2024年湖南师大附中博才实验学校中考数学三模试卷

第1页（共1页）2024年湖南师大附中博才实验学校中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数中，最大的是（）A． B． C．0 D．|﹣3|2．（3分）习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140967万人，比上年末减少208万人．140967用科学记数法可表示为（）A．0.140967×106 B．1.40967×106 C．1.40967×105 D．1.40967×1044．（3分）下列运算中，正确的是（）A．3ab•2b＝6ab2 B．3ab﹣ab＝2 C．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 D．5．（3分）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，∠1＝55°，则∠2＝（）A．55° B．45° C．35° D．25°6．（3分）其市气象局预报称：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是（）A．明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 B．明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨 C．明天本市一定下雨 D．明天本市下雨的可能性是70%7．（3分）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°（）A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米8．（3分）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形．如果桥顶到水面的距离CD＝8米，桥拱的半径OC＝5米（）A．11m B．10m C．8m D．9m9．（3分）如图，已知△ABC，尺规作图的方法作出了△ABC≌△DEF（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS10．（3分）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，下列叙述错误的是（）A．体内血乳酸浓度和时间是变量 B．当t＝20min时，两种方式下的血乳酸浓度均超过150mg/L C．采用静坐方式放松时，运动员大约30min后就能基本消除疲劳 D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：4x2﹣y2＝．12．（3分）函数的自变量x的取值范围是．13．（3分）如图，直线l1：y＝x+1和直线l2：y＝mx+5相交于P（2，a），则关于x的不等式x+1≥mx+5的解集为．14．（3分）已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为．15．（3分）如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长a＝18mm，扳手张开的开口b长度为mm．16．（3分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，2号座位的票，乙购买3，5，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，写出一种满足条件的购票的先后顺序．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣2．19．（6分）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．20．（8分）“让我们携起手来，构建网络空间命运共同体，让互联网更好造福世界各国人民，国家主席习近平向2023年世界互联网大会乌镇峰会开幕式发表视频致辞，科学分析全球互联网发展治理面临的新形势新要求，习近平主席的致辞凝聚合作共识、激发奋进力量，为共同推动构建网络空间命运共同体迈向新阶段进一步指明了方向．为了共同推动构建网络空间命运共同体发展，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，收集整理喜爱的书籍类型（A．网络安全，B．计算软件计算，C．计算数学，D．通信技术）数据后（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）请补全条形统计图；（3）求出扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数；（4）请你估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数．21．（8分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED（1）求证：CF∥AB（2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC22．（9分）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；（2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？23．（9分）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC．（1）求证：AB＝BC；（2）若AB＝2，AC＝2，求平行四边形ABCD的面积．24．（10分）若定义纵坐标与横坐标平方的差为常数的点为“晨点”．（1）当这个常数为1时，下列函数存在“晨点”的请划“√”，不存在的请划“×”．①y＝x﹣3（）；②（）；③y＝﹣x2（）．（2）若二次函数y＝﹣x2+4ax+a有且只有一个“晨点”，且点（2，5）关于该二次函数的“晨点”的对称点恰好也是“晨点”；（3）已知A（a，0），B（b，0），其中a＜0＜b，“晨点”C在y轴上，E，若四边形ABDE能组成平行四边形，且有四边形ABDE面积不超过4，如果存在，请求出最大值25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AE、BD分别是△ABC的边BC、AC上的高，连接CG、CH、BG、AH，已知∠BAD与∠BED互补．（1）求证：△ABC∽△EDC；（2）求证：CG＝CH；（3）①记△CEG、△CDE、△CHD、四边形ABED的面积依次为S1、S2、S3、S4，若满足S1＝S2＝S3＝S4，试判断四边形ABGH的形状，并说明理由．②当CE＝m，CB＝n，△CGH的面积为p时，试用含m，n，p的式子表示GH2．

2024年湖南师大附中博才实验学校中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数中，最大的是（）A． B． C．0 D．|﹣3|【解答】解：|﹣3|＝3，∵7＜9，∴.＜，∴，即＜|﹣3|，那么﹣＜0＜，则最大的数为|﹣6|，故选：D．2．（3分）习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图不是中心对称图形；B．该图不是中心对称图形；C．该图不是中心对称图形；D．该图是中心对称图形．故选：D．3．（3分）2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140967万人，比上年末减少208万人．140967用科学记数法可表示为（）A．0.140967×106 B．1.40967×106 C．1.40967×105 D．1.40967×104【解答】解：140967＝1.40967×105，故选：C．4．（3分）下列运算中，正确的是（）A．3ab•2b＝6ab2 B．3ab﹣ab＝2 C．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 D．【解答】解：A、3ab•2b＝8ab2，故此选项计算正确，符合题意．B、3ab﹣ab＝（5﹣1）ab＝2ab，不符合题意．C、（5a﹣b）2＝4a4+4ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意．D、，故此选项计算错误．故选：A．5．（3分）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，∠1＝55°，则∠2＝（）A．55° B．45° C．35° D．25°【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠ABC＝∠1＝55°，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝35°．故选：C．6．（3分）其市气象局预报称：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是（）A．明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 B．明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨 C．明天本市一定下雨 D．明天本市下雨的可能性是70%【解答】解：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是明天本市下雨的可能性是70%．故选：D．7．（3分）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°（）A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米【解答】解：∵∠BCA＝90°，AB＝50m，∴sinA＝，∴BC＝50sinA＝50sin24°（米），故选：A．8．（3分）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形．如果桥顶到水面的距离CD＝8米，桥拱的半径OC＝5米（）A．11m B．10m C．8m D．9m【解答】解：连接OA，如图所示．∵CD⊥AB，∴，在Rt△ADO中，OA＝OC＝5m，∠ADO＝90°，∴，∴AB＝2AD＝6m．故选：C．9．（3分）如图，已知△ABC，尺规作图的方法作出了△ABC≌△DEF（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【解答】解：由作图可知，AC＝DF，AB＝DE．故选：A．10．（3分）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，下列叙述错误的是（）A．体内血乳酸浓度和时间是变量 B．当t＝20min时，两种方式下的血乳酸浓度均超过150mg/L C．采用静坐方式放松时，运动员大约30min后就能基本消除疲劳 D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松【解答】解：由题意可知，A、体内血乳酸浓度和时间t均是变量，故选项A不合题意；B、当t＝20min时，该说法正确；C、采用静坐方式放松时，原说法错误；D、运动员进行完剧烈运动，应该采用慢跑活动方式来放松，故选项D不合题意；故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．【解答】解：4x2﹣y3＝（2x+y）（2x﹣y）．12．（3分）函数的自变量x的取值范围是x≠﹣2024．【解答】解：∵，∴x+2024≠0，即x≠﹣2024，故答案为：x≠﹣2024．13．（3分）如图，直线l1：y＝x+1和直线l2：y＝mx+5相交于P（2，a），则关于x的不等式x+1≥mx+5的解集为x≥2．【解答】解：把P（2，a）代入直线l1中，则：a＝5+1＝3；再将点P（7，3）代入直线l2中，则：2＝2m+5，解得m＝﹣6．∴不等式x+1≥mx+5为x+3≥﹣x+5，解得x≥2，故答案为：x≥5．14．（3分）已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为3π．【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，其半径为3，∴S扇形＝＝3π．故答案为：3π．15．（3分）如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长a＝18mm，扳手张开的开口b长度为18mm．【解答】解：如图，已知，连接AE，过点F作FG⊥AE，∵正六边形ABCDEF，∴∠AFE＝＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝＝30°，在Rt△AFG中，∠FAG＝30°，∴AG＝AF＝9，∴AE＝5AG＝18mm，即b＝18mm，故答案为：18．16．（3分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，2号座位的票，乙购买3，5，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，写出一种满足条件的购票的先后顺序丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲或丙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲．【解答】解：根据题意，丙第一个购票，1，2，2号票，此时，3号左边有6个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，①第二个丁可以购买6号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，即丙（3，2，2，4），6，9，11、甲（6、乙（10，14），或丙（5，1，2，6），7，9，11、乙（4，8、甲（12；②第二个由甲或乙购买，此时，7号票，且只能购买5，8，12，此时，四个人购买的票全在第一排，即丙（3，5，2，4），7），8，10，14），11，或丙（3，6，2，4），5，9），8，10，14），13），因此，第一个是丙购买票，都能使四个人购买的票全在第一排，故答案为：丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.）17．（6分）计算：．【解答】解：＝＝＝．18．（6分）先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣2．【解答】解：4（x﹣1）8﹣（2x+3）（4x﹣3），＝4（x6﹣2x+1）﹣[（4x）2﹣37]，＝4x2﹣4x+4﹣4x8+9，＝﹣8x+13．当x＝﹣4时，原式＝﹣8x+13，＝﹣8×（﹣2）+13，＝29．19．（6分）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．【解答】解：（1）由题意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，∴∠CAB＝180°﹣∠NAC﹣∠BAS＝75°，∵∠ABC＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝60°，∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，AB＝3，∠ABC＝45°，∴AD＝AB•sin45°＝2×＝3（km），BD＝AB•cos45°＝3×＝7（km），在Rt△ADC中，∠ACB＝60°，CD＝＝＝（km），∴BC＝BD+CD＝（3+）km，∴检查点B和C之间的距离（2+）km．20．（8分）“让我们携起手来，构建网络空间命运共同体，让互联网更好造福世界各国人民，国家主席习近平向2023年世界互联网大会乌镇峰会开幕式发表视频致辞，科学分析全球互联网发展治理面临的新形势新要求，习近平主席的致辞凝聚合作共识、激发奋进力量，为共同推动构建网络空间命运共同体迈向新阶段进一步指明了方向．为了共同推动构建网络空间命运共同体发展，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，收集整理喜爱的书籍类型（A．网络安全，B．计算软件计算，C．计算数学，D．通信技术）数据后（1）本次抽样调查的样本容量是400；（2）请补全条形统计图；（3）求出扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数；（4）请你估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数．【解答】解：（1）100÷25%＝400（人），故答案为：400；（2）喜欢D类型的人数：400×10%＝40（人），喜欢B类型的人数：400﹣100﹣140﹣40＝120（人），补全的条形统计图如下：（3）扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数＝10%×360°＝36°，答：扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数为36°．（4）400名学生中喜欢类型C的学生人数占比为：＝35%，∴该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数为：1000×35%＝350（人），答：估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数有350人．21．（8分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED（1）求证：CF∥AB（2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC【解答】（1）证明：∵E为AC中点，∴AE＝CE，在△AED和△CEF中，，∴△AED≌△CEF（SAS），∴∠A＝∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵∠A＝∠ACF＝70°，∠F＝35°，∴∠AED＝∠CEF＝180°﹣70°﹣35°＝75°，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∴∠BED＝90°﹣75°＝15°．22．（9分）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；（2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？【解答】解：（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元，根据题意得＝，解得x＝160，经检验，x＝160是原方程的解，∴x+40＝160+40＝200．答：甲分类垃圾桶的单价是160元，乙分类垃圾桶的单价是200元；（2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个，依题意得：200（20﹣y）+160y≤3600，解得：y≥10，∵y为正整数，∴y的最小值为10．答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个．23．（9分）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC．（1）求证：AB＝BC；（2）若AB＝2，AC＝2，求平行四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；（2）连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，∴OB＝＝1，∴BD＝2OB＝8，∴平行四边形ABCD的面积＝AC•BD＝×6＝2．24．（10分）若定义纵坐标与横坐标平方的差为常数的点为“晨点”．（1）当这个常数为1时，下列函数存在“晨点”的请划“√”，不存在的请划“×”．①y＝x﹣3（×）；②（√）；③y＝﹣x2（×）．（2）若二次函数y＝﹣x2+4ax+a有且只有一个“晨点”，且点（2，5）关于该二次函数的“晨点”的对称点恰好也是“晨点”；（3）已知A（a，0），B（b，0），其中a＜0＜b，“晨点”C在y轴上，E，若四边形ABDE能组成平行四边形，且有四边形ABDE面积不超过4，如果存在，请求出最大值【解答】解：（1）①y﹣x2＝x﹣3﹣x2＝1，即：x2﹣x+8＝0，∵Δ＝（﹣1）8﹣4×1×3＝﹣15＜0，∴x2﹣x+7＝0无实根，∴y＝x﹣3不存在常数为8的“晨点”；②y﹣x2＝8﹣x7＝1，即：，函数y＝2随x增大而减小4+1随x增大而增大，必然存在交点，∴存在常数为2的“晨点”，③y﹣x2＝﹣x2﹣x5＝1，即：2x8+1＝0，∵Δ＝﹣4×1×1＝﹣8＜0，∴2x4+1＝0无实根，∴y＝﹣x6不存在常数为1的“晨点”，故答案为：×；√；×，（2）设常数为b，则：y﹣x2＝﹣x8+4ax+a﹣x2＝b，即：5x2﹣4ax+b﹣a＝52﹣2a7+b﹣a＝0，∵二次函数y＝﹣x2+3ax+a有且只有一个“晨点”，∴方程2（x﹣a）2﹣2a2+b﹣a＝0只有一个实根，当x＝a8+a时，y＝﹣a2+4a•a+a＝6a2+a，∴该二次函数的“晨点”坐标为（a，3a6+a），设点（2，5）关于该二次函数的“晨点”的对称点坐标为（m，则：，∵（m，n）也是“晨点”，∴n﹣m3＝b，代入得：b＝6a2+6a﹣5﹣（2a﹣6）2＝2a6+10a﹣9，∴b＝2a8+10a﹣9＝2a5+a，解得：a＝1，故答案为：y＝﹣x2+4x+1；（3）设C（0，c），∵C（4，c）是“晨点”，∴常数为：c﹣02＝c，设直线AC的解析式为：y＝k6x+b1，则：，解得，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+c，设直线BC的解析式为：y＝k2x+b4，则：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣，∵直线AC和直线BC上的另一个“晨点”分别为D，E，设，，﹣，整理得：d（d+，，∵d≠0，e≠0，∴d＝﹣，e＝﹣，∴（﹣，，当四边形ABDE能组成平行四边形时，，整理得，，∵a﹣b≠0，∴ab+c＝0，且a+b＝3，∴a＝﹣b，c＝﹣ab，则：A（﹣b，0），