二次根式（分层练习）（培优练）-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.20二次根式（分层练习）（培优练）一、单选题1．与最接近的整数是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．化简二次根式的结果是（

）A． B．－ C． D．－3．下列计算不正确的是（

）A． B．C． D．4．化简的结果为（）A． B．30 C． D．305．下列各式中，不正确的是（

）A．B． C． D．6．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5）=，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．若a、b、c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（

）A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定8．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（）①只存在一组和使得；②只存在两组和使得；③不存在和使得；④若只存在三组和使得，则的值为49或64A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（

）个①若是的小数部分，则的值为；②若（其中为有理数），则；③，则④A．4 B．3 C．2 D．110．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（

）①；②的小数部分为；③；④；⑤．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题11．a，b为有理数，且，则．12．若的积是有理数，则无理数m的值为．13．已知，则的值为．14．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为．15．若，则的值为．16．化简：17．把中根号外的移入根号内得．18．如图，在中，，是边上的高，图中线段上一动点，若满足，，，则以为边长的正方形面积是．

三、解答题19．计算：(1)； (2)．20．计算(1) (2)21．已知，，求的值．22．已知x＋y=－8，xy=8，求的值．23．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：∵，∴．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：（1）试化简和；（2）化简；（3）若，求4a2﹣8a+1的值．24．阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知ab2，ab3，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令xab，yab，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．计算：；m是正整数，a，b且．求m．已知，求的值．参考答案1．B【分析】把原式去括号后根据算术平方根的性质求解．解：原式=，∵49<54<64，∴，∵，∴，∴最接近7，∴最接近7-3即4，故选：B．【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．2．B【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可解：故选B【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．3．D解：根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知，故正确；根据二次根式的乘法，可知，故正确；根据二次根式的性质和化简，由分母有理化可得，故正确；根据二次根式的加减，可知与不是同类二次根式，故不正确.故选D.4．C解：先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得==，故选C．点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.5．B解：根据二次根式的性质和立方根的性质，逐一判断为：=3，=-3，故A正确；=4，=2，故B不正确；根据被开方数越大，结果越大，可知C正确；，可知D正确.故选B.6．B解：根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1）不正确；正确，故（2）正确；由=8，可知其平方根为±，故（3）不正确；根据算术平方根的意义，可知，故（4）不正确；根据分母有理化的意义，可知，故（5）正确.故选B.7．B解：因=，所以a=0，b=1，c=1，即可得2a＋999b＋1001c=999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．8．C【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案．解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式，，，当时，故该选项①正确；②，当，则当则．故选项②正确；③，当时，，所以不存在，故该选项③正确；④，，当时，，，，有无数和满足等式，故该选项④错误．故选：C．【点拨】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．9．B【分析】先估算出，则，然后对进行分母有理化即可判断①；根据推出，正在由为有理数，得到方程组，解方程组即可得到答案；只需要根据，推出，即可判断③；证明，然后对原式裂项即可判断④．解：由题意得，∵，∴，∴，∴，故①错误；∵，∴，∴，∴，∴，∵为有理数，∴，∴，∴，故②正确；∵，∴∴，∴，∴，故③正确；∵，∴，故④正确；故选B．【点拨】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，平方差公式的应用，无理数的估算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．10．B【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可．解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为；，它的整数部分为4，小数部分为；，它的整数部分为5，小数部分为；，它的整数部分为7，小数部分为；，它的整数部分为8，小数部分为；，它的整数部分为10，小数部分为；∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为；n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为；∴①，正确；②的小数部分为，错误；③，正确；④，错误；⑤，正确；综上所述，正确的是①③⑤,共3个；故选：B．【点拨】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．11．2【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即，且a，b为有理数，求出，进而得到．解：a，b为有理数故答案为：2．【点拨】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．12．【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解．解：的积是有理数，m是无理数，是有理数，令，（是有理数）解得：，当即，时，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质．13．/【分析】先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可．解：∵，∴，解得，∴，∴．故答案为：【点拨】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．14．或或【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．解：由题意得，解得，∵n是正整数，∴∴，∴，∴，∵是整数，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整数，∴或或，故答案为：或或【点拨】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．15．2022【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．解：由题意得a-2022≥0，∴a≥2022，∴|2021-a|=a-2021．∵，∴，，，即=2022．故答案为2022．【点拨】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键．16．【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出ab<0后，进行二次根式的化简即可．解：要使该二次根式有意义，则有故答案为：．【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．17．【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出a的取值范围，根据，然后根据二次根式的乘法公式将移入根号化简即可．解：根据二次根式有意义的条件可得：且解得：则，故答案为：．【点拨】此题考查的是二次根式的变形，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．18．或或【分析】根据题意，点在线段的垂直平分线上，设的中点为，根据点在上，根据勾股定理解三角形，即可求解．解：在中，，是边上的高，∴，∵∴在线段的垂直平分线上，设的中点为当点在上时，则重合，∵，，∴∴以为边长的正方形面积是，当在上时，如图所示，

∵，，，∴，∴，设，则，，∴，在中，，即，解得：，∴为边长的正方形面积是，当点在上时，如图所示，

则，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，为边长的正方形面积是，故答案为：或或．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，分类讨论是解题的关键．19．(1)；(2)【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式，即可解答；（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．（1）解：；（2）解：．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．(1)；(2)【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可解：（1）原式（2）原式【点拨】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．21．970【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．解：∵，，∴原式．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．22．【分析】根据已知条件可知，x，y是负数，再由二次根式的性质化简，把原式用x+y和xy表示即可求解．解：∵x＋y=－8，xy=8，∴x＜0，y＜0，∴【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法法则和加减法法则，先要根据式子，找出题目中的隐含条件，判断所含字母或式子的符号，再结合二次根式的定义和运算法则，把式子用x+y和xy表示，再整体代入求值．23．（1），；（2）；（3）5【分析】（1）利用分母有理化计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先将a的值化简为，进而可得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．解：（1）故答案为：，；（2）原式；（3），，，即．．．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式