2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用一课一练含解析新人教B版必修第一册

PAGEPAGE6等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用考点1均值不等式的理解1.(2024·山东兖州二中高二月考)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()。A.a2+b2>2ab B.a+b≥2abC.1a+1b>2ab D.ba答案：D解析：a2+b2≥2ab,所以A错误;ab>0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a<0,b<0时,B错误;同理,C错误;ab或ba都是正数,依据不等式求最值,ab+ba≥2a2.若a,b∈R,则下列不等式恒成立的是()。A.|a+b|2≥|ab|C.a2+b22≥a+b22答案：C解析：对于A,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,不等式不成立,故A中不等式不恒成立;对于B,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,-ab+ba≥2ab·ba=2,那么ab+ba≤-2,故B中不等式不恒成立;对于C,a2+b22≥a+b22,故C中不等式恒成立;对于D,(a+b)1a+1b=2+ab+ba,当a,b同号时ab+ba≥2,原不等式成立,当3.(2024·北京第九十四中高二期中)若正实数a,b满意1a+2b=2ab,则ab的最小值为(A.2 B.2 C.22 D.4答案：B解析：对于正实数a,b,由均值不等式可知1a+2b≥22ab,当且仅当1a=2b时取等号,则2ab≥24.(2024·北京东城区高二周练)已知x<0,函数y=4x+x的最大值是()A.22 B.4 C.-22 D.-4答案：D解析：y=x+4x=-(-x)+-4x,因为x<0,所以-x>0,-4x>0,所以(-x)+-4x≥4,所以y=-(-x)+-4x5.设0<a<b,则下列不等式中正确的是()。A.a<b<ab<a+b2 B.a<ab<C.a<ab<b<a+b2 D.ab<a<答案：B解析：因为0<a<b,则ab<a+b2,且a+b2<b+b2=b,又a=aa<ab,故a<6.(2024·日照第一中学高二月考)设a,b,c∈R,则“abc=1”是“1a+1b+1c≤a+b+c”的(A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要的条件答案：A解析：由于1a+1b+1c12(b可知当abc=1时,可推出1a+1b+1c≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,满意1a+1b+1c≤a+b+c,但abc=1不成立。故“abc=1”是“1a+1b+7.(2024·北京西城区高二期中)已知不等式:①x2+3>2x;②ab+ba≥2(ab>0);③2aa2+1<1(a≠1)答案：①②③解析：对于①,x2+3-2x=(x-1)2+2>0,正确;对于②,因为ab>0,ba>0,所以ab+ba≥2恒成立;对于③,∵a≠1,∴2a<a2+1,即2考点2利用均值不等式比较大小8.(2024·北京北外附校高二月考)已知x,y均为正数,且x≠y,则下列四个数中最大的一个是()。A.121xC.1xy D.答案：A解析：取x=1,y=2,可得121x+1y=34,1x+y=13,1xy=9.若0<a<b且a+b=1,则下列四个数中最大的一个是()。A.12 B.a2+b2 C.2ab D.答案：B解析：由题意知0<a<12,依据重要不等式知当0<a<b时,a2+b2>(a+b)22=12,而2ab<(a+b)22=12。由a+b=1及0<a<b可知12<b<1,即2b>1,所以210.(2024·沈阳四中高二月考)a,b是正数,则a+b2,ab,2aba+bA.a+b2≤ab≤2aba+bC.2aba+b≤ab≤a+b2答案：C解析：因为a,b是正数,所以a+b2≥ab,再比较a+b2或ab与2aba+b的大小即可,而2aba+b≤11.(2024·山东滨城区一中高二月考)若m,n,a,b,c,d均为正数,p=ab+cd,q=ma+nc·bm+dn,则p,A.p≥q B.p≤qC.p>q D.不确定答案：B解析：q=ab+madn+nbcm+cd≥ab+2abcd+cd12.设a,b,c均为正实数,则三个数a+1b,b+1c,c+1a(A.都大于2 B.都小于2C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2答案：D解析：∵a>0,b>0,c>0,∴a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c≥6,当且仅当考点3利用均值不等式求最值之无条件求最值13.(2024·丹东四中高二月考)若x>0,则x+2x的最小值是()A.2 B.4 C.2 D.22答案：D解析：由均值不等式可得x+2x≥2x·2x=22,当且仅当x=2x,即x=2时取等号14.函数y=2x(2-x)(其中0<x<2)的最大值是()。A.14 B.12 C.1答案：D解析：∵0<x<2,∴y=2x(2-x)≤2x+2-x22=2,当且仅当x=2-x,即x=115.(2024·阜新试验中学高二月考)已知a>3,求4a-3+a答案：1解析：∵a>3,∴a-3>0,∴4a-3+a-316≥24a-3·a-31616.若x∈(1,+∞),求y=3x+1x答案：解:∵x>1,∴y=3x+1x-1=3(x-1)+1x-1+3≥23(x-1)·1x-1+3=23+3当且仅当x考点4利用均值不等式求最值之有条件求最值17.(2024·辽宁辽阳一中高二月考)已知x>0,y>0,且2x+y=2,则xy的最大值是()。A.14 B.12 C.4答案：B解析：xy=12×2xy≤12×2x+y22=12×222=12,当且仅当18.若ab>0,3b+4a=1,则a+b的最小值是(A.43 B.7+43C.83 D.7+83答案：B解析：因为ab>0,3ab>0,4ba>0,3b+4a=1,所以a+b=(a+b)3b+4a=3ab19.(2024·北京试验中学高二期中)已知正实数a,b满意a+b=ab,则ab的最小值为()。A.1 B.2 C.2 D.4答案：D解析：∵ab=a+b≥2ab,(ab)2≥2ab,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4,故选D。【易错点拨】本题考查了均值不等式的应用,属于基础题。在利用均值不等式求最值时,要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧,使其满意均值不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误。20.(2024·日照第四中学高二期中)已知2x+3y=3。若x,y均为正数,则3x+2y的最小值是(A.53 B.83 C.8答案：C解析：∵2x+3y=3,x,y均为正数,则3x+2y=133x+2y·(2x+3y)=1312+9yx+4xy≥12+29yx·4xy3=8,当且仅当9y21.(2024·沂南第一中学高二月考)已知正实数x,y满意x+y=1,则1x-4yy答案：1解析：正实数x,y满意x+y=1,则1x-4yy+1=1x-4y+4-4y+1=1x+4y+1-4=121x+4y+1[x+(y+1)]-4=125+y+1x+4xy+1-4≥1222.(2024·北京育英中学高二段考)已知a,b∈(0,+∞),且a+b+1a+1b=5,求a+答案：解:∵a,b∈(0,+∞),∴a+b22≥ab,可得1ab≥4(a+b)2,当且仅当a=b时取等号。∵a+b+1a+1b=5,∴(a+b)1+1ab=5≥(a+b)1+4(a+b)2,当且仅当a=b=12或a=b=2时取等号,可化为(a+b)23.(2024·辽阳辽化中学高二期中)已知正数x,y,z满意x+y+z=1,求1x+4y+答案：解:∵正数x,y,z满意x+y+z=1,∴1x+4y+9z=(x+y+=1+4+9+yx+4xy+zx+9≥14+2yx·4xy当且仅当x=16,y=13,z=12考点5均值不等式的应用24.对于直角三角形的探讨,中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例,而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明白勾股定理。假如一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于。

答案：25解析：设直角三角形的斜边为c,直角边分别为a,b,由题意知c=5,则a2+b2=25,则三角形的面积S=12ab。∵25=a2+b2≥2ab,∴ab≤252,则三角形的面积S=12ab≤12×252=254,当且仅当a=b=52225.已知x>0,y>0,且x+y=1,若a≤1x+9y恒成立,求实数答案：解:∵x>0,y>0,且x+y=1,∴1x+9y=(x+y)1x+9y=10+yx+9xy≥10+2∵不等式a≤1x+9y恒成立⇔1x∴a∈(-∞,16],即实数a的最大值为16。26.(2024·北京朝阳区高二月考)已知a,b是正实数,且a+b=2,证明:(1)a+b≤2;答案：∵a,b是正实数