2025高考数学一轮复习-8.3-正态分布-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-8.3-正态分布-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．下列关于正态曲线性质的叙述：①曲线在x轴上方，关于x＝μ对称；②由曲线和x轴围成的面积随μ变化而变化；③σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”；④曲线关于x＝σ对称，只有在x∈(－3σ，3σ)时，曲线在x轴上方．说法正确的是()A．①②③④ B．①③C．②③ D．②④2．设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为f(x)＝eq\f(1,\r(6π))eeq\s\up15(eq\f(－x2＋4x－4,6))，则()A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)3．已知随机变量ξ服从正态分布N(10,0.2)，且P(ξ＞3a－2)＝P(ξ＜2a＋7)，则a＝()A．－1 B．0C．1 D．34．已知随机变量X～N(6,1)，且P(5<X<7)＝a，P(4<X<8)＝b，则P(4<X<7)＝()A.eq\f(b－a,2) B.eq\f(b＋a,2)C.eq\f(1－b,2) D.eq\f(1－a,2)5．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1)＝0.32，则P(2<X<3)＝()A．0.32 B．0.68C．0.18 D．0.346．老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：学生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸平均标准差数学8862x1x2x3x4x5x6x7x8eq\x\to(X)＝60σ(X)＝eq\r(94)物理7563y1y2y3y4y5y6y7y8eq\x\to(Y)＝65σ(Y)＝eq\r(23)若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是()7．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布X～N(105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于或等于120分)的人数占总人数的eq\f(1,10)，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A．100 B．200C．300 D．4008.(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))，N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是()A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB．乙类水果的平均质量μ2＝1.99kgC．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近二、填空题9．某随机变量X服从正态分布，其概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\s\up15(eq\f(x2,8))，则X的期望μ＝，标准差σ＝.10．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为．11．某正态密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为eq\f(1,\r(2π))，则总体落入区间[0,2]内的概率约为.三、解答题12．设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ>5)．13．为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高X(单位：cm)服从正态分布N(160，σ2)，已知P(X<150)＝0.2，P(X≥180)＝0.03.(1)现从该市高三学生中随机抽取一名学生，求该学生身高在区间[170,180)的概率；(2)现从该市高三学生中随机抽取三名学生，记抽到的三名学生身高在区间[150,170)的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ)．14．(多选题)下列说法正确的有()A．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ≤3)＝0.84，则P(ξ≤1)＝0.16B．设随机变量X服从正态分布N(3,7)，若P(X>m＋1)＝P(X>m－1)，则m＝3C．设随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝eq\f(3,16)D．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为eq\f(54,125)15．若随机变量X～N(2,32)，且P(X≤1)＝P(x≥a)，则(x＋a)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))5展开式中x3项的系数是.16．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示．(1)由直方图可认为答题者的成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别为答题者的平均成绩eq\x\to(x)和成绩的方差s2，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(同一组中的数据用该组的区间中点值作代表)(2)如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s2＝204.75，eq\r(204.75)≈14.31；②Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545；③0.84144≈0.501,0.84133≈0.596.2025高考数学一轮复习-8.3-正态分布-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．下列关于正态曲线性质的叙述：①曲线在x轴上方，关于x＝μ对称；②由曲线和x轴围成的面积随μ变化而变化；③σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”；④曲线关于x＝σ对称，只有在x∈(－3σ，3σ)时，曲线在x轴上方．说法正确的是(B)A．①②③④ B．①③C．②③ D．②④解析：由正态曲线性质知①③正确；对于②，曲线与x轴围成的面积恒为1，②错误；对于④，曲线关于x＝μ对称，且曲线始终在x轴上方，④错误．故选B.2．设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为f(x)＝eq\f(1,\r(6π))eeq\s\up15(eq\f(－x2＋4x－4,6))，则(C)A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)解析：由f(x)＝eq\f(1,\r(2π)×\r(3))eeq\s\up15(eq\f(－x－22,2\r(3)2))，得μ＝2，σ＝eq\r(3).故选C.3．已知随机变量ξ服从正态分布N(10,0.2)，且P(ξ＞3a－2)＝P(ξ＜2a＋7)，则a＝(D)A．－1 B．0C．1 D．3解析：∵随机变量ξ服从正态分布N(10,0.2)，∴正态曲线的对称轴为直线x＝10，又P(ξ>3a－2)＝P(ξ<2a＋7)，∴3a－2＋2a＋7＝10×2，即a＝3.故选D.4．已知随机变量X～N(6,1)，且P(5<X<7)＝a，P(4<X<8)＝b，则P(4<X<7)＝(B)A.eq\f(b－a,2) B.eq\f(b＋a,2)C.eq\f(1－b,2) D.eq\f(1－a,2)解析：由于P(4<X<7)＝P(4<X<5)＋P(5<X<7)＝eq\f(b－a,2)＋a＝eq\f(b＋a,2)，故选B.5．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1)＝0.32，则P(2<X<3)＝(C)A．0.32 B．0.68C．0.18 D．0.34解析：由题意，随机变量X～N(2，σ2)，可得μ＝2，即正态曲线关于直线x＝2对称，根据正态曲线的对称性，可得P(2<X<3)＝eq\f(1－2PX≤1,2)＝eq\f(1－2×0.32,2)＝0.18.故选C.6．老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：学生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸平均标准差数学8862x1x2x3x4x5x6x7x8eq\x\to(X)＝60σ(X)＝eq\r(94)物理7563y1y2y3y4y5y6y7y8eq\x\to(Y)＝65σ(Y)＝eq\r(23)若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是(A)解析：由eq\x\to(X)<eq\x\to(Y)，故全班数学成绩分布曲线的对称轴应位于全班物理成绩分布曲线的对称轴的左边，排除B；又由σ(X)>σ(Y)，则全班数学成绩分布曲线应“矮胖”，而全班物理成绩分布曲线应相对“瘦高”，排除C、D，故选A.7．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布X～N(105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于或等于120分)的人数占总人数的eq\f(1,10)，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为(D)A．100 B．200C．300 D．400解析：由正态分布的特点知，正态密度曲线对称轴为直线x＝105，所以P(X≥105)＝0.5，因为P(X≥120)＝eq\f(1,10)，所以P(105≤X≤120)＝0.4，由对称性知：P(90≤X≤105)＝0.4，所以考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.4＝400，故选D.8.(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))，N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是(ACD)A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB．乙类水果的平均质量μ2＝1.99kgC．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近解析：由图象可知，甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，且μ1<μ2，故A、C正确，B不正确；甲图比乙图更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近，故D正确．故选ACD.二、填空题9．某随机变量X服从正态分布，其概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\s\up15(eq\f(x2,8))，则X的期望μ＝0，标准差σ＝2.解析：概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\s\up15(eq\f(x－μ2,2σ2))，所以X的期望μ＝0，标准差σ＝2.10．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为Y～N(2,62)．解析：因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，D(Y)＝9D(X)＝62.∴Y～N(2,62)．11．某正态密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为eq\f(1,\r(2π))，则总体落入区间[0,2]内的概率约为0.477_3.解析：正态密度函数是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\s\up15(eq\f(x－μ2,2σ2))，x∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0，∵f(x)的最大值为f(μ)＝eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π))，∴σ＝1，∴P(0≤X≤2)＝eq\f(1,2)P(－2≤X≤2)＝eq\f(1,2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈eq\f(1,2)×0.9545≈0.4773.三、解答题12．设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ>5)．解：因为ξ～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2，(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827.(2)因为P(3<ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，所以P(3<ξ≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝eq\f(1,2)[1－P(－3≤ξ≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)≈0.0228.13．为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高X(单位：cm)服从正态分布N(160，σ2)，已知P(X<150)＝0.2，P(X≥180)＝0.03.(1)现从该市高三学生中随机抽取一名学生，求该学生身高在区间[170,180)的概率；(2)现从该市高三学生中随机抽取三名学生，记抽到的三名学生身高在区间[150,170)的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ)．解：(1)由全市高三学生身高X服从N(160，σ2)，P(X<150)＝0.2，得P(160≤X<170)＝P(150≤X<160)＝0.5－0.2＝0.3.因为P(X≥180)＝0.03，所以P(170≤X<180)＝0.5－0.3－0.03＝0.17.故从该市高三学生中随机抽取一名学生，该学生身高在区间[170,180)的概率为0.17.(2)因为P(150≤X<170)＝P(150≤X<160)＋P(160≤X<170)＝0.3＋0.3＝0.6，ξ服从二项分布B(3,0.6)，所以P(ξ＝0)＝(1－0.6)3＝0.064，P(ξ＝1)＝3×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(ξ＝2)＝3×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(ξ＝3)＝0.63＝0.216.所以ξ的分布列为ξ0123P0.0640.2880.4320.216所以E(ξ)＝3×0.6＝1.8.14．(多选题)下列说法正确的有(AD)A．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ≤3)＝0.84，则P(ξ≤1)＝0.16B．设随机变量X服从正态分布N(3,7)，若P(X>m＋1)＝P(X>m－1)，则m＝3C．设随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝eq\f(3,16)D．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为eq\f(54,125)解析：对于A，因为变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ≤3)＝0.84，所以P(ξ≥3)＝1－0.84＝0.16，因为关于ξ＝2对称，所以P(ξ≤1)＝P(ξ≥3)＝0.16，故A正确；对于B，因为P(X>m＋1)＝P(X>m－1)，所以须满足m＋1＝m－1，等式不恒成立，故无论m是任何实数，都不能使P(X>m＋1)＝P(X>m－1)，故B错误；对于C，因为随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))6－3＝eq\f(5,16)，故C错误；对于D，由题意可知，此人恰有两次击中目标的概率为Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＝eq\f(54,125)，故D正确．故选AD.15．若随机变量X～N(2,32)，且P(X≤1)＝P(x≥a)，则(x＋a)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))5展开式中x3项的系数是1_620.解析：随机变量X～N(2,32)，均值是2，且P(X≤1)＝P(x≥a)，∴a＝3；∴(x＋a)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))5＝(x＋3)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))5＝(x2＋6x＋9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))5；又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))5展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·(3x)5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))k＝(－1)k·35－k·Ceq\o\al(k,5)·x5－eq\s\up15(eq\f(3k,2))，令5－eq\f(3k,2)＝1，解得k＝eq\f(8,3)，不合题意，舍去；令5－eq\f(3k,2)＝2，解得k＝2，对应x2的系数为(－1)2·33·Ceq\o\al(2,5)＝270；令5－eq\f(3k,2)＝3，解得k＝eq\f(4,3)，不合题意，舍去；∴展开式中x3项的系