七年级数学下册讲义（北师大版）第五章第02讲 简单的轴对称图形-等腰（等边）三角形(7类热点题型讲练)（原卷版）

第02讲简单的轴对称图形—等腰（等边）三角形(7类热点题型讲练)1．理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)知识点01等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在中，AB＝AC，知识点02等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.题型01等腰三角形两腰相等求解【例题】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（

）A．16 B．18 C．20 D．16或20【变式训练】1．（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）等腰三角形的两边长分别是和，则该三角形周长为．2．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（

）A． B． C．或 D．或题型02根据等边对等角求角度【例题】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，则．【变式训练】1．（2024·北京·一模）如图，已知等腰三角形，，，若以点B为圆心，长为半径画弧，则°．2．（23-24八年级下·云南文山·阶段练习）如图，已知，，，，求的度数为°．题型03根据等边对等角证明【例题】（2023·吉林长春·模拟预测）如图，是等腰三角形，点，分别在腰，上，且，连接，．求证：．【变式训练】1．（2024·江苏南京·一模）如图，在和中，，，，的延长线相交于点B、，的延长线相交于点C．求证．2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是三角形的中线，点F在中线上，且，连接并延长交于点E，求证：．题型04根据三线合一求解【例题】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在三角形框架中，，是连接点与中点的支架．若，则的度数为．【变式训练】1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为．2．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在等腰中，，是的高，，分别是上一动点，则的最小值为．题型05根据三线合一证明【例题】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，E为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于F．(1)求证：；(2)求证：．【变式训练】1．（23-24八年级上·云南红河·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，于点．(1)求证：；(2)求证：．2．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，．(1)如图，于点，于点，求证：；(2)如图，于点，交于点，若，，则的长为_______．题型06根据等边三角形的性质求解【例题】（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则．【变式训练】1．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为秒时，是等边三角形．2．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）在等边三角形中，，点P在边上．若，则的长为．题型07根据等边三角形的性质证明【例题】（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，为等边三角形，点E、F分别在边上，，，与相交于点D，．(1)求证：．(2)求的长度．【变式训练】1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，等边三角形和等边三角形，连接，，其中．(1)求证：；(2)如图2，当点在一条直线上时，交于点，交于点，求证：；(3)利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长．2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知是等边三角形，为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形．(1)如图1，当点在边上时，连接，此时，，之间的数量关系为______，______；(2)如图2，当点在的延长线上时，连接，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；(3)如图3，当点在射线上运动时，取的中点，连接，当的值最小时，请直接写出的度数．一、单选题1．（23-24八年级下·广东佛山·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（

）A．15 B．12 C．12或15 D．92．（2024·甘肃天水·一模）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A． B． C．或 D．或3．（2024年安徽省名校之约中考第一次联考数学试题）如图，，点E为直线上方一点，连接，，．若，，，则的度数是（）A． B． C． D．4．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是（）

A．18 B．19 C．20 D．215．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（

）A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或二、填空题6．（22-23八年级下·河南郑州·期中）已知等腰三角形的两边长为，且满足，则三角形的周长为．7．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）一个等腰三角形的周长是17，已知它的一边长是5，则另外两边的长分别是．8．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，已知直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画孤，分别交直线于两点，连接．若，则的度数为．9．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，和都是顶角为的等腰三角形，，、分别是两个等腰三角形的底边，点B、D、E三点恰好落在一条直线上，若度．10．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则．三、解答题11．（23-24七年级上·山东青岛·期末）（1）如图，已知与交于点，，，则与的数量关系是______；（2）如图，已知的延长线与交于点，，，探究与的数量关系，并说明理由．12．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，平分．以点圆心，长为半径画弧，与，分别交于点，，连接，．(1)求证：；(2)若，求的度数．13．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．

(1)求的度数；(2)求证：．14．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，点是上一点，于点，于点．(1)若点是的中点，求证：；(2)若，求的度数．15．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，，均是等边三角形，点B，D，E三点共线，连接，