第07讲正多边形（4类题型）（原卷版）

第07讲正多边形（4类题型）课程标准学习目标1.正多边形的相关概念；2.正多边形与圆；了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。知识点01：正多边形与圆（一）正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。（二）正多边形的有关计算（1）正边形的每个内角都等于（2）正边形的每个中心角都等于（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形的周长面积【即学即练1】1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为S，则纸片的剩余部分的面积为（

）A． B． C． D．S【即学即练2】2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形内接于，点是上的一点，则的度数为（

）A． B． C． D．题型01求正多边形的中心角1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）正八边形的中心角等于（

）度A．36 B．45 C．60 D．722．（2023·四川成都·模拟预测）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．163．（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形的中心角为，则从该正多边形的一个顶点出发共有条对角线．4．（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，是的内接正三角形，是的内接正四边形的一边，连接，则是的内接正边形的一边．5．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，点是正方形，的中心．（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接求证：．题型02已知正多边形的中心角求边数1．（2023·浙江·九年级假期作业）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形的中心角是，则过它的一个顶点有条对角线．4．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知一个正多边形的中心角为，边长为5，那么这个正多边形的周长等于．5．（2023·浙江·九年级假期作业）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．题型03正多边形与圆1．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点，重合），则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，一个正方形剪去四个角后形成一个边长为的正八边形，则这个正方形的边长为．4．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图，正三角形与正五边形内接于，则的度数为．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点、、、都在上，，．(1)求的度数；(2)求的度数；题型04尺规作图—正多边形1．（2023春·九年级课时练习）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；对于甲、乙两人的作法，可判断（

）A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对C．两人都不对 D．两人都对2．（2023春·九年级课时练习）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．对于两人的作业，下列说法正确的是（

）A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：①作出半径OF的中点H．②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝．（结果保留根号）4．（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A．（1）⊙的周长等于；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明）．5．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）作图题：(1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法）(2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法．A夯实基础1．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）如图，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形的周长最大的是图形（

）A．① B．② C．③ D．无法判定2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（）A． B．3 C．6 D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则（

）A． B． C． D．4．（2023春·九年级课时练习）如图是一个正八边形，则它（）A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形5．（2023春·广东云浮·九年级校考期末）若圆的内接正六边形的边长为3，则该圆的半径为．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图摆放着正五边形和正，其中点在同一直线上，，则的度数是．7．（2023·福建泉州·统考模拟预测）刺绣是我国独特的民间传统手工艺品之一，至少有二三千年历史.如图是用红色纱线完成的正五角星刺绣作品，则图中的度数是度.8．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，正六边形ABCDEF内接于．若的周长为，则该正六边形的边长是．9．（2023秋·全国·七年级随堂练习）如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．B能力提升1．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）A．1 B．3 C． D．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是正八边形的外接圆，则下列结论：①；②的度数为；③．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正六边形的边长为2，现将它沿方向平移1个单位，得到正六边形，则阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是（

）A． B． C． D．5．（2023·广东广州·校考一模）是的内接正六边形一边，点是优弧上的一点（点不与点，重合）且，与交于点，则的度数为．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，若的半径为1，则的内接正八边形的面积为．7．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）如图，直线与正六边形的边分别交于点G、H，若，则度．8．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）下列说法中正确的有（填所有正确结论的序号）．（1）直角三角形只有一条高；（2）边形共有条对角线；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形；（5）圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合；9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，点，分别是正六边形的边，上的点，且，交于点．(1)求证：；(2)求的度数．10．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：(1)将如表的表格补充完整：正多边形边数______的度数________________________(2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．C综合素养1．（2023秋·九年级课时练习）如图，连接的内接正十二边形顶点得到，，若，则阴影部分的面积为（）A． B．2 C． D．2．（2023春·山东济宁·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（

）A． B． C． D．3．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，正六边形内接于半径为的中，连接，，，沿直线折叠，使得点与点重合，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．4．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（

）A． B．1 C． D．25．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正五边形内接于，点在弧上，则的度数为．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，在正五边形中，是的中点，点在线段上运动，连接，当的周长最小时，的度数为．7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，延长正五边形各边，使得，若，则的度数为．8．（2023·河北沧州·模拟预测）某数学小组在一个半径为2的圆形场地上做探究实践活动．（1）如图1，小组将圆形场地分为12等份．机器人从一个点到另外一个点均是直线行走．①机器人从点走到点的路程为；②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线1：；路线2：，路线1的长记为，路线2的长记为，则；（填“>”“<”或“=”）（2）如图2，机器人从出发，沿与半径夹角为的方向行走，走到场地边缘后，再沿与夹角为的方向折向行走至，…按照这样的方式，机器人走到时第一次超过，且，则．9．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上．图①、图②中的点在上，在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，所画图形的顶点均在格点上，并保留作图痕迹．(1)在图①中画一个的内接正方形．(2)在图②中画一个的内接四边形，使该四边形只是轴对