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文档简介

离散鞅论及应用基础定义设为概率空间，整数集合，表示的一个“区间”，指的不间断子集，比如：，等。定义1：设为单调上升（或下降），指，（或）。设为随机变量序列，若关于可测，，称为适可测随机变量。定义2：设为适可测随机变量，若下两条满足：1.，2.。则称为一个鞅。若2改写成，称为下鞅（上鞅），合称为半鞅。定义3设为适可测随机变量，下降，若，且，则称为一个反鞅。命题1.对于区间,为适可测随机变量列，则为一个鞅，当且仅当为一个反鞅。定义4设为适可测随机变量列，，，若，称为一个鞅差。命题2设为上升域（列），下两条成立：若为一个鞅，则为一个鞅差，其中若为一个鞅差，则为一个鞅，其中。简言之，“鞅=鞅差的部分和”。设为一个鞅，为内实值可测函数，问是否是鞅？首先，关于可测，理由：关于可测，假定，，其次，和的关系？若为凸函数，由条件Jensen不等式，表明为一个下鞅。命题3设为适可测随机变量列，为上凸函数，且，，则下两条成立：1若为鞅，则为下鞅。2若为下鞅，为单调不减，则为下鞅。有意思的推论：若为下鞅，则为下鞅；若为鞅，则为下鞅（，假定）。鞅的停时定理关于停时，设为上升域列，为取值正整数的随机变量，若对每，均有，称为关于的停时。命题4如果和是两个停时，则，，也是停时。要证明上述命题，需要下面的引理：引理1设为任意的取值于的随机变量，下属三者等价：（1）；（2）；（3）。命题5设是一列关于的鞅，是一个关于的停时，并且有界，，，则，特别地。这个命题是鞅停时定理的一个特殊情况，可以看出，它的条件太强了，实际上我们感兴趣的问题中许多都不满足有界这一严格的条件。假设是一停时并且，也就是说以概率1，可以保证会停止（相对于），但与有界不同的是，并没有确定的使。在这种情况下，何时可若初始每股价格超过，则期权的平均潜在利润至多为。这一值可通过即刻行使期权获得（取）。这表示，一旦单股股票的价格超过，期权持有人就应马上行使他的期权，以期获得最大限度的潜在利润。注2：这个定理是以（1）式作前提的，如果对这个假设存在怀疑，这

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