新高考数学一轮复习 导数专项重点难点突破专题18 构造函数法解决导数问题(原卷版)

专题18构造函数法解决导数问题1．以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，eq\f(fx,gx)”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．2．(1)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．(2)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．(3)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′”，构造可导函数y＝eq\f(fx,gx)，再利用该函数的性质巧妙地解决问题．3．构造函数解决导数问题常用模型(1)条件：f′(x)>a(a≠0)：构造函数：h(x)＝f(x)－ax.(2)条件：f′(x)±g′(x)>0：构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．(3)条件：f′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝exf(x)．(4)条件：f′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝eq\f(fx,ex).(5)条件：xf′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝xf(x)．(6)条件：xf′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝eq\f(fx,x).题型一构造y＝f(x)±g(x)型可导函数1．设奇函数f(x)是R上的可导函数，当x>0时有f′(x)＋cosx<0，则当x≤0时，有()A．f(x)＋sinx≥f(0)B．f(x)＋sinx≤f(0)C．f(x)－sinx≥f(0) D．f(x)－sinx≤f(0)2．设定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论一定错误的是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))<eq\f(1,k)B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))>eq\f(1,k－1)C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)))<eq\f(1,k－1) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)))>eq\f(1,k－1)3．已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对于任意x∈R，都有f′(x)＋2>0，则不等式f(log2|3x－1|)<3－logeq\r(2)|3x－1|的解集为()A．(－∞，0)∪(0,1)B．(0，＋∞)C．(－1,0)∪(0,3) D．(－∞，1)4．设定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝2，f′(x)<1，则不等式f(x2)>x2＋1的解集为________．5．定义在R上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)＜eq\f(1,2)，则不等式f(lgx)＞eq\f(lgx＋1,2)的解集为__________．题型二构造f(x)·g(x)型可导函数1．设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)2．设y＝f(x)是(0，＋∞)上的可导函数，f(1)＝2，(x－1)[2f(x)＋xf′(x)]>0(x≠1)恒成立．若曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y＝g(x)，且g(a)＝2018，则a等于()A．－501B．－502C．－503 D．－5043．设定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋f(x)＝3x2e－x，且f(0)＝0，则下列结论正确的是()A．f(x)在R上单调递减B．f(x)在R上单调递增C．f(x)在R上有最大值D．f(x)在R上有最小值4．已知f(x)是定义在R上的增函数，其导函数为f′(x)，且满足eq\f(fx,f′x)＋x<1，则下列结论正确的是()A．对于任意x∈R，f(x)<0B．对于任意x∈R，f(x)>0C．当且仅当x∈(－∞，1)时，f(x)<0D．当且仅当x∈(1，＋∞)时，f(x)>05．若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋f(x)>2，f(0)＝5，则不等式f(x)<eq\f(3,ex)＋2的解集为________．6．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)＞x2，则下列不等式在R上恒成立的是()A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＞xD．f(x)＜x7．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋2f′(x)＞0恒成立，且f(2)＝eq\f(1,e)(e为自然对数的底数)，则不等式exf(x)－eSKIPIF1<0＞0的解集为________．题型三构造eq\f(fx,gx)型可导函数1．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0,当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)2．已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)，则不等式x2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－f(x)<0的解集为________．3．已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)＞f′(x)，则有()A．e2019f(－2019)＜f(0)，f(2019)＞e2019f(0)B．e2019f(－2019)＜f(0)，f(2019)＜e2019f(0)C．e2019f(－2019)＞f(0)，f(2019)＞e2019f(0)D．e2019f(－2019)＞f(0)，f(2019)＜e2019f(0)4．已知定义在R上函数f(x)，g(x)满足：对任意x∈R，都有f(x)>0，g(x)>0，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0.若a，b∈R＋且a≠b，则有()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))>f(eq\r(ab))g(eq\r(ab))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))<f(eq\r(ab))g(eq\r(ab))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))g(eq\r(ab))>geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))f(eq\r(ab))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))g(eq\r(ab))<geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))f(eq\r(ab))5．设f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，且满足xf′(x)－2f(x)>0，若在△ABC中，角C为钝角，则()A．f(sinA)·sin2B>f(sinB)·sin2AB．f(sinA)·sin2B<f(sinB)·sin2AC．f(cosA)·sin2B>f(sinB)·cos2AD．f(cosA)·sin2B<f(sinB)·cos2A6．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()A．ex11f(x2)＞ex2f(x1)B．ex1f(x2)＜ex2f(x1)C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定专项突破练构造函数法解决导数问题一、单选题1．已知SKIPIF1<0是定义在R上的偶函数，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的图象是连续不断的一条曲线，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．SKIPIF1<0是定义在R上的函数，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导函数，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0成立，则不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知函数SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，且当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导函数），则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知f（x）为定义在R上的可导函数，SKIPIF1<0为其导函数，且SKIPIF1<0恒成立，其中e是自然对数的底数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，其导函数为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列式子一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的可导函数，其导函数为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为其导函数，满足①SKIPIF1<0，②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.若不等式SKIPIF1<0有实数解，则其解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，e为自然对数的底数，若关于x的不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．已知函数SKIPIF1<0为定义域在R上的偶函数，且当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则有（

）A．SKIPIF1<0可能是奇函数，也可能是偶函数 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．定义在R上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导函数，则不等式SKIPIF1<0（其中e为自然对数的底数）的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．设函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的导函数，有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题17．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．已知定义在R上的函数SKIPIF1<0图像连续，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则不等式SKIPIF1<0中的x可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，则必有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的可导函数，且SKIPIF1<0对于任意SKIPIF1<0恒成立，则下列不等关系正确的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三、填空题21．已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，SKIPIF1<0是在SKIPIF1<0上无零点的偶函数，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0的解集是________22．已知函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的解集为_________．23．已知函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是___________.24．定义在SKIPIF1<0上的函数满足SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为__________.25．若SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的连续不断的函数，满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围___________.26．已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为___________.27．已知定义在SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为___________.28．若定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0