（初中教案）九年级春季班第10讲：直角三角形的存在性问题-教师版-张于

（初中教案）九年级春季班第10讲：直角三角形的存在性问题-教师版-张于（初中教案）九年级春季班第10讲：直角三角形的存在性问题-教师版-张于/（初中教案）九年级春季班第10讲：直角三角形的存在性问题-教师版-张于直角三角形的存在性问题直角三角形的存在性问题内容分析内容分析在考虑是否为直角三角形时,很显然需要讨论三种情况：①;②;③．在大多数问题中,其中某两种情况会较为简单,剩下一种则是考察重点,需要用到勾股定理、相似/全等等知识才能求得．知识结构知识结构模块模块一：以函数为背景的直角三角形问题知识知识精讲知识内容：在以函数为背景的此类压轴题中,坐标轴作为一个"天然”的直角存在,在解题时经常会用到,作出垂直于坐标轴的直线来构造直角.另外,较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形．解题思路：按三个角分别可能是直角的情况进行讨论;计算出相应的边长等信息;根据边长与已知点的坐标,计算出相应的点的坐标．例题解析例题解析如图,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C．(1)求点A、B的坐标;xyABCO(2)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以AxyABCO角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式．【答案】(1)A、B的坐标分别为(,0),(2,0);(2)直线l解析式为或．【解析】(1)解方程, 可得：A、B的坐标分别为(,0),(2,0);(2)设AB中点为D,D点为(,0),以D为圆心,AD为半径作圆, 若l与y轴平行,则找不到3个M点,使为直角三角形． ∴l不与y轴平行． ∴必定存在2个M点,使或． 要满足"以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”,即直线l与圆D相切,设切点为M0,过M0作M0H⊥x轴于H, ∵,, ∴,． ∴M0的坐标为或． ∴直线l解析式为或．【总结】本题主要考查二次函数背景下的直角三角形的存在性问题,注意认真分析题目中的条件,从而求出正确的结果．

在平面直角坐标平面内,O为原点,二次函数的图像经过点A(,0)和点B(0,3),顶点为P．(1)求二次函数解析式及点P的坐标;(2)如果点Q是x轴上一点,以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形,求点Q的坐标．【答案】(1)解析式：,顶点(1,4);(2)点Q的坐标是(1,0)或(9,0)．【解析】(1)由题意得,解得：,;∴二次函数解析式为,∴点P的坐标是(1,4);(2)P(1,4),A(,0),∴设点Q的坐标是(x,0),则,．eq\o\ac(○,1)当时,,∴,解得：,(不合题意,舍去),∴点Q的坐标是(1,0);eq\o\ac(○,2)当时,,∴,解得：,∴点Q的坐标是(9,0)．eq\o\ac(○,3)当时,不合题意．综上所述,所求点Q的坐标是(1,0)或(9,0)．【总结】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定,另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性,注意利用勾股定理确定点的坐标．

模块模块二：以几何为背景的直角三角形问题知识知识精讲解题思路：按三个角分别可能是直角的情况进行讨论;运用相似/全等、勾股定理等方法,计算出相应的边长．例题解析例题解析如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA．(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标;(2)在点P从O向A运动的过程中,能否成为直角三角形?若能,求t的值．若不能,请说明理由．【答案】(1)D点坐标为;(2)t=2或3．【解析】解：(1)取CP中点M,作MN⊥OP于N,作DH⊥PA于H．ABCDOABCDOPxyHMN ∵,,P点坐标为, ∴D点坐标为; (2)当时,,∴．即,解得：或(舍)．当时,,∴,即,∴PA=1,∴t=3故当是直角三角形时,或3．【总结】本题一方面考查三角形的旋转问题,另一方面考查相似三角形的性质的运用,注意利用旋转的性质进行求解．如图,在中,CA=CB,AB=8,．点D是AB边上的一个动点,点E与点A关于直线CD对称,联结CE、DE．(1)求底边AB上的高;(2)设CE与AB交于点F,当为直角三角形时,求AD的长;(3)联结AE,当是直角三角形时,求AD的长．ABCDEH【答案】(1)3;(2)AD的长为或;(3)的长为ABCDEH【解析】解：(1)过C作CH⊥AB于H． ∵AC=BC,AB=8,∴AH=BH=4． 又∵,∴AC=BC=5,CH=3; (2)分情况讨论： ①当时,F与H重合,∴EH=2． ∵,∴． ∴; ②当时,作DM⊥AC于M,设CM=x, ∵,∴． ∴,∴,解得：． ∴;综上：当为直角三角形时,AD的长为或; (3)∵AD=DE,∴为直角三角形时,AD、DE只可能是直角边． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及判定直角三角形的存在性,解题时根据题意认真分析,注意进行分类讨论．如图,已知为等边三角形,AB=6,点P是AB上的一个动点(与A、B不重合),过点P作AB的垂线与BC交于点D,以点D为正方形的一个顶点,在内作正方形DEFG,其中D、E在BC上,F在AC上．(1)设BP的长为x,正方形DEFG的边长为y,写出y与x的函数关系式及定义域;(2)当BP=2时,求CF的长;(3)是否可能成为直角三角形?若能,求出BP的长;若不能,请说明理由．【答案】(1)();(2);(3)BP的长为或者为．ABCDEFGPABCDEFGP∴,;∵,,∴;又∵四边形DEFG是正方形,∴,,∴;∴,∴();ABCDEFGP(2)当ABCDEFGP(3)能成为直角三角形．eq\o\ac(○,1)时,如图;,,解得：．ABCDEFGPeq\o\ac(○,ABCDEFGP则,,解得：．∴当为直角三角形,BP的长为或者为．【总结】本题综合性较强,主要考查动点背景下的正方形与直角三角形的存在性,注意对相关性质的准确运用．ABCDEPQ如图,在中,,AC=4cm,BC=5cm,点ABCDEPQCD=3cm．现有两个动点P、Q分别从点A、B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE//BC交AD于点E,联结EQ．设动点运动时间为x(s)．(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;(2)当x为何值时,为直角三角形．【答案】(1),;(2)当x为2.5s或3.1s时,为直角三角形．ABCDEPQ【解析】(1)在中,AC=4,CDABCDEPQ∵EP//DC,∴∽,∴,即,∴,;(2)分两种情况讨论：ABCDEPQeq\o\ac(○,1)当时,ABCDEPQ易得,又∵EQ//AC,∴∽,∴,即,解得：x=2.5;eq\o\ac(○,2)当时,如图;∵,,∴∽,∴,即,解得：x=3.1;综上所述：当x为2.5s或3.1s时,为直角三角形．【总结】本题主要考查动点背景下的相似三角形的综合运用,注意得到相应的线段比,从而求出相应的线段长,第(2)问中的直角三角形注意进行两种情况的分类讨论．

随堂检测随堂检测如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像经过点A(,0)、B(4,0)、C(0,2)．点D是点C关于原点的对称点,联结BD,点E是x轴上的一个动点,设点E的坐标为(m,0),过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P．(1)求这个二次函数的解析式;(2)当点E在线段OB上运动时,直线l交BD于点Q,当四边形CDQP是平行四边形时,求m的值;ABCO(3)是否存在点P,使是不以ABCO出点P的坐标;如果不存在,请说明理由．【答案】(1);(2)m=2;(3)(3),,．【解析】解：(1)∵二次函数过点A、B, ∴设二次函数为． 将点C(0,2)代入,解得． ∴二次函数解析式为：;(2)D点坐标为(0,)． ∴直线BD的解析式为：． ∴P点坐标为,Q点坐标为． ∵CD=PQ, ∴． 解得：m=2或m=0(舍),故m的值为2; (3),,．(注：可设过B或D的与BD垂直的直线,然后与二次函数联立后解出)【总结】本题综合性较强,考查的内容也比较多,包含了二次函数解析式的确定,还有就是平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定,注意利用相关性质去确定点的坐标．如图,在Rt中,∠ACB=90°,AB=13,CD//AB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合),联结AE交边BC于F,∠BAE的平分线交BC于点G．(1)当CE=3时,求S△CEF∶S△CAF的值;(2)设CE=x,AE=y,当CG=2GB时,求y与x之间的函数关系式;(3)当AC=5时,联结EG,若为直角三角形,求BG的长．【答案】(1);(2);(3)BG的长为6或．【解析】解：(1)∵CD//AB,CE=3,AB=13,ABCGFABCGFEDM ∴． (2)延长AG交CD于M． ∴． ∴． ∵CD//AB, ∴, ∴AE=EM, ∴． (3)∵,∴分两种情况讨论． ①当时,可得AG=GM． ∵CD//AB, ∴; ②当时,可得, ∴,． 又∵,, ∴, ∴GA=GB． ∴．综上所述,若为直角三角形,BG的长为6或．【总结】本题综合性较强,考查的内容也比较多,包含了面积的比值,函数解析式的确定以及直角三角形的存在性的确定,注意在求解析式时,利用角平分线的性质去确定解析式．课后作业课后作业如图,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为(,0),点B是点A关于原点的对称点,P是函数()图像上的一点,且是直角三角形,求点P的坐标．ABOxy【答案】((2,ABOxy【解析】解：分情况讨论,因为点P在第一象限,所以不可能为．当时, ∴P点横坐标为2, ∴P点为(2,1);当时,连接OP,∴OP=OA=2, 设P点为,∴． 解得：或,∵点P在第一象限,∴,综上,P点的坐标可能为(2,1)或()．【总结】本题主要考查直角三角形的存在性问题,由于本题中P点在第一象限,因此注意直角三角形只有两种情况．

如图,在中,AB=AC=10,cosB=．D、E为线段BC上的两个动点,且DE=3(E在D右边),运动初始时D和B重合,当E和C重合时运动停止．过E作EF//AC交AB于F,联结DF．(1)设BD=x,EF=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(2)如果为直角三角形,求的面积;(3)如图2,如果MN过的重心,且MN//BC分别交FD、FE于M、N,求整个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积(直接写出答案)．AABCDEFABCDEFNM图1