机器人操作臂动力学

机器人学第五章操作臂动力学课程的基本要求:掌握空间开链机构动力学建模的牛顿-欧拉递推动力学方程和拉格朗日方程5.1连杆的速度和加速度分析一、刚体的旋转矩阵及其导数刚体变换是旋转和平移的组合为了描述刚体B的位置（Position）和姿态(Orientation)，通常在B上固接另一坐标系{B}(简称{B})，相对于参考坐标系{A}。刚体B的位置和姿态（简称位姿Location）可由{B}相对于{A}的位置和姿态来描述，如图2-1所示。B的位置可用{B}的坐标原点在{A}中表示的n维位置矢量p来描述.如果p0是刚体上的任意一点，在局部坐标系中表示。P0在全局坐标系的位置p(t)是使p0首先绕原点旋转，然后平移它得到的计算结果：p(t)=

R(t)p0+x(t)

(6–1)

其中，x(t)矢量表示刚体移动，3×3矩阵R(t)表示刚体旋转。

刚体B的姿态可用坐标系{B}的n个主轴的方向矢量组成的n×n阶旋转矩阵R表示，当n＝3时，旋转矩阵R为：

(6–2)其中，每一列向量表示{B}的一个主轴在{A}中的三个方向余弦。因此也把旋转矩阵R称为余弦矩阵。另外，我们可以把物理含义赋予R(t)。考虑局部空间的x轴向量（1，0，0），在时刻t，该向量在世界空间具有方向参照式(6–2)中R(t)的元素，有是R(t)的第一列。(6–3)(6–4)R(t)的物理含意是当在时刻t转换到世界空间的时候，R(t)第一列给出刚体的x轴的方向。同样地。R(t)的第二列和第三列，

和是在时刻t到世界空间中刚体y轴和z轴的方向。图6.3

刚体的线速度v(t)和角速度

(t)刚体不仅能平移，也能旋转。想象我们在空间中固定质心位置，因此刚体上的任何点的运动都是由刚体绕某个穿过质心的轴旋转造成的（除非质心本身被移动）。我们可以把旋转描写为向量

(t)。(t)的方向给出旋转轴的方向（图6.3），

(t)量被称做角速度。线速度：x(t)和v(t)的关系为

v(t)=dx(t)/dt.如何表达R(t)和

(t)的关系?

让我们回顾一下R(t)的物理的含意。我们知道R(t)的列告诉我们在时刻t被转换的x，y和z轴的方向。这意味着dR(t)/dt的列描述正在被转换的x，y和z轴的速度。为了发现

(t)和R(t)之间的关系，我们首先检查刚体上任意向量的变化与角速度

(t)的关系。图6.4旋转矢量的变化率。当r(t)的顶端绕

(t)轴旋转，它的轨迹是半径为|b|的圆。r(t)顶端的速度是|

(t)||b|。图6.4表示了角速度为

(t)的一个刚体。考虑在时刻t定义于世界空间的向量r(t)。假定该向量固定在刚体上，r(t)与刚体一起在世界空间中移动。既然r(t)是一个方向，它独立于任何平移，特别是，dr(t)/dt

独立于v(t)。为了研究dr(t)/dt,我们把r(t)分解为矢量a和b,其中a平行于

(t)，b垂直于

(t)。假使刚体保持一个恒定的角速度，结果r(t)的顶端划出一个中心在

(t)轴上的圆。这个圆的半径是|b|。因为矢量r(t)的尖瞬时地是沿着这个圆移动，r(t)的瞬时的改变是垂直于b和ω(t)两者的。因为r(t)的顶端正在沿着一个半径为b的圆移动，r(t)的瞬时的速度具有模|b||

(t)|。因为b和

(t)垂直，他们的叉积具有模(6-5)既然r(t)=a+b，且a平行于

(t),

(t)

a

=0，因此归纳以上所述，在时刻t，我们知道在世界空间的刚体的x轴的方向是R(t)的第一列，它是在时刻t，R(t)的第一列的导数恰恰是这个矢量的变化率：使用叉积规则，这个改变是对于R(t)的其它两列是同样的。这意味着我们可以记为了简化上述表达式，使用下述算子。如果a和b是3维矢量，那么a

b是矢量给定矢量a,定义a*是矩阵那么，使用符号“*”,我们可以重新把简化为

根据矩阵的乘法规则，我们可以提取出公因子这是矩阵和矩阵的乘积。记二、刚体的速度和加速度二、刚体的速度和加速度{A}固定，刚体与{B}固结二、刚体的速度和加速度{B}相对于{A}移动，姿态不变二、刚体的速度和加速度{B}相对于{A}纯滚动，若已知{C}相对{B}的转动角速度为B

C，则{C}相对{A}的转动角速度和角加速度矢量为二、刚体的速度和加速度线速度、线加速度角速度、角加速度三、旋转关节的连杆运动的传递如图所示,连杆i＋1相对连杆i转动的角速度是绕关节i＋1运动引起的,关节角速度Z轴单位向量两关节角速度向量转换到同一坐标系中，有在{i+1}坐标系中表示角速度线速度连杆i转动速度而产生的分量在{i+1}坐标系中表示角加速度，线加速度四、移动关节的连杆运动传递i+1为移动关节即，连杆i+1相对于连杆i移动，i+1没有转动，有五、质心的速度和加速度计算操作臂各连杆运动传递的公式利用这些公式即可依次从基座开始递推各连杆的速度、加速度基座：转动关节：移动关节：质心：六、雅可比矩阵的速度递推法通过逐次递推，可以得到末端连杆速度记末端连杆的笛卡尔广义速度为注意到它是各关节变量和速度的函数，写为矩阵方程的形式，则可得5.2连杆静力学分析建立连杆i的力和力矩平衡方程在本地坐标系下表示，暂时忽略连杆本身的自重，计算每个关节的驱动力或力矩各个连杆所承受的力向量和力矩向量中，某些分量由操作臂本身的连杆结构所平衡，一部分量则为各关节的驱动力或力矩所平衡。对转动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量对转动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量方法：利用运动递推和力的递推建立操作臂动力学方程，建立动力学逆问题的求解方法一、牛顿-欧拉方程

5.3牛顿-欧拉递推动力学方程

转动惯量相对于质心坐标系的惯性张量三、动力学逆问题递推算法已知：关节位移、速度、加速度求解：关节力矩或力算法步骤：1）向外递推

计算各连杆的速度和加速度，由牛顿-欧拉公式计算各连杆的惯性力和力矩。2)向内递推

计算各连杆相互作用力和力矩，以及关节驱动力和力矩。逆问题注意，应将操作臂末端与外界的接触力和力矩包含在平衡方程之中，作为向内递推的初值；如果操作臂在自由空间运动，则如果考虑连杆的重力，则取

且方向向上．即机器人的基座以加速度g作向上加速运动，从而抵消相当于重力造成的影响。5.4关节空间和操作空间动力学离心力和哥氏力向量重力矢量操作臂的惯性矩阵5.7

拉格朗日动力学拉格朗日动力学描述则基于系统能量的概念。对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能Ek与总的势能Ep之差，即式中，是表示动能和势能的广义坐标，是相应的广义速度。连杆i具有的动能Eki为

操作臂所具有的动能是n个连杆的动能之和连杆质心线速度引起的动能连杆角速度产生的动能由前面的速度分析可知，vci和i

i是操作臂关节变量q和关节速度的函数．因此操作臂的动能是关节变量和关节速度的标量函数，记为。操作臂的动能为显然，操作臂的动能Eki是其惯性矩阵的二次型。由于动能Eki为正，因而D(q)是正定的矩阵。质点的动能为上式的特殊情况，即n×n阶操作臂惯性矩阵；依赖于形位；连杆i具有的势能为操作臂所具有的势能为各连杆势能之和由于位置矢量是关节变量q的函数，因此势能也为q的标量函数，记为EP(q).3×1的重力加速度向量连杆i质心的位置矢量。利用拉格朗日函数L，系统的动力学方程(称第二类拉格朗日方程)为τ是n×1的关节驱动力矩矢量。由于势能EP不显含,因而动力学方程变为不含Ep作业5.1,5.3转换到基坐标系下表示例5．2如图5-2所示，令3f是水平向左作用在机械手的末端执行器(即坐标系{3}原点上)的外力，那么各关节力的表达式可反向递推如下：为了简单起见、假定平面2R机械手的两个连杆的质量集中在连杆末端，分别为m1和m2。机械手的运动参数和动力学参数为例5.3Y0X0连杆1的正向递推连杆2的正向递推反向递推对连杆2对连杆1上式即是关节驱动力矩作为关节位移、速度和加速度的显函数表达式。即为平面2A机械手动力学方程的封闭形式。最后，将z轴分量列出，即得到两关节力矩5.8操作臂的动力学建模操作臂是个复杂的动力学系统，前面在推导其动力学方程时忽略了许多因素。作了许多简化假设。其中最主要的是机构中的摩擦、间隙和变形。在机器人传动机构中，齿轮啮合和轴承中的摩擦力，通常很大，可