河南省郑州市重点名校2017-2018学年高二下学期期末调研数学试题

河南省郑州市重点名校2017-2018学年高二下学期期末调研数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2x-y+1>0

1.设关于％，〉的不等式组｛x+m<0表示的平面区域内存在点满足%-2%=2,则m的

y-m>Q

取值范围是（）

421

A.（-00,--）B.（--,0）C.D.(-00,--)

3

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

由约束条件，作出可行域如上图所示阴影部分AABC,要使可行域存在，必有机<-2m+1,可行域包

括y=1上的点，只要边界点A（一〃，,l—2帆）在直线y=1的上方，且5（一加,加）在直线

m<—2m+1

y=gx_l的下方，，c12

故有<1-2m>——m-1,解得加<一§选D.

2

1,

m<——m-1

12

点睛：平面区域的最值问题是线性规划的一类重要题型，在解答本题时，关键是画好可行域，分析目标函

数的几何意义，然后利用数形结合的思想，找出点的坐标，即可求出答案.

2.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年

时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（）

A.0.75B.0.6C.0.52D.0.48

【答案】A

【解析】

【分析】

记事件A：该元件使用寿命超过1年，记事件8:该元件使用寿命超过2年，计算出P(A)和P(AB),利用

/।、P(AB\

条件概率公式可求出所求事件的概率为P(B|A)=方寸.

【详解】

记事件A:该元件使用寿命超过1年，记事件B-.该元件使用寿命超过2年,

则P(A)=0.8,P(AB)=P(B)=0.6,

因此，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为

。但力多，嘿"75,故选A.

【点睛】

本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问

题和计算能力，属于中等题.

3.已知函数y=/(x)的图象关于直线x=0对称，当xw(0,+co)时，/(x)=log2X,若a=/(—3),

b=心,c=f(2),则上c的大小关系是

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【解析】

函数y=/(x)的图象关于直线x=0对称，所以y=/(%)为偶函数，

当xe(0,+8)时，/(x)=log2x,函数单增，

。=/(-3)=/(3)；0=c=/(2),

因为3>2〉：，且函数单增，故/⑶>/⑵>/1),即a〉c〉6,故选D.

4.“读整本的书”是叶圣陶语文教育思想的重要组成部分，整本书阅读能够扩大阅读空间。某小学四年

级以上在开学初开展”整本书阅读活动”，其中四年1班老师号召本班学生阅读《唐诗三百首》并背诵古

诗，活动开展一个月后，老师抽四名同学(四名同学编号为L2,3,4)了解能够背诵古诗多少情况，四名同

学分别对老师做了以下回复：

1说：“2比4背的少”；

2说：“1比3背的多”；

3说：“我比4背的多"；

4说：“3比2背的多”.

经过老师测验发现，四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少

的一个.四名同学的编号按能够背诵数量由多到少组成的四位数是（）

A.4231B.3241C.2413D.4312

【答案】A

【解析】

【分析】

分别假设四位同学是说正确的人，排除矛盾情况，推理得到答案

【详解】

假设1正确，其他都错误，则1最少，2比4背的少，1比3背的少，3比4少，3比2少

顺序为：4231

假设2正确，其他错误，则2最少，根据1知：2比4多，矛盾，排除

假设3正确，其他错误，则3最少，根据2知：1比3少，矛盾，排除

假设4正确，其他错误，则4最少，根据3知：3比4少，矛盾，排除

故答案选A

【点睛】

本题考查了逻辑推理，依次假设正确的人，根据矛盾排除选项是解题的关键.

5.设集合4={（甬,孙玛,4三）1%e{-1,0,1}/=123,4,5},那么集合A中满足条件

"1旦石|+|/|+|七|+|七1+小上3"的元素个数为（）

A.60B.90C.120D.130

【答案】D

【解析】

【分析】

从"10芯|+|/I+1演I+1七I+1思区3",且ae{—1,0,1},，=1,2,3,4,5入手，

|不|+1/I+1七I+1%I+1/I可能取1，2,3,分3种情况讨论七种-L0,1的个数，再求5个元素的排列

个数，相加即可得到答案.

【详解】

因为"14王|+|%2l+IW+l/l+l%区3",且可C{—1,0,1},，=1,2,3,4,5,

所以|玉|+|9|+|%1+1乂1+1%|可能取1,2,3,

当|七|+|々|+|七|+|乂1+以1=1时，

冷/，毛中有1个1或T，4四个0,所以元素个数为C：+C；=10；

当|%|+|々1+1w1+1乂1+1毛1=2时，

%,尤2，演，/，天中有2个1，3个0,或1个1,1个-1,3个0,或2个-1,3个0,所以元素个数为

《+（^+6=10+10+20=40,

当|不|+|%21+1毛1+1工41+1毛1=3时，

%,%，&，%4，毛中有3个1,2个0,或2个1,1个-1,2个0,或2个—1,1个1,2个0,或3个-1,2

个0,元素个数为窃+《盘+CG+盘=10+30+30+10=80,

故满足条件的元素个数为10+40+80=130,

故选：D

【点睛】

本题考查了分类讨论思想，考查了求排列数，对I%I+1々I+1%I+1ZI+1*51的值和对％中—1,0」的个

数进行分类讨论是解题关键，属于难题.

6.设m,ncR,若直线痛:+〃y=2与圆好+/1=i相切，则用+〃的取值范围是（）

A.[-2,2]B.（7,—2][2,+8）

C.[—2叵2"D.（—，―2@u[26”）

【答案】C

【解析】

22

分析：由直线〃式+胡=2与圆光2+9=1相切，得/2+〃2=4,从而加=2,进而

2

（加+”）2=m-+1+2mn<4+2x2-8,由此能求出m+〃的取值范围.

详解：直线〃优+〃y=2与圆V+y2=i相切，

二圆心（0,0）到直线的距离d=J,/,=1，

解得m2+n2=4f

(m+"J=机2+〃2+2mn<4+2x2=8,

-2A/2<m+n<2&，

加+〃的取值范围是[—20,26].

故选C.

点睛：本题考查代数和取值范围的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式、基本不等式等基础知

识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.

5345

7.若(2x-3)=a0+axx+a2f+a3x+a4x+a5x,则a0+ax+2a2+3a3+4a4+5a5为()

A.—233B.10C.20D.233

【答案】A

【解析】

【分析】

对等式两边进行求导，当x=l时，求出ai+2a2+3a3+4a4+5as的值，再求出a。的值，即可得出答案.

【详解】

对等式两边进行求导，得：

2X5(2x-3)4=ai+2a2X+3a3X2+4a4X3+5asx4,

令x=l,得10=ai+2a2+3a3+4a4+5as；

又ao=(-3)5=-243,

ao+ai+2a2+3a3+4a4+5as=-243+10=-1.

故选A.

【点睛】

本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数

得出式子ai+2a2+3a3+4a4+5as是解题的关键.

8.已知S,是等差数列｛g｝的前n项和，且Sg=9S3,则｛%｝的通项公式可能是()

A.an=2n+2B.an=2n—2c.an=2n+\D.an=2n-\

【答案】D

【解析】

【分析】

由等差数列的求和公式，转化Sg=9S3为d=2q,故％=(2〃—l)q,分析即得解

【详解】

由题意，等差数列｛g｝,且Sg=9S3

g«3x2

可得9%x=9义(3卬+=〃)

故d=2.

所以％=ax+(ji—X)d=a｛+2(〃_l)q=(2n-V)ax

当。1=1时，an=2n-l

则｛4｝的通项公式可能是an=2n-l

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

9.在ABC中，内角43,C所对的边分别为a,伍c,已知(a+Z?—c)(a+Z?+c)=3a〃，且c=4,则

7LBC面积的最大值为()

A.8出B.4上c.2A/3D.@

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考察的是解三角形公式的运用，可以化简(。+6-c)(。+8+c)=3•得出角C的大小以及M的最大

值，然后得出结果.

【详解】

^a+b—c\^a+b+c\=3ab

(a+Z?)2-c1-3ab

ci~+b—(?=cib

a2+b2-c2

cosc=—,C=60

lab2

a2+b2-ab=c2

c1>2ab-ab>解得a6V16

所以SMC=ga入sinC<4也

【点睛】

在解三角形过程中，要对一些特定的式子有着熟练度，比如说t2、成等等，根据这些式子就要

联系到我们的解三角形的公式当中去.

10.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从

全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()

A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法

【答案】D

【解析】

试题分析：由于样本中男生与女生在学习兴趣与业余爱好方面存在差异性，因此所采用的抽样方法是分层

抽样法，故选D.

考点：抽样方法.

11.已知定义在R上的偶函数/■(九)=e"/—cosx(其中e为自然对数的底数)，记。=/(0.32),

03

b=f(2),c=f(k+log36),则a,b,c的大小关系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据函数奇偶性，求出左=-1,得至！J/(x)=eW—cosx,再由指数函数单调性，以及余弦函数单调性，

得到/(%)="—cosx在(0,不)上单调递增，进而可得出结果.

【详解】

因为/(x)=B"Lcos光是定义在R上的偶函数，

所以〃T)=/⑴，即e网一cosl=-cos(-l)，即*=*+Z,

所以阳=|4+2],解得：k=-l,所以/(力=阴—cosx,

当x>0时，f(x)=ex-cosx,因为y=/是单调递增函数，>=cosx在似])上单调递减，

所以/(x)=/-cosx在(0,上单调递增，

203

又0<0.3=0.09<log36-l=log32<l<2<n,

所以/(0.32)<"log36—l)<〃2°3),即0<c4.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查由函数单调比较大小，由函数奇偶性求参数，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.

X2-1,%<1

12.已知函数/(x)=Inx，若关于％的方程2[〃X)T+(1—2w)/(司—相=0有5个不同的

----,九21

实数解，则实数m的取值范围是()

A.卜1,4B.(0,+CO)c.fo,D.11,口

【答案】C

【解析】

【分析】

Inx

利用导数研究函数尸一的单调性并求得最值，求解方程2[f(x)]2+(l-2m)f(x)-m=l得到f(x)

x

』或£(x)=-g.画出函数图象，数形结合得答案.

2

【详解】

由y'=1,解得x=e,

当x£(1,e)时，寸＞1,函数为增函数，当x£(e,+8)时，寸＜1,函数为减函数.

当x=e时，函数取得极大值也是最大值为f(e)

e

方程2[f(x)方(1-2m)f(x)-m=l化为[f(x)-m][2f(x)+1]=1.

解得f(x)=m或f(x).

2

如图画出函数图象：

可得m的取值范围是(1,-).

e

(1)本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查函数图像和性质的综合运用，考查函数的零点问题，

意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化能力.(2)本题的解答关键有两点，其一是利

用导数准确画出函数/(%)的图像，其二是化简2[〃切2+(1・2间〃力—m=0得到f(X)二m或f(X)

~"2,

二、填空题：本题共4小题

13.为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好

为连续2天的概率是.

【答案】|

【解析】

试题分析：考查古典概型的计算公式及分析问题解决问题的能力.从5个元素中选2个的所有

可能有10种，其中连续有ahbqcdde共4种，故由古典概型的计算公式可知恰好为连续2天的概率是

p=—=_.

105

考点：古典概型的计算公式及运用.

14.若函数二（二）=一3二；+：二；+2二二在£,+工）上存在单调增区间，则实数二的取值范围是.

【答案】（一：,+K）

【解析】

试题分析：二（二）=一二：+二+2二=一（二一9；+彳+二二.当二eg，+工）时，二（二）的最大值为

二0=2二+3,令2二解得二＞一］所以a的取值范围是+x）.

考点：利用导数判断函数的单调性.

15.若函数/（力=三+。为奇函数，则/（1）=

【答案】1

【解析】

【分析】

由函数/（%）=l3+。在x=O时有意义，且/（%）为奇函数，由奇函数的性质可得"0）=0,求出。，再

代入求解即可.

【详解】

解：因为函数/（x）=V+a为奇函数,

所以/（。）=。3+。=0,即4=0,

所以/(x)=d,

所以/(1)=尸=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.

16.如图，正四棱柱ABC。—A4G。的底面边长为4,记A0cBQi=F,BCtB°=E,若

AELBF,则此棱柱的体积为.

【答案】32V2

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h,求出AE,彼的坐标，由数量积为0求得h,则棱柱的体积

可求.

【详解】

建立如图所示空间直角坐标系，

设DD[=k,又AB=BC=4,

则A(4,0,0),42,4£|，5(4,4,0),尸(2,2,/z),

(公

：.AE=\-2,4,-,BF=(-2,-2,/z),

I2)

h2

AE±BF,/.4-8+y=0,即/z=2点.

此棱柱的体积为4x4x2A/2=320.

故答案为32A/2.

【点睛】

本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量解决线线垂直问题，是中档题.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,

乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，

（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功.某人第一次左手先取两球，

第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

219

【答案】（1）-；（1）分布列详见解析，E（x）：.

【解析】

试题分析：本题主要考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解

决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在总数中去掉左右手各取一球，所取颜色相同的情况，即

所取颜色均为红色，均为黑色、均为白色的情况；第二问，先分别求出左右手所取的两球颜色相同的概率，

再利用独立事件计算两次取球的获得成功的次数为。次、1次、1次的概率，列出分布列，利用

EX=%々+区月+…+计算数学期望.

试题解析：（1）设事件H为"两手所取的球不同色”,

依题意，X的可能取值为o,1,1.

左手所取的两球颜色相同的概率为

18

右手所取的两球颜色相同的概率为=1

G4

13313

---X—=----

18424

51V

尸(X=l)=二xQ-)+(l一二)x士

18418418

51v

P(X=l)=-x-=—

18472

所以X的分布列为:

X011

13

P

2472

13719

£(^)=0x—+lx—+2

241836

考点：概率、离散型随机变量的分布列和数学期望.

g(x)=^x2-x.

18.已知函数，(x)=aln(x-a)(a＜。),

(1)若/(x)在(1"(1))处的切线与g(x)在(g,g(f)处的切线平行，求实数a的值;

(2)若尸(x)=/(x)-g(x),讨论2x)的单调性;

(3)在(2)的条件下，若—l<a<2(ln2—1),求证：函数b(x)只有一个零点/,且a+l</<a+2.

【答案】⑴a=-1(2)见解析(3)见解析

【解析】

分析：(1)先求一阶导函数/'(x),k=f'(x0),用点斜式写出切线方程

(2)先求一阶导函数尸(x)=0的根，求解/'(x)>0或/'(x)<0的解集，判断单调性。

(3)根据(2)的结论，求出极值画出函数的示意图，分析函数厂(%)只有一个零点餐的等价条件是极小

值大于零，函数尸(%)在(a+l,+a))是减函数，故必然有一个零点。

详解：(1)因为广(x)=，一，所以尸。)=/一；又/信［=一:。

X—u112)2

由题意得二=一［,解得a=-1

l-o2

(2)F(x)=f(x)-g(x)=aln(x-o)-+x(a<0)»其定义域为(a,+«o)，

又产〈"=’-一x+i=-x-+(a+l)x,令尸，(x)=onx=o或x=a+|。

x-ax-a

①当。+1〉0即-1<。<0时，函数尸(x)与尸(x)随.V的变化情况如下：

当xw(0,a+l)时，尸(x)>0,当xe(a,0)U(a+1,+s)时，尸(%)<0。

所以函数厂(X)在(0M+I)单调递增，在(a,o)和(a+L+w)单调递减

②当a+l=0即a=—1时，F7x)=——<0,

V7x+1

所以，函数E(x)在(-L+8)上单调递减

③当a+1<0即。<-1时，函数F(x)与F'(x)随X的变化情况如下：

当xe(a+l,O)时，F,(x)>0,当尤e(a,a+l)u(0,+oo)时,F,(x)<0»

所以函数八X)在(a+L0)单调递增在(a,a+1)和(0,内)上单调递减

(3)证明：当—l<a<2(ln2—1)<0时，

由①知，/(x)的极小值为b(0),极大值为尸(。+1).

因为F(0)=aln(-a)>0,F(a+1)=--(a+1)2+(a+1)=—(1-a2)>0

22

且又由函数/(x)在(a+L”)是减函数，可得尸(x)至多有一个零点

又因为尸(a+2)=aln2_—ci_ci——5a[a—2(in2_1)]<0,

所以函数"(x)只有一个零点/,且a+l<Xo<a+2.

点睛：利用导数求在某点(%,%)切线方程利用左=/(%)，y=f(毛)即可，方程的根、函数的零点、

两个函数图像的交点三种思想的转化，为解题思路提供了灵活性，导数作为研究函数的一个基本工具在使

用。

123

19.在△ABC中，己知tanC=M，cos(A-3)=M，A〉3

(1)求sin(A+3)的值；

(2)求cos2A的值.

・小自、1263

【答案】⑴—;(2)--

1365

【解析】

【分析】

(1)通过tanC=m，可计算出C角正弦及余弦值，于是通过诱导公式可得答案；

(2)通过cos(A—3)=|,可得sin(A—B)=g,再利用cos2A=cos[(A+B)+(A—B)]可得答案.

【详解】

1「12

sinC12sinC=—

12-------——1;Q,所以

(1)在△ABC中，由于tanC=N，故｛cosC5解得■

sin2C+cos2C=1cosC=—

113

sin(A+B)=sin-C)=sinC=-；

53

(2)由(1)可知cos(A+5)=cos(乃一C)=—cosC=一百，而cos(A-_B)=《,A〉5,所以

4

sin(A-B)=-,所以

/so

cos2A=cos[(A+3)+(A-8)]=cos(A+-cos(A-B)-sin(A+B)-sin(A-B)=-R.

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的关系，诱导公式的运用，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力,

难度不大.

20.在极坐标系中，。为极点，点MS。，，)(夕0>°)在曲线C：P=4sine上，直线I过点A(4,0)且

与垂直，垂足为P.

7T

(1)当。0=§时，求为及I的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

【答案】(1)夕0=2指，I的极坐标方程为psin(e+£)=2；(2)2=4cos6(f<。<力

642

【解析】

【分析】

JT

(1)先由题意，将代入夕=4s%e即可求出已°；根据题意求出直线/的直角坐标方程，再化为极

坐标方程即可；

(2)先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.

【详解】

(1)因为点加(夕0，即(夕0>°)在曲线C：P=4sin。上，

所以pQ=4sin%=4siny=2A/3；

即所以《“=tan?=JJ,

因为直线I过点A(4,0)且与OM垂直，

所以直线/的直角坐标方程为y=—1(x—4),即x+百y—4=0；

因此，其极坐标方程为夕cos8+\/§/7sine=4,即I的极坐标方程为psin(^+—)=2；

6

(2)设P(九,y),贝!|左OP=2，kAP=-^-9

xx-4

2

由题意，OPLAP,所以《户&=—1,故-=-1,整理得V+y2—4无=0,

X,-4x

因为P在线段OM上，M在C上运动，所以0<x<2,0<y<2,

所以，P点轨迹的极坐标方程为夕2—4夕cosd=0,即2=4cose((<e<]).

【点睛】

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.

21.在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图.

甲

86

96715

868246

594

(I)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由;

(II)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量求七的分

布列和均值.

【答案】(I)答案见解析；(II)答案见解析.

【解析】

【分析】

⑴由题意考查两人的平均值均为82,方差甲乙分别为77,?,结合方差可知乙的方差小，即乙发挥更稳

定，故可选择学生乙参加知识竞赛.

(2)由题意可知：£的所有可能取值为0,1,2,结合超几何分布概率公式求得概率值，得到分布列，然后

计算可得均值为E(,=g.

【详解】

(I)学生甲的平均成绩x甲=68+76+79+86+88+95=82,

n

学生乙的平均成绩x乙=71+75+82+84+86+94=82,

n

又S：l='[(68-82)2+(76-82/+(79-82产+(86-82)2+(88-82产+(95-82)2]=77，

n

S-=-X[(71-82)2+(75-82)2+(82-82)2+(84-82)2+(86-82)2+(94-82)2]=-^,

n5

则X甲=X0S扯S%说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加

知识竞赛.

(H)随机变量E的所有可能取值为0,1,2,且

唯=0)=g[，唯=1)=丧=去P代=2)=：；=*,

则S的分布列为

012

281

P

51515

所以均值E(^)=0X|+1XA+2X-1=^

22.选修4—4：坐标系与参数方程

x=l+tcosa

在直角坐标系中，直线/的参数方程为a为参数).以原点。为极点，工轴的正半轴

y=tsma

/Imq

为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为P=；——〒.点E的直角坐标为(2,26),直线/与曲线

1-cos0

。交于A3两点.

(I)写出点E的极坐标和曲线。的普通方程；

(II)当tane=J5时，求点E到两点A3的距离之积.

【答案】⑴见解析；⑵1.

【解析】

x=pcosO

分析：⑴由极坐标方程求出点E的极坐标，运用.八求得曲线。的普通方程

y=psmt）

⑵将加*=6代入，求出直线/的参数方程，然后计算出结果

详解：（I）由夕2=三+/=16得Q=4,又1皿夕=¥=也,。€[0,1）得。=（,...点后的极坐标

-4cos。/口4cos。"八\x=pcosO

由夕=；-----巧得夕=.、"，所以有xrsnre=4pcos。，由〈.八得

1-cos〃sin〃[y=psmt）

y2=4x,所以曲线C的普通方程为：/=4x.

（II）因为tana=3点E（2,2⑹在/上，.•.直线/的参数方程为：

X=2H—t

,2

y=2出+同;

I2

a1久

将其代入V=4%并整理得a/+射+4=0,设A3所对应的参数分别为彳当，且有巾2=可，

所以画.阳川区卜印

x=pcosO

点睛：本题考查了极坐标和普通方程之间的转化，运用,八代入化简即可，在求距离时可以运用

y=psmt）

参数方程来解答，计算量减少

河南省郑州市重点名校2018-2019学年高二下学期期末调研数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.定义在R上的偶函数/(X)满足，(x—l)=/(x+l),且当无1,0］时，f(x)=x2,函数g(x)是定

义在R上的奇函数，当x〉0时，g(x)=lgx,则函数/?(%)=/(尤)-gO)的零点的的个数是()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

【分析】

由Mx)=0,得出〃x)=g(x),转化为函数y=/(x)与函数y=g(x)图象的交点个数，然后作出两

个函数的图象，观察图像即可.

【详解】

由于/(%—l)=/(x+l),所以，函数y=/(x)的周期为2,且函数y=/(x)为偶函数，

由人(尤)=0,得出/(%)=g(x)，问题转化为函数丁=/(力与函数y=g(£)图象的交点个数，作出函

数y=/(x)与函数y=g(x)的图象如下图所示，

由图象可知，00(x)WL,当x〉10时，g(x)=lgx>l,

则函数y=/(%)与函数y=g(x)在(IO,”)上没有交点，

结合图像可知，函数y=/(x)与函数y=g(x)图象共有11个交点，故选C.

【点睛】

本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共

点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中

等题.

2.设A={x||x—2区3},3={x|x<f},若A63=0,则实数，的取值范围是()

A.t<—1B.t<-1C.t>5D.tN5

【答案】C

【解析】

【分析】

分别求解出集合A和。3,根据交集的结果可确定/的范围.

【详解】

A={x"x-2]<3}={x|-1<x<5},CRB=^.r|x>t}

ACRB=0:.t>5

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，属于基础题.

3.已知集合A={l,2,3,4},5={y|y=3x—2,XGA},则AcB=()

A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}

【答案】D

【解析】

因为集合B中，x£A,所以当x=l时，y=3—2=1；

当x=2时，y=3X2-2=4；

当x=3时，y=3X3-2=7；

当x=4时，y=3X4-2=10.

BPB={1,4)7,10).

又因为A={1,2,3,4},所以ADB={1,4}.故选D.

4.两个半径都是厂(厂>1)的球和球。2相切，且均与直二面角6的两个半平面都相切，另有一

个半径为1的小球。与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球a和球Q都外切，则厂的值为()

B.5+3C.浮1D.暂

A.72+1

【答案】D

【解析】

【分析】

取三个球心点所在的平面，过点Q、Q分别作O2N±l,垂足分别为点过点。分别

作OA，/,分别得出|。4|、以及然后列出有关厂的方程，即可求出厂的值.

【详解】

因为三个球都与直二面角«-/-/?的两个半平面相切，

所以/与a、Q、。共面，

如下图所示，过点a、Q分别作O2N±l,

垂足分别为点M,N,过点。分别作。4，/,

Q，•B?•

后

戌

则|0眼卜。2W="，|0A|=市，|0再卜。23|=厂，|。。1|=|。。2|=r+1，

10B\=Jooj2-|QB|2=四TT,

|AB|=|OA|+\OB\=V2+V2r+1=y/2r,所以，质工1=0—0,

等式两边平方得2厂+1=2产_4r+2，

化简得2产一6厂+1=0，由于厂＞1,解得r=互口，故选D.

【点睛】

本题主要考查球体的性质，以及球与平面相切的性质、二面角的性质，考查了转化思想与空间想象能力，

属于难题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大

降低，本题将空间问题转化为平面问题是解题的关键.

5.已知《（左＜1,函数/。）=夕——左的零点分别为玉,马（玉＜%），函数g（x）=|2-的

零点分别为七,%（不＜%），则（乂-玉）+（%-石）的最小值为（）

A.1B.log23C.log26D.3

【答案】B

【解析】

试题分析：由题知，产=1_4，2飞=1-六，2弓=1一」一，2%=1.

2k-12k-1

:.-3---E[3-X)A-X3-.XI£[log3,-x)故选B.

l-k:4;

考点：1、函数的零点；2、指数运算；3、函数的最值.

6.直线y=x-i的倾斜角为（

【答案】B

【解析】

JT

试题分析：记直线y=x—1的倾斜角为。，,tane=lne=],故选B.

考点：直线的倾斜角.

7.设函数〃力=［，52（2-%），：<1，,则/（—2）+〃2）=（）

2,x>l,

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据x的取值计算/（-2）"（2）的值即可.

【详解】

解：/（-2）=l+log2（2+2）=3,/（2）=22T=2,

故〃-2）+〃2）=5,

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数求值问题，考查对数以及指数的运算，是一道基础题.

8.£,4'-九2dx=（）

A.71B.IKC.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据定积分b：,4-炉公表示直线尤=0,尤=2,丁=0与曲线）；=,4-V围成的图像面积，即可求出结果.

【详解】

因为定积分,4-旧心表示直线尤=（）,九=2»=。与曲线y=J”/围成的图像面积，

又y=J4—3表示圆/+>2=4的一半,其中丁三0；

因此定积分\14--a表示圆3+>2=4的，,其中yN0,0<X<2,

故£44-x2dx=；.万.2。=7t.

故选A

【点睛】

本题主要考查定积分的几何意义，熟记定积分几何意义即可，属于基础题型.

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A.16+16应B.32+160c.48D.y

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图可得几何体是如图所示四棱锥P-ABCD，根据三视图数据计算表面积即可.

【详解】

由三视图可得几何体是如图所示四棱锥P-，则该几何体的表面积为：

2X-X4X4+2X-X4X4V2+4X4=32+16A/2.

22

故选：B

【点睛】

本题主要考查了三视图，空间几何体的表面积计算，考查了学生的直观想象能力.

ah

10.已知a力均为实数，若——+——=1(i为虚数单位)，则a+6=()

1-z1+z

A.0B.1C.2D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】

将已知等式整理为(。+〃)+(a—〃)i=2,根据复数相等可求得结果.

【详解】

由题意得：(l+z)a+(l-z)Z?=2,即：(a+b)+[a-b^i=2

a+b=2

贝！J：〈a+b=2

a-b=O

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查复数相等的定义，涉及简单的复数运算，属于基础题.

11.一台机器在一天内发生故障的概率为0.1,若这台机器一周5个工作日不发生故障，可