（初中教案）九年级春季班第1讲：相似三角形-学生版-张于

（初中教案）九年级春季班第1讲：相似三角形-学生版-张于（初中教案）九年级春季班第1讲：相似三角形-学生版-张于/（初中教案）九年级春季班第1讲：相似三角形-学生版-张于相似三角形相似三角形知识结构知识结构模块模块一：比例线段知识知识精讲一、比和比例一般来说,两个数或两个同类的量与相除,叫做与的比,记作(或表示为);如果(或),那么就说、、、成比例．比例的性质基本性质：如果,那么;如果,那么,,．合比性质：如果,那么;如果,那么．等比性质：如果,那么．比例线段的概念对于四条线段、、、,如果(或表示为),那么、、、叫做成比例线段,简称比例线段．黄金分割如果点把线段分割成和()两段(如下图),其中是和的比例中项,那么称这种分割为黄金分割,点称为线段的黄金分割点．其中,,称为黄金分割数,简称黄金数．AAPB三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例．lABCDEABCDEABCDEll如图,已知lABCDEABCDEABCDEll三角形一边的平行线性质定理推论ABCDEABCDE如图,点、分别在的边、上,如果DE//BC,那么．三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点,三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边．三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边．ABCDEABCDEABCDE如图,在中,直线与、所在直线交于点和点,ABCDEABCDEABCDE平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例．如图,直线////,直线与直线被直线、、所截,那么．BBCDEFG平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截,如果一条直线上截得的线段相等,那么另一条直线上截得的线段也相等．例题解析例题解析ABCDE如图,点D、E分别在的边AB和BC上．下列所给的四个条件中,不一定能得到DE//ACABCDEA． B．C． D．【难度】★【答案】【解析】在比例尺为1：40000的一张地图上,量得A、B两地的距离是37cm,那么A、B两地的实际距离是______km．【难度】★【答案】【解析】FEDABC(2015学年·普陀区二模·第5题)如图,已知////,DE=4,DF=6,那么下列结论正确的是(FEDABCA．BC：EF=1：1B．BC：AB=1：2C．AD：EF=2：3D．BE：CF=2：3【难度】★【答案】【解析】如果线段a=4cm,b=9cm,那么它们的比例中项是______cm．【难度】★【答案】【解析】BCDEFGA四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,CE交边AD于点BCDEFGA求证：CG是EG与FG的比例中项．【难度】★【答案】【解析】(2014学年·长宁区二模·第16题)已知线段AB=10,P是线段AB的黄金分割点(AP>PB),则AP=______．【难度】★【答案】【解析】已知,,,求的值．【难度】★★【答案】【解析】如果直角三角形的斜边长为18,那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为______．【难度】★★【答案】【解析】ABCDEF(2015学年·浦东新区二模·第15题)如图,已知AD//EF//BC,AEABCDEFAD=2,EF=5,那么BC=______．【难度】★★【答案】【解析】(2015学年·普陀区二模·第17题)如图,点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上,EF与对角线BD交于点G,如果BE=5,BF=3,那么FG：EF的比值是_______．ABCABCDEFG【答案】【解析】(2015学年·长宁区、金山区二模·第23题)如图,BD是的角平分线,点E、F分别在BC、AB上,且DE//AB,．(1)求证：BE=AF;(2)设BD与EF交于点M,联结AE,交BD于点N,求证：．MAFBMAFBECD【答案】【解析】(2013学年·宝山区、嘉定区二模·第23题)如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,,E为CD的中点,联结AE并延长交BC的延长线于F;(1)联结BE,求证BE=EF．(2)联结BD交AE于M,当AD=1,AB=2,AM=EM时,求CD的长．ABCDABCDEFM【答案】【解析】

模块模块二：相似三角形知识知识精讲相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等,且它们各有的三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形．DABCE如图,是的中位线,那么在与中,,,;．由相似三角形的定义,可知这两个三角形相似．用符号来表示,记作,其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点;符号"”读作"相似于”．DABCE用符号表示两个相似三角形时,通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号"”后相应的位置上．根据相似三角形的定义,可以得出：(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;两个相似三角形的对应边的比,叫做这两个三角形的相似比(或相似系数)．(2)如果两个三角形分别与同一个三角形相似,那么这两个三角形也相似．相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．如图,已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点,则．AABCDEABCDEABCDE相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等,两个三角形相似．如图,在与中,如果、,那么．AABCA1B1C1常见模型如下：相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似．ABCA1B1C1如图,在与中,,,那么ABCA1B1C1相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例,两个三角形相似．如图,在与中,如果,那么∽．AABCA1B1C1直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例,两个直角三角形相似．ABCA1B1C1如图,在和中ABCA1B1C1那么∽．相似三角形性质定理相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析例题解析(2014学年·普陀区二模·第6题)在下列的正方形网格图中,每个小正方形的边长都是1,三角形的顶点都在格点上,那么与图1中相似的三角形所在的网格图是()图1图1 A． B． C． D．【难度】★【答案】【解析】(2013学年·普陀区二模·第11题)已知∽,且相似比为3：4,cm2,则______cm2．【难度】★【答案】【解析】ABCDEF如图,已知点D是中的边BC上的一点,,的平分线交边AC于点E,交AD于F,那么下列结论中错误的是(ABCDEFA．∽ B．∽C．∽ D．∽【难度】★【答案】【解析】ABCD如图,已知点D在的边AB上,且,．ABCD求的值．【难度】★【答案】【解析】ABCDEF如图,已知点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上,,BE=3cm,AB=6cm,矩形ABCD的周长为28cmABCDEF【难度】★【答案】【解析】ABCDE(2015学年·静安区二模·第5题)如图,已知点D、E分别在边AB、AC上,DE//BC,BD=2AD,那么等于(ABCDEA．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【难度】★★【答案】【解析】ABCDMG(2014学年·杨浦区二模·第13题)如图,中,如果AB=AC,ADBC于点D,M为AC中点,AD与BM交于点G,那么的值为ABCDMG【难度】★★【答案】【解析】ABCDEF如图,已知中,AB=AC,CD是边AB上的高,且CD=2,AD=1,四边形BDEF是正方形．和ABCDEF【难度】★★【答案】【解析】EADACBA(2013学年·奉贤区二模·第23题)已知：如图,点E是四边形ABCD的对角线EADACBA(1)求证：∽;(2)求证：．【难度】★★【答案】【解析】(2015学年·浦东新区二模·第23题)如图,已知：四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,CE交AD于点F,．ABCDEF(1ABCDEF(2)若DF=AF,求AC：BC的值．【难度】★★【答案】【解析】(2015学年·宝山区、嘉定区二模·第23题)如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,若,于E,于F,DE与BF相交于H,BF与AD的延长线相交于G．ABCDEFGH求证：(1)CD=BH;(2ABCDEFGH【难度】★★【答案】【解析】CBADEF(2015学年·松江区二模·第23题)如图,已知等腰中,AB=AC,ADBC,CEAB,垂足分别为D、CBADEF(1)求证：;(2)点F是AC的中点,联结DF,求证：．【难度】★★【答案】【解析】ABCDEF(2014学年·闵行区二模·第23题)如图,已知在梯形ABCD中,AD//BC,,AB=AD．点E在边AB上,且,DF平分,交BC于点F,联结CE、ABCDEF(1)求证：DE=DC;(2)如果,求证：．【难度】★★【答案】【解析】ABCDEFG(2013学年·静安区二模·第23题)已知：如图,在中,AB=AC,点D、E分别是边AC、AB的中点,DFAC,DF与CE相交于点F,AF的延长线与ABCDEFG(1)求证：;(2)联结CG,求证：．【难度】★★【答案】【解析】(2015学年·闸北区二模·第23题)如图,直角梯形ABCD中,,AD//BC,BC=2AD,点E为边BC的中点．(1)求证：四边形AECD为平行四边形;(2)在CD边上取一点F,联结AF、AC、EF,设AC与EF交于点G,且．求证：∽;(3)在(2)的条件下,当时,求：FG：EG的比值．ABCDABCDEFG【答案】【解析】如图,已知在中,P是边BC上的一个动点,PQ//AC,PQ与边AB相交于点Q,AB=AC=10,BC=16,BP=x,的面积为y．(1)求y关于x的函数解析式;ABCPQ(2)试探索：与能否相似?如果能相似,请求出xABCPQ【难度】★★★【答案】【解析】

随堂检测随堂检测如果两个相似三角形的面积的比为4：9,那么它们对应的角平分线的比是______．【难度】★【答案】【解析】ABCMN(2014学年·浦东新区二模·第6题)如图,和都是等边三角形,点M是的重心,那么的值为()ABCMNA． B． C． D．【难度】★★【答案】【解析】ABCDFE(2013学年·虹口区二模·第16题)如图,AB//DC,DE=2AE,CF=2BF,且DC=5,ABABCDFE【难度】★★【答案】【解析】ABCDEFOP已知,如图,D、E、F分别是的边BC、AB、AC的中点,AD与EF相交于点O,线段CO的延长线交AB于点ABCDEFOP【难度】★★【答案】【解析】(2013学年·杨浦区二模·第23题)如图,在平行四边形ABCD中,AEBC于E,AFCD于F．(1)求证：;(2)若M、N分别是AB、AD中点,且,求证：EM//FN．ABCABCDEF【答案】【解析】(2013学年·黄浦区二模·第23题)如图,中,,D是边BC上一点,点E、F分别是线段AB、AD中点,联结CE、CF、EF.ABCDEF(1ABCDEF(2)联结DE,当BD=2CD时,求证：DE=AF.【难度】★★【答案】【解析】ABCDPGOFHE(2015学年·崇明县二模·第23题)已知正方形ABCD的对角线相交于点O,的平分线分别交BD、BC于点E、F,作,垂足为H,BH的延长线分别交ACABCDPGOFHE(1)求证：AE=BG;(2)求证：．【难度】★★【答案】【解析】

课后作业课后作业(2013学年·长宁区二模·第4题)若∽(其中点A和、B和、C和分别对应),且AB=4,=6,则的周长和的周长之比是()A．9：4 B．4：9 C．2：3 D．3：2【难度】★【答案】【解析】ABCDEF已知,如图,在中,,点D为AB的中点,,垂足为点