初中概率的定义

【概率的定义】

随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次

考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。但如果一件事情发生的概率是1/n,不是指n次事件

里必有一次发生该事件，而是指此事件发生的频率接近于1/n这个数值。

■概率的频率定义

随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同

的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做

大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定

性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率,这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义

是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。

■概率的严格定义

设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A),称为事件A的概

率。这里P(・)是一个集合函数，P。要满足下列条件：

(1)非负性：对于每一个事件A,有P(AR0;

(2)规范性：对于必然事件S,有P(S)=1;

(3)可列可加性：设A1,A2……是两两互不相容的事件，即对于¥j,AiClAj=(p,(i,j=1,2……),则有

P(A1UA2U……)=P(A1)+P(A2)+.......

■概率的古典定义

如果一个试验满足两条：

(1)试验只有有限个基本结果；

(2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

这样的试验，成为古典试验。

对于古典试验中的事件A,它的概率定义为：

P(A)=m/n,n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。

这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

■概率的统计定义

在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/

n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概

率的统计定义。

在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数

学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布•伯努利(JocobBernoulli,公元1654年〜1705年)。

从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。

由于频率nA/n总是介于。和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A,皆有OWP(A)V1,P(Q)=1,

P(e)=0。

。、中分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件(在一定条件下必然不发生的事

件)。

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【生活中的实例】

普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称「点背」，下面列出的几

个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识：

■1.六合彩：在六合彩(49选6)中，一共有13983816种可能性(参阅组合数学)，普遍认为，如果每

周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52(周)=268919年后获得头等奖。事实上这种理解是错误

的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。

■2.生日悖论:在一个足球场上有23个人(2x11个运动员和1个裁判员)，不可思议的是，在这23人

当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50%。

■3.轮盘游戏:在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断

也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆"，它不会意识到以前都发生了什么，

其机率始终是18/37。

■4.三门问题:在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，

其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择扇他认为其后面有汽

车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇

门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，

如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。

用条件概率和全概率公式吧

考虑选择更换的情况

设A1表示第一次抽到羊的概率

A2车

B1最终羊

B2车

P(A1)=2/3P(A2)=1/3

P(B2|A1)=1

P(B2|A2)=0

所以

P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)=2/3

P(B1)=1/3

TANKTANK98修正：这里的几率是指什么儿率？

我认为，这个问题使得很多人迷糊了，其实这里存在2个几率：

1.整个开门事件来说，包括从一开始来说，参赛者的儿率由"3提高到了2/3,因为有3张门，分别是参

赛者选中的(有1/3)

另外2张(各1/3),后来主持人确定一个门没有车，这样使得剩下的2张门有车的总儿率提升到了100%,

而原来这2张门的总几率是66%,多出的33%分到了谁头上？

2.就参赛者从剩下的2张门里面选一个的忖候，他得到车子的几率是50%。

几率的对象必须分清楚！是2张门选1张时候的几率还是从头至尾的几率，的确会迷糊人。

毅U味尽：

…”如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。”这种说法。几率

永远都是50%。

……，后验概率会使得下一次反面的几率大的多。

哈尔威：正如《决胜21点》的男主角所说的“我一定换，因为那是主持人送给我的概率”事实原因就在这

里选手选择是随机的(33%的机会为车，66%的机会为羊)，但是主持人确要在他选到羊的时候(66%)一定

要选择剩余的那只羊！当然这种情况下换的结果只能是“车”。那么玩家有在始终选择换的情况卜他只在自己选

中车的时候(33%)才会选到羊。此时你在游戏获得车的机会提高了一倍(33%到66%)所以聪明的你如果去

参加这个游戏你会选择换还是不换呢？我想现在你心里已经有答案了。

后退思维者，关于三门问题：这是个有前提条件的问题，大家被严重的思维混淆了

1、结果：换门，赢取汽车的概率为2/3,不换门，赢取汽车的概念为1/3(成立)

前提：同一个人玩同一个游戏3次以上，那么每次选择换门的话，赢取汽车的概率为2/3

2、结果：换门与不换门赢取汽车的概率均为1/2(成立)

前提：同一个人只有一次机会玩同一个游戏，那么在主持人确定一扇门后，他换与不换的概率就是1/2.

2/3和1/2的结果问题就是根本不是同一类别，是概率两大类别，所谓的2/3概率是相对一个空间，在10

0次的机会中，你将会有2/3的机会赢取。1/2概率是在限定的情况下，发生的概率，所以是不同的。

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【概率的两大类别】

■古典概率相关

古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形,即基本空间由有限个元素或基

本事件组成,其个数记为n,每个基本事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基本事件，则定义事

件A发生的概率为p(A)=m/n,也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空

间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。历史上古典概率是

由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一

个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。

■几何概率相关

集合概率若随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概

率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发

生的概率，布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。

在概率论发展的早期，人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限个的情况是不够的，还必须考虑试

验结果是无限个的情况。为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域S表示，其试验结果具有所谓“均匀

分布”的性质，关于“均匀分布”的精确定义类似于古典概率中“等可能”只一概念。假设区域S以及其中任何可能

出现的小区域A都是可以度量的，其度量的大小分别用|J(S)和|J(A)表示。如一维空间的长度，二维空间的面

积，三维空间的体积等。并且假定这种度量具有如长度一样的各种性质，如度量的非负性、可加性等。

♦几何概率的严格定义

设某一事件A(也是S中的某一区域)，S包含A,它的量度大小为p(A),若以P(A)表示事件A发生的

概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为：P(A)=|J(A)/p(S),这样计算的概率称为几何概率。

♦若①是不可能事件，即①为。中的空的区域，其量度大小为0,故其概率P(e)=0。

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【独立试验序列】

假如一串试验具备下列三条：

(1)每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为“失败”，P｛成功｝=p,P｛失败｝=1-p=q；

(2)成功的概率p在每次试验中保持不变；

(3)试验与试验之间是相互独立的。

则这一串试验称为独立试验序列,也称为bernoulli概型。

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【必然事件与不可能事件】

在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基木事件的集合称为基本空间。

随机事件(简称事件)是由某些基本事件组成的，例如，在连续掷两次骰子的随机试验中，用Z,丫分别表示

第一次和第二次出现的点数，Z和丫可以取值1、2、3、4、5、6,每一点(乙丫)表示一个基本事件，因而

基本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一事件，它是由一个基本事件(1,1)组成，可用集合｛(1,1)｝

表示“点数之和为4”也是一事件，它由(1,3),(2,2),(3,1)3个基本事件组成，可用集合｛(1,3),

(3,1),(2,2))表示。如果把“点数之和为1”也看成事件，则它是一个不包含任何基本事件的事件，称为不

可能事件。在试验中此事件不可能发生。如果把“点数之和小于40”看成一事件，它包含所有基本事件，在试

验中此事件一定发生，所以称为必然事件。若A是一事件，则“事件A不发生”也是一个事件，称为事件A的咫

立事:件。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等

进行研究。

【随机事件，基本事件，等可能事件，互斥小件,对立事件】

在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

通常一次实验中的某一事件由基本事件组成。如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基

本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么这种事件就叫做等可能事件。

不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

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【概率的性质】

性质1.P(e)=0.

性质2(有限可加性).当n个事件A1,…，An两两互不相容时:P(A1U...UAn)=P(A1)+...+P(An).

性质3.对于任意一个事件A：P(A)=1-P(非A).

性质4.当事件A,B满足A包含于B时:P(B-A)=P(B)-P(A),P(A)<P(B).

性质5.对于任意•个事件A,P(A)<1.

性质6.对任意两个事件A和B,P(B-A尸P(B)-P(AB).

性质7(加法公式).对任意两个事件A和B,P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).

(注：A后的数字1,2...............n都表示下标.)

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频率与概率

对事件发生可能性大小的量化引入“概率”.

“统计规律性”

独立重复试验总次数n,事件A发生的频数M，

事件A发生的频率Fn(A)=p/n,A的频率Fn(A)有没有稳定值？

如前人做过的掷硬币的试验(P.44下面表)；

如果有就称频率pn的稳定值p为事件A发生的概率记作P(A)=p［概率的统计定义］

P(A)是客观的，而Fn(A)是依赖经验的。

统计中有时也用n很大的时候的Fn(A)值当概率的近似值。

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概率的三个基本属性

1、［非负性］:任何事件A,P(AR02、［完备性］:P(Q)=13、［加法法则］如事件A与B不相容，即如果AB

=(p,则P(A+B)=P(A)+P(B)

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概率的加法法则

如事件A与B不相容，A+B发生的时候，A与B两者之中必定而且只能发生其中之一。独立重复地做n

次实验，如记事件A发生的频数为.A、频率为Fn(A),记事件B发生的频数为pB、频率为Fn(B),事件A

+B发生的频数为pA+B、频率为Fn(A+B),易知：pA+B=pA+pB,Fn(A+B)=Fn(A)+Fn(B),它

们的稳定值也应有：P(A+B)=P(A)+P(B)［加法法则］如事件A与B不相容，即如果AB=(p,则P(A+B)=P(A)+

P(B)即：两个互斥事件的和的概率等于它们的概率之和。请想•下：如A与B不是不相容，即相容的时候呢？

进一步的研究得：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)这被人称为：“多退少补”！

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模糊和概率

1.是否不确定性就是随机性？似然比、概率是否代表了所有的不确定性？

Bayesiancamp：概率是一种主观的先验知识，不是•种频率

和客观测量值

Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其

他方法都是不充分的

相似：通过单位间隔［0,1］间的数来表述不确定性，都兼有集

合、相关、联系、分布方面的命题

区别：对待。经典集合论，

代表概率上不可能的事件。而模糊建立在

(1)是否总是成立的？

考虑能否逻辑上或部分地违背“无矛盾定理"(Aristotle的

三个‘思考定理'之一，同时‘排中定理‘，‘同一

性定理’这些都是非黑即白的经典定理。)

模糊(矛盾)的产生，就是西方逻辑的结束

(2)是否可以推导条件概率算子？

经典集合论中：

模糊理论：考虑超集是其子集的子集性程

度，这是模糊集合的特有问题。

2。模糊和概率：是否与多少

模糊是事件发生的程度。随机是事件是否发生的不确定性。

例子：明天有20%的几率下小雨(包含复合的不确定性)

停车位问题

一个苹果在冰箱里的概率和半个苹果在冰箱里

事件倒转，地球演变恢复原点

模糊是一种确定的不定性(deterministicuncertainty),是物理

现象的特性。用模糊代表不确定性的结果将是震撼的，人们需

要重新审视现实模型。

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相关信息

概率论与数理统计，概率论，概率分布，概率与统计等。

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概率的应用

在自然界和现实生活中，•一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们

是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结

果。如，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类

是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的。例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种

零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的

发芽情况也不尽相同有强弱和早晚之别等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，

我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们

无法事先预料的。这类现象，我们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这

种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。

概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就

是100%或者说是1,因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0,因为它肯定不会发生。但生活中的

很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率

就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不

定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常

常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。

走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概

率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100

个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%

的居民成为“职业”（经济性购买）彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真

的能让我们如愿以偿吗？以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而

不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：

由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发

财之路。

体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不

大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，

组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗？以下我们用概率的观点和知识加以阐述：日常生活

中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，

但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗？我们以大学英语四级考

试为例来说明这个问题。

大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理

解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情

况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗？答案是否定的。假设不考虑写作15

分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。

概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。

因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。

一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们

生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利

用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。

如今“降水概率”已经赫然于电视和报端。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明"真实

概率”，电视节目的预告中，每个节目旁都会写上“可视度概率”。另外，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药

方疗效概率、广告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上说是民主与平等的体现，因此,

社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。

总之，由于随机现象在现实世界中大量存在，概率必将越来越显示出它巨大的威力。

参考文献：

［1］刘书田.概率统计学习辅导［M］.北京:北京大学出版社，200