山东省临沂市罗庄区2024-2025学年高二数学下学期期中试题含解析

PAGE16-山东省临沂市罗庄区2024-2025学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题1.复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，∴复平面内所对应点的坐标为，故选D．考点：复数的运算．2.在的绽开式中，含的正整数次幂的项共有（）A.4项 B.3项 C.2项 D.1项【答案】B【解析】的绽开式的通项为为整数，项，即，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项绽开式定理的通项与系数，属于中档题.二项绽开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项绽开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项绽开式定理的应用.3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事务“2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务”的总可能及事务“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的状况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事务的步骤：第一步，推断本试验的结果是否为等可能事务，设出事务；其次步，分别求出基本领件的总数与所求事务中所包含的基本领件个数；第三步，利用公式求出事务的概率.4.若的绽开式中全部二项式系数的之和为，则绽开式中的常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二项式定理及绽开式通项公式得：，由的绽开式的通项为，令得，即可求得绽开式中的常数项．【详解】解：由的绽开式中全部二项式系数的之和为32，得，解得，由的绽开式的通项为，令得，即该绽开式中的常数项是，故选：B．【点睛】本题考查了二项式定理及绽开式通项公式，属于基础题．5.函数有（）A.极大值，微小值 B.极大值，微小值C.极大值，无微小值 D.微小值，无极大值【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无微小值；代入可求得极大值，进而得到结果.【详解】当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减当时，函数取极大值，极大值为；无微小值故选：【点睛】本题考查函数极值的求解问题，关键是能够依据导函数的符号精确推断出原函数的单调性，属于基础题.6.设随机变量，，若，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据二项分布的期望公式求出，再依据4次独立重复试验的概率公式计算可得．【详解】解：，，，，故选：B．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望与方程，属于基础题．7.设，其中为虚数单位，，是实数，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】，，是实数,故选D.8.素数指整数在一个大于的自然数中，除了和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的探讨中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用列举法先求出不超过30的全部素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有种，和等于30的有，，，共3种，则对应的概率，故选：C．【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键，属于基础题．9.已知随机变量听从正态分布，且，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵随机变量听从正态分布，，即对称轴是，，∴，∴，∴．故选．10.编号为的位同学随意入座编号为的个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是，则的方差为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】的全部可能取值为0，1，3，求出概率后，再求出期望和方差．【详解】解：的全部可能取值为0，1，3，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．11.10张奖券中含有张中奖的奖券，每人购买张，则前个购买者中，恰有一人中奖的概率为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出基本领件总数，再依据分别乘法法则求出满意前个购买者中，恰有一人中奖的事务总数，最终依据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意三人抽奖状况总数为，则个购买者中，恰有一人中奖，分两步：第一步三个人中两人从7张不中奖奖券拿到2张，有种；其次步剩下一人从3张中奖奖券拿到1张，有种；其中拿到中奖奖券的人有3种可能，依据分别乘法计算原理一共有，故前3个购买者中，恰有1人中奖的概率为故选：D．【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，古典概型的概率公式的应用，属于基础题．12.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数探讨函数的单调性，须要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题13.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560【解析】试题分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为1560．点评：本题考查排列数个数的应用，留意正确理解题意是解题的关键．14.已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为，那么第四个顶点对应的复数是．【答案】【解析】试题分析：三个复数在复平面内对应的点分别为．设第四个顶点在复平面内对应的点为，因为为正方形，所以，即，，即．则第四个顶点对应的复数是．考点：1向量；2复数与复平面内的点一一对应．15.已知，则．【答案】【解析】试题分析：因为，所以.考点：二项式定理.16.若函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切，则满意条件的切点的个数为______.【答案】【解析】【分析】求得函数，的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方程可得，即可得到所求的个数．【详解】解：函数的导数为，可得点，处的切线斜率为，切线方程为，函数的导数为，设与相切的切点为，可得切线斜率为，切线方程为，由题意可得，，可得，解得或．则满意条件的的个数为2，故答案为：2．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算实力，属于中档题．三、解答题17.某市对全部高校学生进行一般话水平测试，发觉成果听从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成果．（1）计算这10名学生的成果的均值和方差；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成果在（76，97）的概率．【答案】（1）49（2）0.8185【解析】分析：（1）依据茎叶图所给数据，求出总和，求得平均值；利用方差计算公式可得方差值．（2）由3σ原则可知，成果在（76，97）之间即在之间的概率值，因而可求得概率值．详解：（1）=90，S2==49（2）由（1）可估计，μ=90，σ=7．P（76＜x＜97）=P（μ﹣2σ＜x＜μ）+P（μ＜x＜μ+σ）=+=0.8185点睛：本题考查了茎叶图的简洁应用，利用3σ原则求落在某区间内的概率值，关键是理解好定义，属于简洁题．18.如表是某位文科生连续次月考的历史、政治的成果，结果如下：月份91011121历史（分）7981838587政治（分）7779798283（1）求该生次月考历史成果的平均分和政治成果的平均数；（2）一般来说，学生的历史成果与政治成果有较强的线性相关关系，依据上表供应的数据，求两个变量的线性回来方程.参考公式：，，表示样本均值.【答案】（1）83，80（2）【解析】【分析】（1）干脆由表格中的数据结合平均数公式求解；（2）求出与的值，则线性回来方程可求．【详解】（1）依据题意，计算，；（2）计算，，所以回来系数为，，故所求线性回来方程为.【点睛】本题考查线性回来方程的求法，考查计算实力，属于基础题．19.已知函数，.（1）求函数的极值；（2）设函数，若函数恰有一个零点，求函数的解析式.【答案】（1）微小值1，函数没有极大值.（2）【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，再利用导数求函数的极值．（2）先求出的导数，再利用导数求函数的极值，依据函数恰有一个零点，可得极值等于零，从而求得的值，可得函数的解析式．【详解】解：（1）因为，令，解得.因为，当时，，函数在上是减函数；当，，函数在上是增函数.所以，当时，函数有微小值，函数没有极大值.（2），函数的定义域为，所以，令得，当时，，函数在上是减函数；当，，函数在上是增函数.当时，，，当时，，但是比的增长速度要快，，故函数的微小值为，因为函数恰有一个零点，故，所以，所以.所以函数.【点睛】本题主要考查求函数的导数，函数的导数与函数的单调性之间的关系，利用导数求函数的极值，属于中档题．20.为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从两地分别随机抽取了天的观测数据，得到两地区的空气质量指数（AQI），绘制如图频率分布直方图：依据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：空气质量指数（AQI）空气质量状况优良轻中度污染中度污染（1）试依据样本数据估计地区当年（天）的空气质量状况“优良”的天数；（2）若分别在两地区上述天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.【答案】（1）274天（2）【解析】【分析】（1）从地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为0.75，由估计地区当年天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，从而能求出地区当年天）的空气质量状况“优良”的天数．（2）地20天中空气质量指数在，内为3个，设为，，，空气质量指数在，内为1个，设为，地20天中空气质量指数在，内为2个，设为，，空气质量指数在，内为3个，设为，，，设“，两地区的空气质量等级均为“重度污染””为，利用列举法能求出，两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率．【详解】解：（1）从地区选出的天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为，估计地区当年（天）的空气质量状况“优良”的频率为，地区当年（天）的空气质量状况“优良”的天数约为天.（2）地天中空气质量指数在内，为个，设为，空气质量指数在内，为个，设为，地天中空气质量指数在内，为个，设为，空气质量指数在内，为个，设为，设“两地区的空气质量等级均为“重度污染””为，则基本领件空间基本领件个数为，，包含基本领件个数，所以两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法、频率分布表等基础学问，考查运算求解实力，考查函数与方程思想，属于基础题．21.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采纳分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事务“抽取的3人中，既有睡眠足够的员工，也有睡眠不足的员工”，求事务A发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的全部可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．（ii）由题意结合题意和互斥事务概率公式可得事务A发生的概率为．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门员工人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的全部可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望．（ii）设事务B为“抽取的3人中，睡眠足够的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事务C为“抽取的3人中，睡眠足够的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与