2025高考数学一轮复习-椭圆的定义、标准方程及简单几何性质-专项训练【含解析】

课时过关检测(五十)椭圆的定义、标准方程及简单几何性质【原卷版】1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2eq\r(5)的椭圆方程是()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1 B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)＝1C．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,45)＝1 D．eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,85)＝12．“(loga2)x2＋(logb2)y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是()A．0＜a＜b B．1＜a＜bC．2＜a＜b D．1＜b＜a3．如图，P是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上的一点，F是椭圆的左焦点且eq\o(PQ,\s\up7(→))＝－eq\o(FQ,\s\up7(→))，|eq\o(OQ,\s\up7(→))|＝2，则|PF|＝()A．2 B．eq\r(5)C．3 D．44．已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为()A．3 B．2C．eq\f(5,3) D．eq\f(4,3)5．过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))6．(多选)对于曲线C：eq\f(x2,4－k)＋eq\f(y2,k－1)＝1，下面四个说法正确的是()A．曲线C不可能是椭圆B．“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2．5”的充要条件7．(多选)如图，两个椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个说法正确的为()A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称C．曲线C所围区域面积必小于36D．曲线C总长度不大于6π8．若椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为eq\f(\r(2),2)，则该椭圆的长轴长为________．9．设F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a＞1)的左、右焦点，P(1,1)为C内一点，Q为C上任意一点．现有四个结论：①C的焦距为2；②C的长轴长可能为eq\r(10)；③|QF2|的最大值为a＋1；④若|PQ|＋|QF1|的最小值为3，则a＝2．其中所有正确结论的编号是________．10．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．11．如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)12．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为eq\f(13,9)，eq\f(56,45)，eq\f(10,7)，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则()A．e1＞e3＞e2 B．e2＞e3＞e1C．e1＞e2＞e3 D．e2＞e1＞e313．(多选)数学家称eq\f(\r(5)－1,2)为黄金比，记为ω，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆．若黄金椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有()A．ω2＋ω＝1B．黄金椭圆的离心率e＝ωC．设直线OQ的倾斜角为θ，则sinθ＝ωD．交点Q的坐标为(b，ωb)14．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．若过F1的直线和圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)c))2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．解析：设过F1的直线与圆的切点为M，圆心Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c，0))，则|AM|＝c，|AF1|＝eq\f(3,2)c，所以|MF1|＝eq\f(\r(5),2)c，所以该直线的斜率k＝eq\f(|AM|,|MF1|)＝eq\f(c,\f(\r(5),2)c)＝eq\f(2\r(5),5)．因为PF2⊥x轴，所以|PF2|＝eq\f(b2,a)，又|F1F2|＝2c，所以k＝eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(a2－c2,2ac)＝eq\f(1－e2,2e)，得e＝eq\f(\r(5),5)．答案：eq\f(2\r(5),5)eq\f(\r(5),5)15．已知直线x－eq\r(3)y＋eq\r(3)＝0经过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若A，B为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线y＝3－x上存在一点P，使得三角形PAB为正三角形，求AB所在直线的方程．课时过关检测(五十)椭圆的定义、标准方程及简单几何性质【解析版】1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2eq\r(5)的椭圆方程是()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1 B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)＝1C．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,45)＝1 D．eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,85)＝1解析：B由9x2＋4y2＝36可得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，b＝2eq\r(5)，a2＝25，所以所求椭圆方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)＝1．2．“(loga2)x2＋(logb2)y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是()A．0＜a＜b B．1＜a＜bC．2＜a＜b D．1＜b＜a解析：C若(loga2)x2＋(logb2)y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＞0，,logb2＞0，,loga2＞logb2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,b＞1，,a＜b，))所以1＜a＜b，所以“(loga2)x2＋(logb2)y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2＜a＜b，故选C．3．如图，P是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上的一点，F是椭圆的左焦点且eq\o(PQ,\s\up7(→))＝－eq\o(FQ,\s\up7(→))，|eq\o(OQ,\s\up7(→))|＝2，则|PF|＝()A．2 B．eq\r(5)C．3 D．4解析：A由eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1可得a＝3．因为eq\o(PQ,\s\up7(→))＝－eq\o(FQ,\s\up7(→))，所以点Q是线段PF的中点，设椭圆的右焦点为F′，则O是FF′的中点，所以|PF′|＝2|OQ|＝4，由椭圆的定义可知：|PF|＋|PF′|＝2a＝6，所以|PF|＝2，故选A．4．已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为()A．3 B．2C．eq\f(5,3) D．eq\f(4,3)解析：D因为椭圆为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，所以a＝5，b＝3，c＝eq\r(a2－b2)＝4．当△MF1F2的面积最大时，点M为椭圆C短轴的顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则|MF1|＝|MF2|＝a＝5，|F1F2|＝2c＝8，|OM|＝b＝3，Seq\a\vs4\al(△MF1F2)＝eq\f(1,2)(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·r＝eq\f(1,2)|F1F2|·|OM|，所以r＝eq\f(4,3)，故选D．5．过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：A由题设知，直线l：eq\f(x,－c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±eq\f(b2,a)，即圆的半径r＝eq\f(b2,a)．又圆与直线l有公共点，所以eq\f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq\f(b2,a)，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq\f(c,a)≤eq\f(\r(5),5)．又0<e<1，所以0<e≤eq\f(\r(5),5)．故选A．6．(多选)对于曲线C：eq\f(x2,4－k)＋eq\f(y2,k－1)＝1，下面四个说法正确的是()A．曲线C不可能是椭圆B．“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2．5”的充要条件解析：CD对于A，当1<k<4且k≠2．5时，曲线C是椭圆，所以A错误；对于B，当k＝2．5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－k>0，,k－1>0，,k－1>4－k，))解得2．5<k<4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件，所以C正确；对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1>0，,4－k>0，,4－k>k－1，))解得1<k<2．5，所以D正确．7．(多选)如图，两个椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个说法正确的为()A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称C．曲线C所围区域面积必小于36D．曲线C总长度不大于6π解析：BC易知F1(－4,0)，F2(4,0)分别为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，E1(0，－4)，E2(0,4)分别为椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的两个焦点．若点P仅在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，则P到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A错误；两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，则曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D错误．故选B、C．8．若椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为eq\f(\r(2),2)，则该椭圆的长轴长为________．解析：由椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为eq\f(\r(2),2)，当m＞2时，椭圆焦点在x轴上，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(m－2),\r(m))，解得m＝4，所以椭圆的长轴长为4，当0＜m＜2时，椭圆焦点在y轴上，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2－m),\r(2))，得m＝1，所以椭圆的长轴长为2eq\r(2)．答案：4或2eq\r(2)9．设F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a＞1)的左、右焦点，P(1,1)为C内一点，Q为C上任意一点．现有四个结论：①C的焦距为2；②C的长轴长可能为eq\r(10)；③|QF2|的最大值为a＋1；④若|PQ|＋|QF1|的最小值为3，则a＝2．其中所有正确结论的编号是________．解析：对于①：因为c2＝a2－(a2－1)＝1，所以椭圆C的焦距为2c＝2，故①正确；对于②：若椭圆C的长轴长为eq\r(10)，则a2＝eq\f(5,2)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,\f(5,2))＋eq\f(y2,\f(3,2))＝1，则eq\f(1,\f(5,2))＋eq\f(1,\f(3,2))＞1，从而点P在C的外部，这与P在C内矛盾，所以②不正确；对于③：因为c＝1，Q为C上任意一点，由椭圆的几何性质可知，|QF2|的最大值为a＋c＝a＋1，故③正确；对于④：由椭圆定义可知，|PQ|＋|QF1|＝|PQ|－|QF2|＋2a，因为||PQ|－|QF2||≤|PF2|＝1，所以|PQ|－|QF2|≥－1，所以|PQ|－|QF2|＋2a≥2a－1＝3，此时a＝2，故④正确．答案：①③④10．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解：(1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1．(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当eq\f(1,2)|y|·2c＝16，eq\f(y,x＋c)·eq\f(y,x－c)＝－1，eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1．③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq\f(b4,c2)．又由①知y2＝eq\f(162,c2)，故b＝4．由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq\f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq\r(2)．当b＝4，a≥4eq\r(2)时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4eq\r(2)，＋∞)．11．如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)解析：B由图可得，椭圆的短轴长2b＝22⇒b＝11，长轴长2a＝eq\f(22,sin60°)＝eq\f(22,\f(\r(3),2))⇒a＝eq\f(22,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,\r(3))))2－112),\f(22,\r(3)))＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2)．故选B．12．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为eq\f(13,9)，eq\f(56,45)，eq\f(10,7)，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则()A．e1＞e3＞e2 B．e2＞e3＞e1C．e1＞e2＞e3 D．e2＞e1＞e3解析：A因为椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,2a)))2)，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大．因为eq\f(13,9)≈1．44，eq\f(56,45)≈1．24，eq\f(10,7)≈1．43，则eq\f(13,9)＞eq\f(10,7)＞eq\f(56,45)，所以e1＞e3＞e2．故选A．13．(多选)数学家称eq\f(\r(5)－1,2)为黄金比，记为ω，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆．若黄金椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有()A．ω2＋ω＝1B．黄金椭圆的离心率e＝ωC．设直线OQ的倾斜角为θ，则sinθ＝ωD．交点Q的坐标为(b，ωb)解析：AC方程ω2＋ω－1＝0的根为ω＝eq\f(－1±\r(5),2)，故A正确；由题意可知，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)－1,2)＝ω，则e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－ω2)＝eq\r(ω)≠ω，故B错误；易知QF1⊥QF2，且∠QF1F2＝eq\f(θ,2)，则|QF2|＝2c·sineq\f(θ,2)，|QF1|＝2c·coseq\f(θ,2)，所以|QF1|＋|QF2|＝2ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)))＝2a，即sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,\r(ω))，两边平方，可得sinθ＋1＝eq\f(1,ω)＝eq\f(2,\r(5)－1)＝eq\f(\r(5)＋1,2)，即sinθ＝eq\f(\r(5)＋1,2)－1＝eq\f(\r(5)－1,2)＝ω，故C正确；由C知，sinθ＝ω，所以tanθ≠ω，即D错误．故选A、C．14．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．若过F1的直线和圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)c))2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．解析：设过F1的直线与圆的切点为M，圆心Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c，0))，则|AM|＝c，|AF1|＝eq\f(3,2)c，所以|MF1|＝eq\f(\r(5),2)c，所以该直线的斜率k＝eq\f(|AM|,|MF1|)＝eq\f(c,\f(\r(5),2)c)＝eq\f(2\r(5),5)．因为PF2⊥x轴，所以|PF2|＝eq