高考数学二轮复习 第二部分 突破热点 分层教学 专项二 四 2 第2讲 空间点、线、面的位置关系学案-人教版高三全册数学学案

第2讲空间点、线、面的位置关系

翦信缉固

年份卷别考查内容及考题位置命题分析

卷I面面垂直的证明•T1S(1)

异面直线所成的角•T9线面垂直的证

卷II

2018明•丁20⑴1.高考对此部分的命题较

为稳定，一般为“一小一

卷HI面面垂直的证明•T19(n

大”或“一大”，即一道

卷I面面垂直的证明•T)

18(1选择或填空题和一道解答

空间异面直线所成角的余弦值的计

题或仅一道解答题.

卷算

n2.选择题一般在第10〜

2017

线面平行的证明•T)

19(111题的位置，填空题-一般

圆锥、空间线线角的求解•『面面垂

6在第14题的位置，多考查

卷m

直的证明•T19(1)线面位置关系的判断，难

求异面直线所成的角•T"面面垂直度较小.

卷I

的证明•

T18(1)3.解答题多出现在第18

空间中线、面位置关系的判定与性或19题的第一问的位置，

2016质•Tn考查空间中平行或垂直关

卷H

线面垂直的证明•『98系的证明，难度中等.

卷川

线面平行的证明•T,9(1)

考点突破♦T夯实核心知识，突破重难ni领"卜

‘考点㊀

空间线面位置关系的判定(基础型)

判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法

(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判

断.

(2)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相

矛盾的命题，进而作出判断.

(3)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结

合有关定理，进行肯定或否定.

［考法全练］

1.在正方体｛式》43G4中，A为棱曲的中点，则（

A.AxEVDQB.AyELBD

C.AxELBCxD.AxELAC

解析：选C.48」平面BCC瓜,2?Gu平面BCCB,所以又BQIM,且B£

CAB=&,所以6G_L平面4身微又4£u平面4身微所以6G_L4笈故选C.

2.已知直线/和两个不同的平面a,£,则下列命题是真命题的是（）

A.若/〃。，且/〃£,则。£

B.若八。，且〃£,则。〃£

C.若/u。，且a_L£,则AL£

D.若/〃a,且。〃£,则1//£

解析：选B.对于A,若/〃。，且/〃£,则。〃£或。与£相交，所以A错；因为

垂直于同一条直线的两个平面平行，所以B正确；对于C,若ka,且a_L万，则/与万

相交或/〃£或左£,所以C错；对于D,若/〃a,且。〃£,则1〃B或luB,所

以D错.故选B.

3.（2018•惠州第二次调研）设/,m,"为三条不同的直线，。为一个平面，则下列命

题中正确的个数是（）

①若a,则/与a相交；②若归a,nua,lA.ni,ILn,则7±a；③若1//m,

m//n,11.a,则nj_a；④若1//m,mA.a,nj_a,则］//n.

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C.对于①，若Ua,则/与。不可能平行，,也不可能在a内，所以/与

a相交，①正确；对于②，若怔。，nua,l±.n,则有可能是/ua,故②错误；

对于③，若/〃如m//n,则/〃〃，又/_La,所以〃J_a,故③正确；对于④，因为鼠La,

/?±a,所以卬〃〃，又/〃〃，所以/〃〃，故④正确.选C.

4.a,£是两个平面，m,〃是两条直线，有下列四个命题：

①如果ml.a,n//P,那么a_L尸；

②如果zo_La,n//a,那么卬J_〃；

③如果a〃£,归a,那么0〃£；

④如果加〃〃，。〃£,那么勿与a所成的角和〃与月所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)

解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设加'为直线山，CD

为直线〃，所在的平面为a,ABCD'所在的平面为B,显然这些直线和平面满足题

目条件，但a_L力不成立.

D'C

AB

命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面a相交于直线1,则l//n,由4，。

知/从而〃_!_〃，结论正确.

由平面与平面平行的定义知命题③正确.

由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确.

答案：②③④

考点㈡

空间中平行、垂直关系的证明(综合型)

fl直线、平面平行的判定及其性质

⑴线面平行的判定定理：M。，Zxza,a//b=>a//a.

(2)线面平行的性质定理：a//a,auB,aCB=b.

(3)面面平行的判定定理：auB,kB,aCb=P,a//a,力〃。=o〃£.

(4)面面平行的性质定理：。〃£,oAy=a,BCy=b=>a〃b.

0直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：〃xza,nua,mC\n=P,11.m,7±/;=>7±a,

(2)线面垂直的性质定理：al.o,bl.o=>a//b.

(3)面面垂直的判定定理：auB,a_Lq=o_L£.

(4)面面垂直的性质定理：aJ.£,4G£=/,aua,a_L/=aJ_£.

［典型例题］

颤包由四棱柱ABCD-464"截去三棱锥Cr瓜切后得到的儿

何体如图所示.四边形口为正方形，。为AC与BD的交点,E

为｛〃的中点，4心平面4K7Z

(1)证明：4。〃平面笈口;

⑵设"是办的中点，证明：平面4EkL平面56B.

【证明】⑴取为4的中点“，连接绍，4”,

由于ABCD-45G4为四棱柱，

所以4。〃。。，

4Q=0C,

因此四边形40G为平行四边形，

所以40〃4C

又0\Cc.平面B\CD\,4at平面B\CD\,

所以40〃平面8M.

(2)因为/d微/分别为/〃和勿的中点，

所以EMA.BD.

又4庾L平面4a〃BD(z平面ABCD,

所以4—做

因为

所以0人6〃，A'ELBA

又AE£•仁平面A\ECEM=E,

所以笈4,平面4£也

又劣〃u平面区3，所以平面4笈归_平面劣功.

您回团明

平行关系及垂直关系的转化

空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面

面之间的平行、垂直关系相互转化.

面面平行的判定

面面平行的性质

面面垂直的判定

面面垂百的性质

［对点训练］

(1)求证：PALCD.

(2)求证：平面外ZU平面月18.

证明：⑴因为平面必员L平面48徵，平面片6n平面/加9=48,

又因为PAVAB,

所以为，平面ABCD.则PALCD.

(2)由已知，BC//ED,&BC=ED,所以四边形应场是平行四边形，

又CDLAD,BC^CD,

所以四边形8c必是正方形，连接图略)，所以BD1CE,

又因为8074E,BC=AE,

所以四边形48四是平行四边形，

所以CE//AB,则BDLAB.

由⑴知用J_平面ABCD,

所以融上皿

又因为PAHAB^A,则劭_1平面PAB,

且劭c平面加，所以平面幽心平面为6.

2.如图，己知斜三棱柱4犯48G中，点〃〃分别为力44G上的4,

(1)当苏等于何值时，回〃平面48几

LhC\

⑵若平面比;〃〃平面4?以，求力的值.

D

4'-C

解：⑴如图，取〃为线段4G的中点，止匕时下7=1,

Z/1C1

连接AB交AB\于点0,连接OR.\^0\///

由棱柱的性质，知四边形4力做为平行四边形,

所以点。为46的中点.

在△48G中，点。，〃分别为4氏4G的中点,

所以ODJ/BQ.

又因为勿u平面46。，bGQ平面

所以6G〃平面ABxDx.

所以当行=1时，6G〃平面力瓜瓜

Lf\C\

(2)由已知,平面BGD//平面ABM,

且平面4阳A平面BDG=BC\,

平面4阳A平面ABxIX=DxO.

因此阳〃〃0,同理融〃国.

AMDC

因为而一砺'而=而

A0所以柒=1,即盥=1.

又因为丽：1,

考点㈢

平面图形的折叠问题(综合型)

［典型例题］

剧2］如图①,在直角梯形中，AD//BC,NADC=90°,47=8c把△刃，沿”1折

起到△必C的位置，使得。点在平面从心上的正投影。恰好落在线段4C上，如图②所示，

点£,厂分别为棱PC,切的中点.

(1)求证：平面庞尸〃平面PAD-,

(2)求证：5_L平面/vm；

(3)若49=3,CD=\,/Q5,求三棱锥电的体积.

【解】(1)证明：因为点尸在平面4加上的正投影。恰好落在线段4。上,

所以夕0,平面4T,所以尸0，然

由题意知。是4C的中点，又点七是用的中点，

所以施〃必，又困平面用。，胡u平面序〃,

所以施1〃平面必〃同理，冰〃平面为〃

又OEC0F=0,0E,OFu平面0EF,

所以平面庞汽〃平面必〃

⑵证明：因为0F〃AD,ADLCD,

所以OFLCD.

又AZL平面49G平面力a7,

所以POLCD.

又OFCPg0,所以W_L平面POF.

⑶因为/49C=90°,49=3,34,

所以Szuo>=5X3X4—61

而点。，尸分别是“；切的中点，

13

所以S^cm—~^Si^Aa>—~^i

由题意可知是边长为5的等边三角形，

所以。户=!\「，

即点尸到平面/徵的距离为|V5,

又E为先的中点，所以£到平面的距离为部,

回喟痈度

平面图形折叠问题的求解方法

(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线

段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.

(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折

叠前的图形.

［对点训练］

如图1,在直角梯形46缪中，AD//BC,NBAD=^,AB=BC^；AD=a,后是4。的中点,

。是然与废'的交点，将跖沿跖折起到图2中△&跖的位置，得到四棱锥ArBCDE.

(1)证明：以，平面4QC；

⑵当平面484平面8CDE时,四棱锥加匐厉的体积为36啦，求a的值.

解：（1）证明：在图1中，因为4?=6C=g49=a,£是49的中点，

ABAD=^-,所以施工4c

即在图2中，BELAyO,BELOC,

从而航L平面AiOC,

又CD//BE,

所以C»_L平面A^OC.

（2）由已知，平面4施上平面BCDE,

且平面4班'0平面BCDE=BE,

又由⑴知，Ax01.BE,

所以40_L平面BCDE,

即40是四棱锥A-BCDE的高.

由图1知，4（7=坐仍=令，平行四边形宏组的面积S=A"（X-a）

从而四棱锥4-6物1的体积为

112mm3

勺§XSXA\0=-^XaX2a=6aJ

由*才=3&^,得a=6.

■■■专题强化训练■■■

一、选择题

1.设a为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）

A.若且〃。，b//a,则a//b

B.若a_La,a//b,贝！JbLa

C.若a_La,aLb,则b//a

D.若a〃a,a\_b,则6_La

解析：选B.若a〃*b//a,则a与6相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；

若a_L。，a_L6,则6〃a或Zxza,故C错误；若a〃a,a_L6,则6〃a或Zxza或6

与a相交，故D错误.故选B.

2.设/是直线，。，?是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若/〃。，/〃£,则。〃£

B.若/〃a,则a，£

C.若a_L£,71a,则/〃£

D.若a_L£,1//a,则71£

解析：选B.对于A,若/〃a,/〃£,则a//B或a鼻B相交，故A错；易知B正

确；对于C,若a,£,ILa,则/〃£或/u£,故C错；对于D,若a[。,]//a,

则/与£的位置关系不确定，故D错.故选B.

3.如图，在三棱锥ZM6c中，若心?=6£是〃1的中点，

则下列命题中正确的是（）/\

A.平面平面ABD

E\\/

B.平面/薇_1_平面BCD^4

C.平面/比工平面次区且平面平面叱

D.平面平面且平面/切_L平面被F

解析：选C.因为且£是熊的中点，所以皿然，同理，DELAC,由于小门鹿

=£，于是“X平面BDE.因为ACa平面ABC,所以平面四。1_平面BDE.又ACa平面ACD,所

以平面平面BDE.故选C.

4.已知加〃是两条不同的直线，。，£是两个不同的平面，给出四个命题：

①若aQ]3—m,nua,nA_m,则a_L£；

②若ml.a,ml.0,则a〃£；

③若ml.a,〃J_8,ffl±n,则a_L£；

④若如〃a,n//J3,m//n,则a//f）.

其中正确的命题是（）

A.①@B.②③

C.①©D.②④

解析：选B.两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，

①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线

分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平

面平行的直线也平行，故④不正确.

5.（2018•高考全国卷H）在长方体464〃中，AB=BC=1,44=小，则异面直

线阳与阳所成角的余弦值为（）

D・平

解析：选C.如图，连接做，交的于0,取四的中点机连接掰

0M,易知。为能的中点，所以/。〃〃犷，则乙腿为异面直线加与的

所成角.因为在长方体ABC»ABCD中,AB=BC=1,44=小,力〃=

〃+@8

、9+9=2,DM=,。艮=7AE+A户+。厌=乖,

11、月

所以0M=^ADx=1,0D=&DB\=看,于是在△〃如中，由余弦定理,得cosZ,W=

12+

,即异面直线AB与DB、所成角的余弦值为

2X1X当

故选C.

6.如图，在矩形四曲中，48=小,比-1,将△47?沿4c折起,

使得〃折起后的位置为几且〃在平面力比■上的射影恰好落在48上,

在四面体，4%的四个面中，有"对平面相互垂直，则〃等于（)

A.2B.3

C.4D.5

解析：选B.如图，设〃在平面上的射影为其连接〃£,C

则4心平面ABC,

因为D\Eu平面AB仄,

所以平面力9_L平面ABC.

因为4EL平面4648Cu平面48a

所以仅E_LBC,又ABLBC,D\ECAB=E,

所以比工平面4",

又BCu平面BCD、,

所以平面6必平面ABD„

因为6C_L平面力做，加u平面力做，

所以BCA.AD,,又CD、，AD\,BCCCR=C,

所以皿_L平面比外又皿u平面43,

所以平面“ZU平面BCIX.

所以共有3对平面互相垂直.故选B.

二、填空题

7.（2018•广州调研）正方体4况》43G4的棱长为2,点物为CG的中点，点”为线段

以上靠近4的三等分点，平面8眈交44于点0,则线段40的长为.

解析：如图所示，在线段〃〃上靠近点。处取一点T,使得以'=4，因为“是线段m

O

919

上靠近〃的三等分点，故几性=可，故"7=2—可一鼻=1,因为，"为CG的中点，故连

JJ<5

接TC,由47〃CM,且CQW-1,知四边形。册7为平行四边形，敬CT〃MN,同理在44上

靠近4处取一点0',使得四'=；,连接80',TQ',则有80,//CT//MN,故即与MN

共面，即0'与。重合，故

O

答案：I

O

8.如图，ZACB=90°,ZM_L平面ABC,AE1DB交.DB于苴E,AFIDC卜

交加于点用且肥=4?=2,则三棱锥44所体积的最大值为

解析：因为的J_平面四C,所以的，6G又BCLAC,DAOAC^A,所以-\B

6C_L平面所以6C_L"：又"BCCCD=C,所以"平面ZO,'

所以"•_1〃；AFLDB.又DBLAE,AEC\AF=A,所以如_L平面的；所以加■为三棱锥ZM"

的高.因为/£为等腰直角三角形4加斜边上的高，所以/£=/，设/Qa,FE=b,则△｛跖

的面积S=Ja方所以三棱锥24牙■的体积内）义）义出=修（当且仅

当。=6=1时等号成立）.

答案.也

口-✓Ti•6

9.（2018•昆明调研）在长方体中，49-47=4,加产2.过点4作平面a

与根4。分别交于M,N两点，若力4与平面。所成的角为45°,则截面4物¥面积的最小

值是—

解析：如图，过点力作4EL助V；连接4反因为44J_平

ffiABCD,所以441.阚；所以例归_平面44反所以4员L助V,

平面4仍1平面4MM所以N44E为44与平面4MV所成的

AMR

角，所以NA4/=45°,在Rt△人伤中，因为44=2,所以力£=2,4E=2也在Rt△也W

中，由射影定理得，席'•£"=川？=4,由基本不等式得MN=ME+E42QME*EN=4,当且仅

当ME=EN,即E为"的中点时等号成立，所以截面4,打面积的最小值为gx4X2啦=4*.

答案：4:

三、解答题

10.如图，在三棱锥46(a中，ABVAD,BCVBD,平面［劭_L平面才、石

BCD,点、E、£E与A、〃不重合)分别在棱力〃、BD上,且即UO

求证：(1)3〃平面4?C；B

(2)ADIAC.©

证明：(1)在平面力劭内，因为1员L49,EFVAD,所以EF〃AB.

又因为平面/8G/比平面/磨

所以跖〃平面ABC.

(2)因为平面，平面BCD,

平面ABD^平面BCD^BD,

BCu平面抗力且BCA.BD,

所以8cL平面ABD.

因为和c平面4被，所以6cL被

又因为烈L/〃，BCCyAB=B,/氏平面/8Gat平面仍C,

所以助，平面49C

又因为4万平面46G

所以1/C

11.如图所示，已知48,平面力切，瓦比平面/切，△4力为等边片声

三角形，AD=DE=2AB,尸为中的中点.//f

求证：⑴"〃平面板1；一八

(2)平面颇LL平面CDE.Q---V-----n

证明：⑴如图，取