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文档简介
案例二：收藏家买画问题一个收藏家正在考虑买一幅名画，这幅画标价为5000美元。如果是真品，它可值1万美元；如果是赝品，它就一钱不值。此外，买一幅假画或没能买下一幅真画都会损害她的名誉，其价值分别是6000美元与3000美元。如果由卖画者以往的资料知这幅画以概率0.75是真品，以概率0.25是赝品，她是否应买这幅画？一位鉴赏家能以概率0.95识别一幅真画，以概率0.7识别一幅假画。如果他说这幅画是真品，她买下这幅画将要冒多少风险？如果该鉴赏家的咨询费为500美元，问她是否请该鉴赏家鉴别？这是一个贝叶斯决策（估计）问题。设表示该幅画的真与假，，分别表示该画是真品与赝品两种状态，即能取的两个值。，分别表示她买与不买这幅画的两个行动（决策），则由题意，有，且收益函数由如下矩阵（称为收益矩阵）给出（表1）：表1两种状态、两种决策下的收益矩阵品别买否真品（）赝品（）买（）5000（美元）-6000（美元）不买（）-3000（美元）0故A。在实际当中损失函数往往由具体问题的收益函数（矩阵）按下式确定A其中A为的花写，是决策空间，由所有可能的决策（行动）组成的集合。从而，损失函数由如下矩阵（称为损失矩阵）给出（表2）表2两种状态、两种决策下的损失矩阵（真品）（赝品）（买）06000（不买）80000于是采取行动风险为采取的风险为因为，所以，她先验最优行动是（买下这幅画）。或因为采取行动的平均收益为采取行动的平均收益为所以，她先验最优行动仍是（买下这幅画）。设，分别表示鉴赏家说这幅画是真与假（两个情报值），表示鉴赏家的鉴别可能结果。则得条件分布矩阵（条件似然分布矩阵）如表3：表3条件似然分布矩阵P0.750.250.950.300.050.70由全概率公式，得从而因为贝叶斯风险达到最小几乎处处等价于达到最小，而类似地，，因此，当鉴赏家说这幅画是真品时她（最优行动是）买下这幅画所冒风险为571.2美元。当鉴赏家谈这幅画是赝品时，她（最优行动是）不买这幅画，所冒风险为1412美元。或由收益矩阵得条件平均收益如下：故亦得上述结论：当鉴赏家说该幅画是真品时她应买下该幅画，否则她不买。由全数学期望公式，得即最小风险为749.8美元，而先验（行动）最小风险为1500美
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