新高考数学二轮复习强化练习专题11 平面向量综合问题（讲）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题11平面向量综合问题（讲）真题体验感悟高考1．（2020·全国·统考高考真题）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】计算出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，利用平面向量数量积可计算出SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：D.2．【多选题】（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线SKIPIF1<0焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】由SKIPIF1<0及抛物线方程求得SKIPIF1<0，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线SKIPIF1<0的方程，联立抛物线求得SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0判断B选项；由抛物线的定义求出SKIPIF1<0即可判断C选项；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的垂直平分线上，则SKIPIF1<0点横坐标为SKIPIF1<0，代入抛物线可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，A正确；对于B，由斜率为SKIPIF1<0可得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立抛物线方程得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入抛物线得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，B错误；对于C，由抛物线定义知：SKIPIF1<0，C正确；对于D，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为钝角，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为钝角，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，D正确.故选：ACD.3.（2022·天津·统考高考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是AC中点，SKIPIF1<0，试用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0为___________，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为____________【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为基底，表示出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．法二：以点SKIPIF1<0为原点建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得点SKIPIF1<0的轨迹为以SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0为半径的圆，方程为SKIPIF1<0，即可根据几何性质可知，当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0最大，即求出．【详解】方法一：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．方法二：如图所示，建立坐标系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0为半径的圆，当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．总结规律预测考向（一）规律与预测1.平面向量是高考的热点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度．（二）本专题考向展示考点突破典例分析考向一平面向量的线性运算【核心知识】单位向量：长度等于1个单位的向量．平行四边形法则三角形法则向量的数乘运算及其几何意义（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.（2）运算律：设λ，μ是两个实数，则：①；②；③.【典例分析】典例1.（2022·全国·统考高考真题）在SKIPIF1<0中，点D在边AB上，SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：B．典例2.（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）如图，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为直径的半圆圆周上的两个三等分点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的一个四等分点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据平面向量的线性运算计算即可.【详解】如图，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为直径的半圆圆周上的两个三等分点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的一个四等分点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.典例3.（2022春·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AE与BD交于O点，若SKIPIF1<0，则mn的值为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】因SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0.结合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得答案.【详解】因SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.又因SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【规律方法】1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．3.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．考向二平面向量数量积【核心知识】一、平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．二、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.四、坐标运算1．若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则SKIPIF1<0.3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【典例分析】典例4.（2022·全国·统考高考真题）已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0∴9SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故选：C.典例5.（2022春·江苏苏州·高三统考阶段练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上靠近点SKIPIF1<0的三等分点，两条直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，再计算数量积即可得答案.【详解】解：由题知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，故选：A.典例6.（2021·全国·统考高考真题）已知SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】A、B写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，正确；B：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不一定相等，错误；C：由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正确；D：由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故一般来说SKIPIF1<0故错误；故选：AC【规律方法】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.特别提醒：两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．考向三向量共线定理的应用【核心知识】1.平面向量共线定理的三个应用2.结论：(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.(2)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔SKIPIF1<0(O为平面内任一点，t∈R)．【典例分析】典例7.（2022春·河南·高三信阳高中校联考期末）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线知，存在SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线知，存在SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.得SKIPIF1<0即可解决.【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.如图，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线知，存在SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线知，存在SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为不共线的非零向量，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.典例8.（2022春·北京西城·高三北京师大附中校考阶段练习）如图，已知向量SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，计算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据向量的运算法则得到答案.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0典例9.（2022·上海浦东新·统考一模）如图，在SKIPIF1<0中，点D、E是线段BC上两个动点，且SKIPIF1<0，，则SKIPIF1<0的最小值为______.【答案】8【分析】以向量SKIPIF1<0为基底，表示向量SKIPIF1<0,结合平面向量基本定理可得SKIPIF1<0，再利用基本不等式求SKIPIF1<0的最小值.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0则，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0三点重合，与已知矛盾，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号；所以SKIPIF1<0的最小值为8．故答案为：8．【规律方法】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．(3)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．考向四平面向量的最值、范围问题【核心知识】1.正弦函数、余弦函数的值域2.均值不等式【典例分析】典例10.（2022春·山东·高三校联考阶段练习）若点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上一点，且SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）．A．2 B．1C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据向量的运算确定G的位置，可得B、H、D三点共线，利用三点共线得SKIPIF1<0，再由不等式求最值即可.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点G是SKIPIF1<0的重心，设点D是AC的中点，则SKIPIF1<0，B、G、D共线，如图，又SKIPIF1<0．因为B、H、D三点共线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故选：C．典例11.（2022·北京·统考高考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P为SKIPIF1<0所在平面内的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上运动，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故选：D典例12.（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知矩形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为矩形SKIPIF1<0所在平面内的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意可知，P是以点A为圆心，1为半径的圆上一点，以A为原点建立坐标系，设SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据三角函数的值域，即可求出SKIPIF1<0的取值范围.【详解】解：由题意可知，P是以点A为圆心，1为半径的圆上一点，如图建立坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0为矩形SKIPIF1<0所在平面内的动点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.典例13.（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，SKIPIF1<0且交AB于点E．SKIPIF1<0且交AC于点F,则SKIPIF1<0的值为____________；SKIPIF1<0的最小值为____________．【答案】

1

SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可求出；将SKIPIF1<0化为关于SKIPIF1<0的关系式即可求出最值.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边长为1的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边长为SKIPIF1<0的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：1；SKIPIF1<0.典例14.（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围是_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设SKIPIF1<0，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到SKIPIF1<0，然后利用SKIPIF1<0即可解出．【详解】以圆心为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，如图所示：则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0．【总结提升】1.平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．2.数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．3.求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．考向五平面向量与三角交汇问题【核心知识】正弦定理、余弦定理三角恒等变换三角函数图象和性质【典例分析】典例15.（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据向量垂直得出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，以及正弦、余弦倍角公式即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以原式SKIPIF1<0.故选：D.典例16.（2020·江苏·统考高考真题）在△ABC中，SKIPIF1<0D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若SKIPIF1<0（m为常数），则CD的长度是________．【答案】SKIPIF1<0或0【分析】根据题设条件可设SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0三点共线，可求得SKIPIF1<0，再根据勾股定理求出SKIPIF1<0，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵SKIPIF1<0三点共线，∴可设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三点共线，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴根据余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合，此时SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合，此时SKIPIF1<0，不合题意，舍去.故答案为：0或SKIPIF1<0.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出SKIPIF1<0．典例17.（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若SKIPIF1<0．(1)求角A；(2)若点D是边SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）正弦定理角化边，再用余弦定理求角A；（2）利用向量数量积的运算，把等式转化为边，再利用基本不等式求解最小值.【详解】（1）由SKIPIF1<0及正弦定理知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由余弦定理有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，故所求SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<0．考向六平面向量与解析几何的交汇问题【核心知识】圆的方程圆锥曲线方程及其几何性质【典例分析】典例18.（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，椭圆C过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点，点P在线段SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据椭圆过点求出SKIPIF1<0，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解.【详解】因为椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由题意直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为点P在线段SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D典例19.（2022·四川南充·统考一模）已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为锐角，且SKIPIF1<0，任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】结合二次函数的性质，由SKIPIF1<0的最小值求得向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，判断出SKIPIF1<0点对应的轨迹，从而求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0