《正余弦定理复习课》教案

《正余弦定理复习课》教案教材：人教A版必修5第一章授课教师：浙江省温州中学邹琼艳一、教学目标1.知识与技能：(1)正弦定理和余弦定理结合起来，能够很好地解决三角形的问题，注意定理的变式及合理选用公式；(2)掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；(3)掌握三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；(4)能运用两个定理转化三角形中的一些边角关系式。2.过程与方法：(1)体会解三角形的实质就是由正弦定理与余弦定理联立得到方程组，由方程的思想求解未知的边角；(2)通过引导学生分析，解答两个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。3.情感、态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。二、教学重点、难点重点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。三、教学过程【例题】已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知c=8,C=60o【问1】你能否解此三角形？【设计意图】此问主要是想让学生抓住问题的本质，三角形中六个基本元素，任何一条正余弦定理的公式都对着四个未知量，所以必须要有三个已知量才能求解。渗透解三角形问题中的方程思想。【问2】若固定A、B两点，符合题意的点C的运动轨迹是什么？【设计意图】此问的目的之二是回顾正弦定理的内容，三角形中一边和其对角确定，该三角形的外接圆半径是确定的，学生容易回答点C的轨迹是以AB为60o圆周角所对弦、半径确定的圆；同时利用几何画板的优势，把图形静与动的相对关系淋漓尽致地体现在学生的面前，让学生对图形有较强的把握，A、B、C三点共圆的图形可对接下来一些问题的研究提供数形结合的依据。【问3】用几何画板做出圆后问：点C可以在圆上任取吗？【设计意图】此问是为了培养学生严谨科学的思维习惯，严格地说，点C的轨迹是圆上AB所对的优弧。【问4】你能增加一个条件，使点C确定吗？【设计意图】此问通过开放问题充分发挥学生的联想能力，通过一题多解，拓宽学生的思路，再次渗透解三角形问题中的方程思想，体验如何合理选择公式。预设学生的想法有以下几种：给定一个角A（或角B），利用正弦定理即可求得其余两边。给定一条边a(或b)，利用正弦定理和余弦定理均可求得其余的边和角。当学生给出这个方案时，追问（1）：边a的长可以任意给吗？（为了书写方便，下面就以给a边为例）【设计意图】有意识地培养学生数形结合的思考方式，用动态的图形来研究静态的问题。由图可知，增加的边长应有一个限制范围，即追问（2）：在给定的范围内取哪个值，三角形的形状较为特殊？【设计意图】学生很容易看出，当a=8时，此时三角形为正三角形。自然地过渡到当a=7和a=9两种情况的探究。通过对照余弦定理所对应的方程，发现当a=7时，三角形唯一确定；当a=9时，三角形有两解。激发学生的刨根究底的探究欲望，自然地抛出解三角形中的一个难点问题。【问5】若此三角形有两解，求a的取值范围。【设计意图】一方面是想“趁热打铁”让学生再次利用几何画板的动态演示，发现点C即以B为圆心以给定的a为半径的圆与已经圆弧的交点，当时，有唯一交点，当时，有两个交点，于是，难点轻松突破；另一方面，学生还可以结合正余弦定理建立方程,从方程角度探求两解问题,通过一题多解，拓宽学生的思路，进一步体验解析几何的解题技巧和规律。【问6】刚才同学们增加的都是边和角使三角形确定，能否给出其他与三角形相关的量，间接地确定边角进而确定三角形呢？【设计意图】引导学生利用面积、周长等相关量去制约三角形，使基本量思想得到合理的延伸。在解决这个问题的过程中，需要利用化归转化的思想，使问题转化为待定的两条边长的方程组，进而再次渗透解三角形问题中的方程思想。另外，这个问题承上启下，给出面积其实是给出的边的乘积，即的一种制约关系，结合多条制约关系可从方程组角度求解,进一步深入渗透方程思想。【变式】已知△中，分别是角的对边，已知，，求边的值。【设计意图】此问将角C=600这一条件变为这样一种三角的制约关系，间接地给出三角，自然地过渡到边角互化的问题研究中去；同时，这个问题的解决体现了正余弦定理应用的两个重要方向，即将边转化成角和将角转化为边，通过一题多解，使学生看到公式转化的灵活性、多样性以及多种方法思想上的统一性。将解题上升为对思想方法的探究。该问的两种解法如下：解法一：，结合余弦定理得又因为，解方程可得边的值。解法二：由可得，可先解出，进而求和，最后利用正弦定理求得边的值。【又变】已知△中，分别是角的对边，已知，，你可以确定三角形中的哪些量？【设计意图】进一步删减条件，将问题转化为只含纯粹的边角制约关系，挖掘题目背景中更为深层的隐含条件。结合上题的解决过程，发现两条方程三个未知量，边长不可求，但角都是可以确定的，求三角也可以从上题解题过程中的两种方法解决对于解法二仍旧成立，而对于解法一可调整利用方程和求出三边的比值。追问：根据三边的比值如何求三角？【设计意图】强化对解三角形形问题的两种本质思想:从形上说，三边比值确定得到的一系列三角形均为相似三角形；从数上说，余弦定理公式为齐二次式，因此利用三边比值即可求角，进一步熟悉公式的特征，并从形和数两方面展开讨论分析。【再变】已知△中，分别是角的对边，已知，你还可以确定此三角形中角吗？若不能，试研究角的变化范围。【设计意图】充分利用变式,让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律。另外,此问进一步删减条件,从方程角度来说只有一条方程不可能求解三边和三角。但三边的的制约关系肯定对角的大小有所限制，任取正弦定理或余弦定理展开研究均可。进一步探求三角形中的边角制约的奥秘，进一步分析公式的特点，学会灵活、正确、合理地选取公式进行解题。具体解法有如下几种：解法一:联系余弦定理可得,所以解法二:由可得,进而有,于是,得,从而得到解法三:由可得,进而有,于是,即进而有,所以【课堂小结】请你从以下三个方面谈谈学习这节课的体会：1.这节课我的收获是——2.我想进一步探究的问题是——3.这节课我最感兴趣的地方是——【设计意图】课堂小结改变以往教师自己阐述的方式，真正地做到让学生成为课堂的主体，淋漓尽致倾听学生内心最