题满分9分)求极限limx0x4

(16)(本题满分10分).

dxxx(t)2tex0设函数yy(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问

题dt的解.t2

yln(lu)duxt000

2y求.x2

-12-

(17)(本题满分9分)求积分

10.

(18)(本题满分11分)

求二重积分

(19)(本题满分11分)

设max(xy,Ddxdy,其中D{(x,y)0x2,0y2}Df(x)是区间0,上具

有连续导数的单调增加函数，且f(0)1.对任意的t0,，直线x0,xt,曲

线yf(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积

在数值上等于其体积的2倍，求函数

-13-f(x)的表达式.

(20)(本题满分11分)

(1)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点

[a,b],使得

3

ba(2)若函数(x)具有二阶导数，且满足(2)(1),(2)(x)dx,证明

f(x)dxf()(ba)2至少存在一点(1,3),使得()0

(21)(本题满分11分)

求函数u

(22)(本题满分12分)

x2y2z2在约束条件zx2y2和xyz4下的最大值与最小值.

设矩阵2al2a2a,现矩阵A满足方程AXB,其中

Xx,,xTAIn12a2ann,

B1,0,,0,

(1)求证

An1an；-14-

(2)a为何值，方程组有唯一解，并求xl；

(3)a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.

(23)(本题满分10分)

设A为3阶矩阵，1,2为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足

A323,

(1)证明1,2,3线性无关；

(2)令P

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1〜10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1)当x

01,2,3,求P1AP.(A

)1(B

)(C

1(D

)1[]

-15-

(2)函数

(exe)tanxf(x)在，上的第一类间断点是x[]

1xexe

(A)0(B)1(C)(3)如图，连续函数

2

(D)

2

1的上、卜半圆周，在区间

yf(x)在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为

x

2,0,0,2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)0

f(t)dt,则下列结论正确的是：

(A)F(3)

35

F(2)(B)F(3)F(2)4435

(C)F(3)F(2)(D)F(3)F(2)[]

44

£a)在乂0处连续，下列命题错误的是:

(4)设函数

f(x)f(x)f(x)存在，则f(0)0(B)若lim存在，则f(0)0.

xOxOxx

f(x)f(x)f(x)

(C)若lim存在，则f(0)0(D)若lim存在，则f(0)0.

xOxOxx

(A)若lim

[](5)曲线

y

1

In1ex的渐近线的条数为x

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.[](6)设函数

£«)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0,令unf(n),则下列结论正确的

是：u2，则un必收敛.(B)若ulu2，则un必发散

(A)若ul(C)若ul

u2,贝ijun必收敛.(D)若ulu2则un必发散.[]

(7)二元函数

f(x,y)在点0,0处可微的一个充要条件是[]

-16-

(A)

(x,ylim

)0,0

f(x,y)f(0,0)0.

(B)lim

f(x,0)f(0,0)x0

x0,且limf(0,y)f(0,0)

yOy

0.

(C)

(x,ylim)

0,00.

(D)limx0

fx(x,0)

fx(0,0)0,且lim0fy(0,y)fy(0,0)

0.

y)

(8)设函数

f(x,y连续，则二次积分1

dx2

sinx

f(x,y)dy等于

1

(A)y)dx(B)1

Ody

arcsiny

f(x,dy

0arcsiny

f(x,y)dx

(C)

1arcsiny

1arcsiny

dy

f(x,y)dx(D)0

dy

f(x,y)dx

2

2

(9)设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则

(A)12,23,31

(B)12,23,31

(0

122,223,321.(D)

122,223,321.(10)设矩阵

A211121,B100

010

112000，则A与B

(A)合同且相似(B)合同，但不相似.

(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似［二、填空题：11〜16小题，每小题4

分,共24分.把答案填在题中横线上.(11)

lim

arctanxsinx

xOx

3.(12)曲线xcostcos2t

1sint

上对应于的点处的法线斜率为.

yt

4(13)设函数

12x3

，则y(n)

(0).

(14)二阶常系数非齐次微分方程

y4y3y2e2x的通解为y.

-17-

[]

]

(15)设yxzzf(u,v)是二元可微函数，zf,,则xy,

xyxy00(16)设矩阵A001000103,则A的族为.

001000

三、解答题：17〜24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本题满分10分)设f(x)是区间0,4上单调、可导的函数，且满

足

f(x)Of(t)dttOIxcostsintdt,其中f1是fsintcost的反函数，求f(x).

(18)(本题满分11分)

设D

是位于曲线yx

2a(a1,0x)下方、x轴上方的无界区域.(I)求区域D绕x

轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；(H)当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.

(19)(本题满分10分)求微分方程

-18-y(xy2)y满足初始条件y(l)y(1)1的特解.

(20)(本题满分11分)已知函数f(u)具有二阶导数，且f(0)1,函数yy(x)由

方程yxey11

dz所确定，设zfInysinx,求dx

(21)(本题满分11分)设函数d2zx0,dx2x0.f(x),g(x)在a,b上连续，在

(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a),f(b)g(b),证明：存在

(a,b),使得f()g().

(22)(本题满分11分)设二元函

数x2,|x|y|1f(x,y)1x|y|2,计算二重积分

f(x,y)d,其中Dx,y|x||y|2.

D

(23)(本题满分11分)

-19-

xlx2x30设线性方程组xl2x2ax30与方程xl2x2x3a1有公共

解，求a的值及所有公共解.2xl4x2ax30

(24)(本题满分11分)

设三阶对称矩阵

向量，记BA的特征向量值11,22,32,1(1,1,1)T是A的属于

1的一个特征A54A3E,其中E为3阶单位矩阵.

(I)验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(口)求矩阵

B.

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题：1一6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

(1)曲线yx4sinx的水平渐近线方程为5x2cosx

(2)设函数1x23Osintdt,xOf(x)x在x0处连续，则a.

x0

-20-

(3)广义积分

Oxdx22(1x)

(4)微分方程

(5)设函数yy(1x)的通解是xdydxxOyy(x)由方程y1xey确定，贝ij

(6)设矩阵21A,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E,则

12

B二、选择题：7—14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7)设函数

分别为且f(x)0,f(x)0,yf(x)具有二阶导数，x为自变量x在点x0处

的增量，y与dyf(x)在点x0处对应的增量与微分，若x0,贝亚]

(A)

(C)0dyy.(B)0ydy.ydy0.(D)dyy0.

x(8)设f(x)是奇函数，除x0外处处连续，x0是其第一类间断点，则f(t)dt是

0

(A)连续的奇函数.

(C)在x

(B)连续的偶函数0间断的奇函数(D)在x0间断的偶函数.[]

(9)设函数g(x)可微，h(x)e

(A)ln31.1g(x),h(1)l,g(1)2,贝ljg(l)等于(B)ln31.[]

(D)ln21.(C)ln21.

(10)函数yClexC2e2xxex满足的一个微分方程是

(A)(C)yy2y3xex.yy2y3xex.

1(B)(D)yy2y3ex.yy2y3ex.[](11)设f(x,y)为

连续函数，则4df(rcos,rsin)rdr等于00

-21-

(A)

XX

f(x,y)dy.(B

)f(x,y)dx.

(D)

xO

f(x,y)dy.

(O

yO

f(x,y)dx.[]

(12)设

f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y(x,y)0,已知(xO,yO)是f(x,y)在约束条件

(x,y)0下的一个极值点，下列选项正确的是[]

(A)若(B)若

fx(xO,yO)0,则fy(xO,yO)0.fx(xO,yO)0,则fy(xO,yO)0.

fx(xO,yO)0,贝ijfy(xO,yO)0.fx(xO,yO)0,贝ijfy(xO,yO)0.

(0若(D)若

(13)设1,2,s均为n维列向量,

(A)(B)

A为mn矩阵,下列选项正确的是[]

A1,A2,,As线性相关.Al,A2,,As线性无关.

若1,2,s线性相关，则若1,2,s线性相关，则

(0若1,2,s线性无关，则(D)若1,2,s线性无关，则

(14)设

A1,A2,,As线性相关.

A1,A2,,As线性无关.

A为

3阶矩阵，将

A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的1倍加到第2列得C,记

110P010，则

001

(A)C(C)C

P1AP.PTAP.

(B)C(D)C

PAP1.PAPT.

[]

三、解答题：15—23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)试确定

A,B,C的值，使得ex(lBxCx2)1Axo(x3),其中。(x3)是当x。时比x3高阶

-22-

的无穷小.

(16)(本题满分10分)求

arcsinexexdx.

(17)(本题满分10分)设区域D

(18)(本题满分12分)设数列(x,y)x2y2l,x0,计算二重积分

1xydxdy.221xyDxn满足0xl,xn1sinxn(n1,2,)

1

xn1xn2

(I)证明limxn存在，并求该极限；(II)计算lim.nnxn

-23-

(19)(本题满分10分)

证明：当0ab时，

bsinb2cosbbasina2cosaa.

(20)(本题满分12分)

设函数f(u)在(0,

)内具有二阶导数，且zf2z2z0.满足等式x2y2(I)验证

(ID若

f(u)f(u)0；uf(l)0,f(1)1,求函数f(u)的表达式.

(21)(本题满分12分)

xt21已知曲线L的方程2y4tt

点(x0,

(22)(本题满分9分)

,(t0)(I)讨论L的凹凸性；(II)过点(1,0)引L的切线，求切y0),并写出切线

的方程；(HI)求此切线与L(对应于xx0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积.

-24-

已知非齐次线性方程组

xlx2x3x414x13x25x3x41有

axx3xbx134123个线性无关的解.(I)证明方程组系数矩阵A的秩

rA2；(II)求a,b的值及方程组的通解.

(23)(本题满分9分)

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量

11,2,1,20,1,1TT是线性方程组Ax0的两个解.

(I)求A的特征值与特征向量；

(II)求正交矩阵Q和对角矩阵，使得Q

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)设TAQ.y(1sinx)x,贝ijdyx.

(2)曲线y(1x)

x

xdx

232的斜渐近线方程为(3)(2xOl)x2.

(4)微分方程xy2yxlnx满足y(l)1的解为.9

-25-

(5)当x0时，(x)kx2与(x)xarcsinxcosx是等价无穷小，则k=.

(6)设1,2,3均为3维列向量，记矩阵

A(1,2,3),B(123,12243,13293),

A1,那么B.如果

二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数f(x)limxn3n,则£a)在(，)内

(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.

(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]

(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M

(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.

(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数.

(0F(x)是周期函数f(x)是周期函数.

(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[]N”表示"M的充分必要条件是N"，则

必有

xt22t,(9)设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与

x轴交点的横坐标是yln(lt)

(A)

(C)Uln23.(B)ln23.8881n23.(D)81n23.[]

D{(x,y)x2y24,x0,y0},f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则(10)

设区域

Daf(x)bf(y)f(x)

(A)f(y)ab.(B)ab2.(C)(ab).(D)

xy

xyab2.[]具有一阶导(11)设函数u(x,y)

数，则必有

(A)(xy)(xy)(t)dt,其中函数具有二阶导数，2u2u2.

2xy2u2u22xy.(B)

(0

2u2uxyy2.(D)2u2uxyx2-26-.[]

(12)设函数f(x)

e

(A)Ixx1,则1x=0,x=l都是f(x)的第一类间断点.

(B)x=0,x=l都是f(x)的第二类间断点.

(0x=0是f(x)的第一类间断点，x=l是f(x)的第二类间断点.

(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=l是f(x)的第一类间断点.[]

(13)设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2,则

1,A(1关的充分必要条件是

(A)2)线性无10.(B)20.(C)10.(D)20.[]

2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，

(14)设A为n(n

贝I」[]

(0交换A*的第1列与第2列得B*.(B)交换A*的第1行与第2行得B*.

*(0交换A的第1列与第2列得解B*.(D)交换A*的第1行与第2行得B*.

~~.、

答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分11分)设函数f(x)连续，且f(0)0,求极限

1imx0x0(xt)f(t)dtx

0.xf(xt)dt

(16)(本题满分11分)

如图，Cl和C2分别是y1过点(0,1)的曲线C3(lex)和yex的图象，2

是一单调增函数的图象.过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线1

x和

-27-

ly.记C1,C2与lx所围图形的面积为Sl(x)；C2,C3与C所围图形的面积为S2(y).如

果总有Sl(x)S2(y),求曲线C3的方程x(y).

(17)(本题满分11分)

如图，曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点，直线11与12分别是曲

线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计

算

定积分

(18)(本题满分12分)

用变量代换30(x2x)f(x)dx.xcots(0t)化简微分方程

(1x2)yxyy0,并求其满足y

x0l,yx02的特解.

(19)(本题满分12分)已知函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且

f(0)=0,f(1)=1.证明：

-28-

(I)存在

(II)存在两个不同的点，(0,1),使得f()f()1.(0,1),使得

f()1；

(20)(本题满分10分)

已知函数z=f(x,y)的全微分dz2xdx2ydy,并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域

y2

D{(x,y)x1}上的最大值和最小值.42

(21)(本题满分9分)计算二重积分

(22)(本题满分9分)

确定常数a,使向量组xD2y21，其中D{(x,y)0x1,0y1).

1(1,1,a)T,2(l,a,1)T,3(a,1,1)T

线性表示，但向量组可由向量组1(1,1,a)T,2(2,a,4)T,3(2,a,a)T

1,2,3线性表示.

1,2,3不能由向量组-29-

(23)(本题满分9分)

123已知3阶矩阵A的第一行是(4瓦0,8瓦。不全为零，矩阵8246(k为常

数)，且AB=O,求36k

线性方程组Ax=O的通解.

2004年考硕数学(二)真题

填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)设f(x)lim(n1)x

nnx21,则f(x)的间断点为x.

(2)设函数y(x)由参数方程3xt3t1确定，则曲线yy(x)向上凸的x取

值范围为..3yt3t1

(3

)1..

zz.xy(4)设函数zz(x,y)由方程ze2x3z2y确定，则3

3(5)微分方程(yx

)dx2xdy0满足yx1-30-6的特解为.5

210(6)设矩阵A120,矩阵B满足ABA2BAE,其中A为A的伴随

矩阵，E是单位001

矩阵，则B

选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(7)把x0时的无穷小量

costdt

0x2,x2

0,0t3dt排列起来，使

排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A),,.(B),,.

,.(C),,.(D),

(8)设f(x)x(lx),则

(A)x

(B)x

(C)x

(D)x0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线yf(x)的拐点.。不是f(x)的极值点,

但(0,0)是曲线yf(x)的拐点.0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线yf(x)的拐点.

0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线yf(x)的拐点.

等于

2(9

)limlnn(A)1

221n2xdx.(B)2Inxdx.122(C)2lln(lx)dx.(D)lln(lx)dx

(10)设函数

(A)

(B)f(x)连续，且f(0)0,则存在0,使得f(x)在(0,)内单调增加.f(x)在

(,0)内单调减小.

f(x)f(0).

-31-(C)对任意的x(0,)有

(D)对任意的x(,0)有£&)f(0).

(11)微分方程

(A)

(B)

(C)

(D)yyx21sinx的特解形式可设为yax2bxcx(AsinxBcosx).

yx(ax2bxcAsinxBcosx).yax2bxcAsinx.

yax2bxcAcosx

(12)设函数f(u)连续，区域D(x,y)x2y22y

则f(xy)dxdy等于D

(A

)IdxOdy0

21f(xy)dy.f(xy)dx.(B

)2(C)

(D)

(13)设Od002sinf(r2sincos)dr.f(r2sincos)rdrA的第

d2sin0A是3阶方阵，将1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列

得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为

010010(A)100.(B)101.101001

010011(C)100.(D)100.011001

(14)设A,B为满足AB0的任意两个非零矩阵，则必有

A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.

A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

-32-(A)(B)(C)

(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.

三.解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.)

(15)(本题满分10分)1求极限lim3xOx

2cosxx1.3

(16)(本题满分10分)

设函数£6)在(，)上有定义，在区间［0,2］上，f(x)x(x24),若对任意的

x都满足f(x)kf(x2),其中k为常数.

(I)写出

(17)(本题满分11分)x

*£6)在［2,0］上的表达式；(H)问k为何值时，f(x)在x0处可导.2设

f(x)sintdt,(I)证明f(x)是以为周期的周期函数；(11)求f(x)的值域.

-33-

(18)(本题满分12分)exex

曲线y2与直线x0,xt(t0)及y0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一

周得•旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t),在xt处的底面积为F(t).

(I)求求t)S(t)的值；(II)计算极限限m.tF(t)V(t)

(19)(本题满分12分)设eabe,证明In

(20)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大

阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为

700km/h.经测试,减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为

k22bln2a4(ba).e26.0106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

注kg表示千克,km/h表示千米/小时.

-34-

22xy(21)(本题满分10分)设zf(xy,e),其中zz2zf具有连续二阶偏导数,

求,，xyxy.

(22)(本题满分9分)

设有齐次线性方程组

(1a)xlx2x3x40,2x(2a)x2x2x0,1234

3x13x2(3a)x33x40,

4x14x24x3(4a)x40,

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

-35-

(23)(本题满分9分)

123设矩阵143的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相

似对角化.la5

2003年考研数学(二)真题

三、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)若x0时，(1ax)1与xsinx是等价无穷小，则a=.

xy4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是•124(2)设函数y=f(x)由方

程xy21n

(3)y2x的麦克劳林公式中xn项的系数是.

ea(a0),则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所(4)设曲线的极

坐标方程为

围成的图形的面积为.

I11,则nI(5)设为3维列向量，是的转置.若

11111

T.

101220(6)设三阶方阵A,B满足ABABE,其中E为三阶单位矩阵，若

A0，则

201

B.

二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求，把-36-

所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且lim

(A)nan0,limbn1,limcn，则必有nnanbn对任意n成立.(B)

bncn对任意n成立.

n(C)极限limancn不存在.(D)极限limbncn不存在.[]n

3n1(2)设annlxxndx,则