2024年吉林省长春市二道区力旺实验中学中考数学考前模拟试卷

第1页（共1页）2024年吉林省长春市二道区力旺实验中学中考数学考前模拟试卷一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）计算32的结果是（）A．6 B．9 C．8 D．52．（3分）如果把202400这个数精确到千位，并且用科学记数法表示，正确的是（）A．202×103 B．2.02×105 C．2.02×104 D．2.024×1053．（3分）如图，是由下列哪个立体图形展开得到的（）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱4．（3分）3是下列哪个不等式的解（）A．x+3＞0 B．x+3＜0 C．x﹣3＞0 D．x﹣5＞05．（3分）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB反射之后，若∠CAP＝40°，∠DBP＝66°（）A．26° B．80° C．106° D．132°6．（3分）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），EF∥BC，∠AEF＝143°，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A． B． C． D．7．（3分）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．只有①8．（3分）糖固体溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图：x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（含糖浓度：瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二.填空题（每题3分，共18分）9．（3分）计算：（）﹣1+（π﹣2）0＝．10．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+m的图象与直线y＝3有且只有一个公共点时，m＝．11．（3分）走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”的轮子．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，则，，组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．若AB＝3，则此“莱洛三角形”的周长为．12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点．13．（3分）一些木工师傅利用平行四边形的不稳定性制作了一种放缩尺，可将图形进行缩放．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AB＝A'B＝2，以点O为轴心，当A处制图笔所画图形的面积为3时，则A'处制图笔所画图形的面积是．14．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2．将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作C1，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作C2，C1和C2构成的图形记作C3．关于图形C3，给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；②图形C3有最小值，且最小值为0；③当x＞0时3的函数值都是随着x的增大而增大的；④当﹣2≤x≤2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论的序号是．三.解答题（共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝5．16．（6分）甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，则不分胜负．三人游戏时，若三人的手势都相同或互不相同；游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀（1）甲、乙两人玩此游戏，则甲胜出的概率是；（2）甲、乙、丙三人玩此游戏，甲决定出“石头”，请用画树状图或列表的方法分析甲胜出的概率．（其中石斗、剪刀、布分别用序号A、B、C表示）．17．（6分）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．18．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，以BD为边作等边△BDE，连接点A、E．（1）求证：四边形AEBF为矩形；（2）若AC＝4，则线段MN＝．19．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中以AB为边画一个等腰三角形，使它的三边长均是无理数；（2）在图②中以AB为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为1：2；（3）在图③中以AB为边画一个钝角三角形，使它的钝角为135°．20．（7分）一本图鉴中的照片由1开始连续编号，由于装订线脱落，照片散落一地．小明想利用统计学知识估计照片总数，将其编号作为样本，数据整理如下：a.10张照片的编号：4，15，34，68，88，102，110b．10张照片编号的最小值、最大值、平均数和中位数：最小值最大值平均数中位数414470m（1）表中m＝；（2）设照片总数为n，所有照片编号分别为1，2，…，n，这n个数的平均数和中位数均为．①利用样本平均数估计全体平均数，可估算出照片的总数n1为，②利用样本中位数估计全体中位数，可估算出照片的总数n2为，小明发现，有一个估算结果不合理，这个不合理的结果是（填“n1”或“n2”）；（3）小明想到还可使用样本数据的“平均间隔长度”进行估计．在下面的示意图中，用x1，x2，…，x10表示随机抽取的10张照片编号从小到大排序，则从0到x10的平均间隔长度为，从0到n的平均间隔长度为，请估算出照片的总数n（结果精确到整数）．21．（8分）输液管上有一个调节滴速的开关，护士能通过调整这个开关控制药液输入人体的时间．对于不同的药物，不同体质的人输液速度不相同．下表记录了40min内5个时间点的剩余药液量，y表示剩余药液量．输液所用时间t/min010203040剩余药液量y/mL10085705540根据以上信息解决下列问题：（1）研究发现剩余药液量y与输液所用时间t存在函数关系，在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点；（2）结合表中数据求剩余药液量y关于输液所用时间t的函数解析式；（3）在这种输液速度下，请根据函数图象直接写出100mL药液需要分钟输完．22．（9分）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，⊙O的半径为r＝2，点A在⊙O上，过点B作OA垂线l．点P是⊙O上一动点，点P关于直线l的对称点为P'【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点P'在一个确定的圆上，下面是部分证明过程：证明：证明过程缺失∴点P'在以点为圆心，为半径的圆上．请你补全证明中的缺失过程．【结论应用】如图②，⊙O的半径为r＝2，点A与点C在⊙O上且∠AOC＝90°．点B为线段OA上的点，且上一动点，点P关于直线l的对称点为P′．当点P从点A运动到点C时．【拓展提升】如图③，若把上述问题的条件“AB＝”去掉，CD为⊙O直径．点D到点P'距离d的取值范围是．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3．动点P从点B出发，沿折线BC﹣CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D（t＞0）．（1）当点P和点C重合时，线段BD的长为；（2）当点P在边CA上运动时，若△BPD为等腰三角形，求t的值；（3）当点P在边BC上运动时，求△ABD周长的最小值，并求出此时t的值；（4）不添加任何辅助线，当图中存在三角形与△BPD相似时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点M在抛物线y＝x2﹣2x上，以点M为中心构造边长为2的正方形ABCD，边AB⊥y轴，点Q在抛物线上且横坐标比点P的横坐标大l．设点M的横坐标为m．（1）当m＝﹣1时，求点P纵坐标的最小值与最大值；（2）若点Q横坐标的最大值为3，求点P纵坐标的最小值；（3）若存在直线PQ只经过两个象限，求m的取值范围；（4）当m≥﹣2时，若存在△APQ与△OPQ，使得△APQ的面积大于△OPQ的面积

2024年吉林省长春市二道区力旺实验中学中考数学考前模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）计算32的结果是（）A．6 B．9 C．8 D．5【解答】解：32＝3×3＝9．故选：B．2．（3分）如果把202400这个数精确到千位，并且用科学记数法表示，正确的是（）A．202×103 B．2.02×105 C．2.02×104 D．2.024×105【解答】解：202400＝2.024×105≈6.02×105．故选：B．3．（3分）如图，是由下列哪个立体图形展开得到的（）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱【解答】解：如图，是三棱柱的展开图，故选：B．4．（3分）3是下列哪个不等式的解（）A．x+3＞0 B．x+3＜0 C．x﹣3＞0 D．x﹣5＞0【解答】解：A：x+3＞0，x＞﹣6．B：x+3＜0，x＜﹣2．C：x﹣3＞0，x＞8．D：x﹣5＞0，x＞3．故选：A．5．（3分）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB反射之后，若∠CAP＝40°，∠DBP＝66°（）A．26° B．80° C．106° D．132°【解答】解：过点P作EP∥AC，如图所示：∵∠CAP＝40°，∴∠APE＝∠CAP＝40°，∵AC∥BD，∠DBP＝66°，∵BD∥EP，∴∠BPE＝∠DBP＝66°，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝106°．故选：C．6．（3分）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），EF∥BC，∠AEF＝143°，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A． B． C． D．【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，则∠EHG＝∠HEF＝90°，∵∠AEF＝143°，∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°，∠EAH＝37°，在△EAH中，∠EHA＝90°，AE＝1.2米，∴EH＝AE•sin∠EAH≈5.2×0.60＝5.72（米），∵AB＝1.2米，∴AB+EH≈5.2+0.72＝2.92≈1.9米．故选：A．7．（3分）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．只有①【解答】解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线．故选：B．8．（3分）糖固体溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图：x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（含糖浓度：瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：根据题意，可知xy的值即为糖水中含糖固体质量，∵描述甲、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，∴甲、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同，∵点乙在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面，∴乙瓶的xy的值最大，即糖水中含糖固体质量最多，即糖水中含糖固体质量最少，故选：B．二.填空题（每题3分，共18分）9．（3分）计算：（）﹣1+（π﹣2）0＝3．【解答】解：＝8+1＝3，故答案为：7．10．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+m的图象与直线y＝3有且只有一个公共点时，m＝4．【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x+m的图象与直线y＝7有且只有一个公共点，∴令y＝x2﹣2x+m＝8，得方程x2﹣2x+m﹣3＝0．∴Δ＝4﹣2（m﹣3）＝0．∴m＝5．故答案为：4．11．（3分）走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”的轮子．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，则，，组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．若AB＝3，则此“莱洛三角形”的周长为3π．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠BAC＝60°，∴的长为：，∴“莱洛三角形”的周长＝π×3＝3π．故答案为3π．12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点10．【解答】解：如图，连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝，解得AD＝10，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，连接AM，则BM+DM＝AM+DM≥AD，∴当点M在线段AD上时，BM+DM的值最小，∴AD的长10为BM+MD的最小值．故答案为：10．13．（3分）一些木工师傅利用平行四边形的不稳定性制作了一种放缩尺，可将图形进行缩放．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AB＝A'B＝2，以点O为轴心，当A处制图笔所画图形的面积为3时，则A'处制图笔所画图形的面积是27．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝1，BC∥AD，∴A′C＝2+3＝3．连接OA′，由题知点A在OA′上，∵BC∥AD，∴△ADO∽△ACO．又∵，∴A'处制图笔所画图形的面积与A处制图笔所画图形的面积的比值为5，又∵A处制图笔所画图形的面积为3，∴A'处制图笔所画图形的面积是27．故答案为：27．14．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2．将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作C1，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作C2，C1和C2构成的图形记作C3．关于图形C3，给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；②图形C3有最小值，且最小值为0；③当x＞0时3的函数值都是随着x的增大而增大的；④当﹣2≤x≤2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论的序号是①②④．【解答】解：①由图形可知，图形C3关于y轴成轴对称，故正确；②图形C3有最小值，且最小值为5；③当x＞0时，图形C3的函数值先随着x的增大而减小，当函数值为7后，故③错误；④当﹣2≤x≤2时，图形C4恰好经过（﹣2，2），2），2），1），3）共5个整点（即横，故④正确，所以，①②④是正确的结论．故答案为：①②④．三.解答题（共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝5．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，当x＝5时，原式＝＝．16．（6分）甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，则不分胜负．三人游戏时，若三人的手势都相同或互不相同；游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀（1）甲、乙两人玩此游戏，则甲胜出的概率是；（2）甲、乙、丙三人玩此游戏，甲决定出“石头”，请用画树状图或列表的方法分析甲胜出的概率．（其中石斗、剪刀、布分别用序号A、B、C表示）．【解答】解：（1）将“石头”、“剪刀”、B、C，列表如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）由表格可知，共有9种等可能出现的结果，所以甲胜出的概率为＝，故答案为：．（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲胜出的有7种结果（A，B、（A，A、（A，B，∴甲胜出的概率为＝．17．（6分）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．【解答】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积为x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为6x亩，由题意得：﹣＝20，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，∴8x＝60，答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为60亩．18．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，以BD为边作等边△BDE，连接点A、E．（1）求证：四边形AEBF为矩形；（2）若AC＝4，则线段MN＝．【解答】（1）证明：连接EF，∵等边△ABC中，点D是AC的中点，∴AF＝BD，∠CBD＝30°，∵△BDE是等边三角形，∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∴AF＝BD＝BE，∠EBF＝∠AFB＝90°，在△ABF和△EFB中，，∴△ABF≌△EFB（SAS），∴AB＝EF，∵∠AFB＝∠EBF＝90°，∴AF∥BE，又∵AF＝BE，∴四边形AEBF是平行四边形，∵AB＝EF，∴四边形AEBF是矩形；（2）解：∵AC＝4，△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝4，∵点D是AC的中点，∴∠BDC＝90°，CD＝7，∴BD＝BC＝2，∵点F是BC的中点，∴BF＝2，∴FN＝BF＝，∴BN＝2FN＝，∴DN＝BD﹣BN＝，∵△BDE是等边三角形，∴∠DEB＝∠DBE＝60°，∵MN∥BE，∴∠DMN＝∠DEB＝∠DNM＝∠DBE＝60°，∴△DMN是等边三角形，∴MN＝DN＝．故答案为：．19．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中以AB为边画一个等腰三角形，使它的三边长均是无理数；（2）在图②中以AB为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为1：2；（3）在图③中以AB为边画一个钝角三角形，使它的钝角为135°．【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；（2）如图所示：△ABD即为所求；（3）如图所示：△ABE即为所求；20．（7分）一本图鉴中的照片由1开始连续编号，由于装订线脱落，照片散落一地．小明想利用统计学知识估计照片总数，将其编号作为样本，数据整理如下：a.10张照片的编号：4，15，34，68，88，102，110b．10张照片编号的最小值、最大值、平均数和中位数：最小值最大值平均数中位数414470m（1）表中m＝78；（2）设照片总数为n，所有照片编号分别为1，2，…，n，这n个数的平均数和中位数均为．①利用样本平均数估计全体平均数，可估算出照片的总数n1为139，②利用样本中位数估计全体中位数，可估算出照片的总数n2为155，小明发现，有一个估算结果不合理，这个不合理的结果是n1（填“n1”或“n2”）；（3）小明想到还可使用样本数据的“平均间隔长度”进行估计．在下面的示意图中，用x1，x2，…，x10表示随机抽取的10张照片编号从小到大排序，则从0到x10的平均间隔长度为，从0到n的平均间隔长度为，请估算出照片的总数n（结果精确到整数）．【解答】解：（1）10张照片的编号是第5，6张照片的编号的平均数，∴＝78，∴m的值为78；（2）①10张照片编号的平均数为70，n个数的平均数为，∴＝70，解得：n1＝139；故答案为：139；②10张照片编号的中位数为78，n2个数的中位数为，∴＝78，解得，n6＝155；∵10张照片编号的最大值为144，且n1＝139＜n2＝155，∴不合理的结果是n2，故答案为：155，n1；（3）解：从0到x50的平均间隔长度为，从0到n的平均间隔139，长度为，根据题意，10张照片的编号中x80＝144，∴，解得n＝158.4≈158，∴估算出照片的总数n＝158．21．（8分）输液管上有一个调节滴速的开关，护士能通过调整这个开关控制药液输入人体的时间．对于不同的药物，不同体质的人输液速度不相同．下表记录了40min内5个时间点的剩余药液量，y表示剩余药液量．输液所用时间t/min010203040剩余药液量y/mL10085705540根据以上信息解决下列问题：（1）研究发现剩余药液量y与输液所用时间t存在函数关系，在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点；（2）结合表中数据求剩余药液量y关于输液所用时间t的函数解析式；（3）在这种输液速度下，请根据函数图象直接写出100mL药液需要分钟输完．【解答】解：（1）描出表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线画出函数图象如下：（2）y与t之间为一次函数，设y＝kt+b，把（0，（10，解得，∴y＝﹣1.5t+100；（3）在y＝﹣4.5t+100中，令y＝0得6＝﹣1.5t+100，解得t＝；故答案为：．22．（9分）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，⊙O的半径为r＝2，点A在⊙O上，过点B作OA垂线l．点P是⊙O上一动点，点P关于直线l的对称点为P'【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点P'在一个确定的圆上，下面是部分证明过程：证明：证明过程缺失∴点P'在以点A为圆心，2为半径的圆上．请你补全证明中的缺失过程．【结论应用】如图②，⊙O的半径为r＝2，点A与点C在⊙O上且∠AOC＝90°．点B为线段OA上的点，且上一动点，点P关于直线l的对称点为P′．当点P从点A运动到点C时π．【拓展提升】如图③，若把上述问题的条件“AB＝”去掉，CD为⊙O直径．点D到点P'距离d的取值范围是2≤d≤4．【解答】解：【问题解决】∵B是AO的中点，∴OB＝AB，∴O、A点关于直线l对称，∵P、P'关于直线l对称，∴OP＝OP'＝2，∴P'在以A为圆心，2为半径的圆上，故答案为：A，6；【结论应用】作O点关于直线l的对称点O'，∵P、P'关于直线l对称，∴OP＝O'P'，∵P点在上，∴P'在以O'为圆心，2为半径的，∴点P'的运动路径长＝×3×π×2＝π，故答案为：π；【拓展提升】作点O关于直线l的对称点M，∵P、P'关于直线l对称，∴P'在以M为圆心，2为半径的，当直线l经过直径CD时，DP'有最小值2，当直线l经过点A时，DP'有最大值2，∴2≤d≤5，故答案为：2≤d≤6．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3．动点P从点B出发，沿折线BC﹣CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D（t＞0）．（1）当点P和点C重合时，线段BD的长为5；（2）当点P在边CA上运动时，若△BPD为等腰三角形，求t的值；（3）当点P在边BC上运动时，求△ABD周长的最小值，并求出此时t的值；（4）不添加任何辅助线，当图中存在三角形与△BPD相似时，直接写出t的值．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4，∴AB＝＝＝5．当点P和点C重合时，∵BC⊥AC，点A关于点P的对称点D，∴AC＝CD，∴BC垂直平分AD，∴BD＝AB＝4．故答案为：5；（2）①当BP＝BD时，如图，∵BC⊥AC，∴PC＝CD．由题意得：PC＝t﹣3，∴AP＝AC﹣PC＝6﹣t，PD＝2PC＝2t﹣5，∵AP＝PD，∴7﹣t＝2t﹣3，∴t＝．②当DP＝BD时，如图，由题意得：PC＝t﹣3，AP＝AC﹣PC＝8﹣t，∴PD＝AP＝7﹣t，∴CD＝PD﹣PC＝10﹣2t，∵DP＝BD，∴PD7＝BD2，∵BD2＝BC4+CD2，∴（7﹣t）4＝32+（10﹣8t）2，此方程无解，∴DP＝BD不存在；③当DP＝BP时，如图，由题意得：PC＝t﹣3，AP＝AC﹣PC＝4﹣t，∴BP＝7﹣t，∵PB2＝PC8+BC2，∴（7﹣t）7＝32+（t﹣3）2，∴t＝．综上，当△BPD为等腰三角形时或．（3）延长AC至D′，使CD′＝AC，连接MD′，则此时△ABD周长最小，∵BC垂直平分AD′，∴PA＝PD′，∵PA＝PD，∴PD＝PD′．∵PA＝PD，AM＝MB，∴PM为△BAD的中位线，∴PM＝BD．∴△ABD周长的最小值＝AD+AB+BD＝2（PA+PM+AM）＝2（PD′+PM+）＝2MD′+7．过点M作MN⊥AD′于点N，∵BC⊥AC，∴MN∥BC，∵AM＝BM，∴AN＝NC＝AC＝2BC＝．∴ND′＝NC+CD′＝6，∴MD′＝＝，∴△ABD周长的最小值＝3+5．∵BC∥MN，∴△D′CP∽△D′NM，∴，∴CP＝1，∴PB＝BC﹣CP＝5，∵动点P从点B出发，沿折线BC﹣CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，∴t＝2．（4）①当点P为BC的中点时，∵BP＝PC，PA＝PD，∴，∵∠APC＝∠DPB，∴△APC∽△DPB，∴t＝时满足存在三角形与△BPD相似；②当点P与点C重合时，∵AC＝CD，BC⊥AD，∴BA＝BD，∴，∵∠BPD＝∠BPA＝90°，∴△BPD∽△BPA，∴t＝3时满足存在三角形与△BPD相似；③当点P与点C重合时，如图，如果△DPB∽△DBA，∴，∴BD2＝DA•DP．由题意得：PC＝t﹣3，AP＝AC﹣PC＝7﹣t，∴PD＝AP＝8﹣t，DC＝10﹣2t，∴DA＝2PD＝8（7﹣t），∵BD2＝BC6+CD2，∴37+（10﹣2t）2＝3（7﹣t）（7﹣t），∴t＝或t＝，舍去），综上，当图中存在三角形与△BPD相似时或6或．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点M在抛物线y＝x2﹣2x上，以点M为中心构造