5.4.2正弦函数余弦函数的性质（第1课时周期性奇偶性）课件高一上学期数学人教A版

第五章三角函数

正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期性、奇偶性人教A版

数学必修第一册课程标准1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求正弦函数、余弦函数的周期,并会应用.3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.基础落实·必备知识一遍过知识点1

函数的周期性1.周期函数的定义

定义域对应的集合是无限集

T可正、可负但不能为0一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个

常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且

=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.

2.最小正周期的定义如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的

,那么这个最小

就叫做f(x)的最小正周期.

非零

f(x+T)正数

正数

名师点睛1.对周期函数与周期定义中的“对每一个x∈D”,要特别注意“每一个”的要求.如果只是对某些x有f(x+T)=f(x),那么T不一定是f(x)的周期.2.自变量x本身加的常数才是函数的周期,如f(2x+T)=f(2x)中T不是函数的3.本书中涉及的周期,不加特殊说明,一般都是指函数的最小正周期.思考辨析周期函数的周期是否唯一?提示

不唯一.若f(x+T)=f(x),则f(x+nT)=f(x),n∈Z,且n≠0.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)所有的函数都有最小正周期.(

)2.正弦函数y=sinx的周期是

.

解析

∵sin(x+2π)=sin

x,∴y=sin

x的最小正周期为2π.3.若存在正数T,使f(x+T)=-f(x),则函数f(x)的一个周期为

.

××2π2T

知识点2

正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y=sinxy=cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性奇函数偶函数名师点睛函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期:思考辨析函数y=Asin(-2x)(A≠0)的奇偶性是怎样的?提示

根据奇偶性的定义知,该函数是奇函数.自主诊断1.[2024山东滨州高一期中]下列函数为奇函数的是(

)A.y=sinx-1 B.y=|sinx|C.y=3cosx+1 D.y=-sinxD解析

由题意,选项中函数的定义域为R,关于原点对称.对于A中,函数f(x)=sin

x-1,则f(-x)=sin(-x)-1=-sin

x-1≠-f(x),所以函数y=sin

x-1既不是奇函数,也不是偶函数,不符合题意;对于B中,函数f(-x)=|sin(-x)|=|sin

x|=f(x),所以函数y=|sin

x|为偶函数,不符合题意;对于C中,函数f(-x)=3cos(-x)+1=3cos

x+1=f(x),所以函数y=3cos

x+1为偶函数,不符合题意;对于D中,函数f(-x)=-sin(-x)=sin

x=-f(x).又y=-sin

x的定义域为R,所以函数y=-sin

x是奇函数,符合题意.故选D.C3.下列四个函数中,图象关于y轴对称的是(

)B解析

函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数,故选B.重难探究·能力素养速提升探究点一三角函数的周期问题及简单应用【例1】

求下列三角函数的最小正周期:(1)y=3sinx,x∈R;(2)y=cos2x,x∈R;解

由题可知ω=1,(4)y=|cosx|,x∈R.解

函数y=|cos

x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos

x|的最小正周期为π.规律方法求三角函数的最小正周期的常用方法求三角函数的最小正周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(其中A,ω,φ,B均为常数,A≠0,ω>0)的形式,再利用T=求得;(2)图象法,即作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.变式训练1求下列函数的最小正周期:(2)y=cos|x|;解

作出y=cos|x|的图象,如图所示,易知y=cos|x|的最小正周期为2π.(3)y=|sinx|.解

设f(x)=|sin

x|,则f(x+π)=f(x),故y=|sin

x|的最小正周期为π.探究点二三角函数的奇偶性及其应用【例2】

判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sinx|+cosx;解

函数f(x)=|sin

x|+cos

x的定义域为R.∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin

x|+cos

x=f(x),∴函数f(x)是偶函数.解

函数应满足1+sin

x≠0,显然定义域不关于原点对称,故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.规律方法判断函数奇偶性的常用方法:提醒:判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.定义法从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立图象法作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性验证法验证f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是否成立.此法通常用于函数既不是奇函数,也不是偶函数的情形变式训练2(1)[2024河北唐山高一期末]函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,则下列结论正确的是(

)A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数C解析

因为f(x)g(x)=sin

xcos

x的定义域为R,且f(-x)g(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin

xcos

x=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A错误;因为|f(x)|g(x)=|sin

x|cos

x的定义域为R,且|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|cos(-x)=|sin

x|cos

x=f(x)g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;因为f(x)|g(x)|=sin

x|cos

x|的定义域为R,且f(-x)|g(-x)|=sin(-x)|cos(-x)|=-sin

x|cos

x|=-f(x)g(x),所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;因为|f(x)g(x)|=|sin

xcos

x|的定义域为R,且|f(-x)·g(-x)|=|sin(-x)cos(-x)|=|sin

xcos

x|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.(2)判断下列函数的奇偶性:①f(x)=xcos(π+x);②f(x)=sin(cosx);解

函数f(x)的定义域为R,∵f(x)=xcos(π+x)=-xcos

x,∴f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcos

x=-f(x).∴f(x)为奇函数.解

函数f(x)的定义域为R,∵f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos

x)=f(x),∴f(x)为偶函数.解

由1-cos

x≥0且cos

x-1≥0,得cos

x=1,从而x=2kπ,k∈Z,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.探究点三函数奇偶性与周期性的综合问题【例3】

(1)[2024四川凉山高一阶段检测]若函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象关于y轴对称,则φ的值可能为(

)CD变式探究1

若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,求

的值.规律方法当函数值的出现具有一定的周期性时,可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况,再予以推广求值.变式训练3设f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=sinx+x,则1<x<2时,f(x)=

.

sin(x-2)+x-2解析

当1<x<2时,-2<-x<-1,则0<2-x<1.因为当0<x<1时,f(x)=sin

x+x,所以f(2-x)=sin(2-x)+2-x.因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-f(2-x)=-sin(2-x)+x-2=sin(x-2)+x-2.学以致用·随堂检测促达标123451.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是(

)A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数A解析

因为x∈R,且f(-x)=sin

x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.1234