认识无理数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.1认识无理数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】不是有理数的数（无理数的产生）如图，用剪拼的方法将两个边长为1的小正方形拼成如图①②③的某个大正方形，若大正方形边长为a，由拼法可知a2我们利用夹逼法进行探索：拼成的面积为2的大正方形的面积夹在面积为1和面积为4的两个正方形的面各之间，它的边形必然在1和2之间，显然a不为整数。又因为最简分数的平方仍为分数，若a为最简分数，则仍然是一个分数，也不等于2，所以a也不为分数。从上面分析与推理，若【知识点2】无理数的概念无理数的概念无限不循环小数称为无理数，如圆周率≈3.14159265...,1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)等常见的无理的的几种类型一般的无限不循环小数，如1.4142345...；有规律的不循环小数，如1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)；含的一些数，如5；开方开不尽的数，无理数与有理数的和，如+4；无理数乘以或除以一个不为0的有理数，结果是无理数，如.【考点一】无理数➼➻无理数的产生与证明【例1】证明：x2=【分析】假设x是有理数，则x可以表示为（均为整数且互质），从而可得，由此判断出是偶数，再设（为整数），从而可得，由此判断出是偶数，据此得出假设不成立，即可得证．证明：假设x是有理数，故x可以表示为（均为整数且互质），则，因为是偶数，所以是偶数，所以是偶数，设（为整数），则，即，所以也是偶数，这和互质矛盾．所以假设不成立，x是无理数．【点拨】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键．【举一反三】【变式】设a是有理数，x是无理数，证明：是无理数，且当时，是无理数．【分析】根据有理数的和差积商仍为有理数证明即可．解：假设是有理数，则也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数．同理假设是有理数，也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数．【点拨】本题考查了用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．【考点二】无理数➼➻无理数的概念【例2】把下列各数的序号填入相应的横线内：①，②＋8，③20%，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（每两个“1”之间依次多一个“3”）．整数：{

}；负分数：{

}；无理数：{

}．【答案】整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨【分析】先化简多重符号及绝对值，然后根据有理数及无理数的定义求解即可．解：，，整数：＋8，0，；负分数：，；无理数：，（每两个“1”之间依次多一个“3”）．故答案为：整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨．【点拨】题目主要考查数的分类及化简，熟练掌握数的分类是解题关键．【举一反三】【变式1】把下列各数分别填入相应的大括号内：，，，，，，，，，．整数集合{___________…}；正分数集合{___________…}；非正数集合{___________…}；无理数集合{___________…}．【分析】根据各自的定义：整数（正整数、零和负整数）；无理数（无限不循环的小数），即可求解．解：负整数；是小数也是分数；是负数，也是小数；是无理数；是整数；是分数；是小数也是分数；是带分数，也是负数；是正整数，是循环小数，也是有理数；即有：整数集合：{，，，}；正分数集合：{，，，，}；非正数集合：{，，，，}；无理数集合：{，}．【点拨】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、无理数、非正数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．正分数是首先是分数，即是有理数，再是正数．【变式2】把下列各数的序号填入相应的集合里.，，，，，，，正数集合：{___________…}；整数集合：{___________…}；负分数集合：{___________…}；无理数集合：{___________…}.【答案】；；；【分析】根据有理数及无理数的分类解答即可．解：，，，正数集合：{…}；整数集合：{…}；负分数集合：{…}；无理数集合：{…}.故答案为：；；；【点拨】本题考查了有理数及无理数的分类，解决本题的关键是熟练掌握有理数及无理数的分类方法．【考点三】无理数➼➻勾股定理与无理数【例3】500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：（1）x是整数吗？为什么不是？（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？【答案】（1）在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是.【分析】（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．解：（1）不是，∵1<2<4，而x2=2∴1<x2<4，若x>0，1<x<2，∴在1和2之间不存在另外的整数.（2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数.【点拨】本题主要考查无理数和勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．【举一反三】【变式1】已知长方体的体积是1620，它的长、宽、高的比是5：4：3，问长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？【答案】长、宽、高分别为15，12，9，不是无理数．分析：首先根据题中条件求出长方体的长、空、高的值，然后再根据无理数的定义判断这些值是否是无理数即可.解答：该长方体的长、宽、高不是无理数，理由如下：设该长方体的长、宽、高分别为5x，4x，3x．由题意可得：60x3=1620，解得x=3，∴该长方体的长、宽、高分别为15，12，9，∵15，12，9都是整数，属于有理数，不属于无理数，∴该长方体的长、宽、高不是无理数.【变式2】请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形：（1）使它的三边中有一边边长不是有理数；（2）使它的三边中有两边边长不是有理数；（3）使它的三边边长都不是有理数．【分析】（1）可使直角边长分别为2和3，斜边长即不是有理数；（2）可使一条直角边长为边长1与2的长方形的对角线，另一条直角边长为边长为