新高考数学二轮复习巩固练习19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究（解析版）

微专题19圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究【秒杀总结】1、直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的一元二次方程的形式；②利用SKIPIF1<0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.2、定比点差法3、非对称韦达与对称韦达4、先猜后证5、硬解坐标【典型例题】例1．（2023·江西赣州·一模）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)点SKIPIF1<0，点A，B在椭圆SKIPIF1<0上，点N在直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试问SKIPIF1<0是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】(1)解：由椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.(2)解：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得点SKIPIF1<0四点共线，如图所示，设过点SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.例2．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知椭圆SKIPIF1<0的焦距为2且过点SKIPIF1<0.(1)求椭圆C的方程；(2)过点SKIPIF1<0作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）设椭圆SKIPIF1<0的左右焦点为SKIPIF1<0，由焦距为2可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①由椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0②，由①②可得SKIPIF1<0，所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然直线l的斜率存在．直线l的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0消去y得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为点SKIPIF1<0，所以直线AD的方程为SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以直线AD的方程可化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线AD恒过点SKIPIF1<0．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E：SKIPIF1<0的离心率为2，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：SKIPIF1<0的一条切线AM，切点为M，且SKIPIF1<0．(1)求双曲线E的标准方程；(2)设直线SKIPIF1<0与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为SKIPIF1<0，直线AD，BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由．【解析】（1）双曲线的离心率为SKIPIF1<0，因为双曲线上点SKIPIF1<0切圆C：SKIPIF1<0于M，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故双曲线E的标准方程为SKIPIF1<0.（2）弦PQ过定点，理由如下：由（1）得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为圆C的直径，故弦PQ恒过圆心SKIPIF1<0例4．（2023·山西·统考一模）双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，证明直线SKIPIF1<0过定点.【解析】（1）由双曲线SKIPIF1<0可得渐近线为SKIPIF1<0，不妨取渐近线SKIPIF1<0即SKIPIF1<0由焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由题意得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，从而双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由题意可知：直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0与双曲线方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0与双曲线方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.例5．（2023·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，（ⅰ）设点SKIPIF1<0在第一象限，且直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（ⅱ）连接SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为定值，已知点SKIPIF1<0在定直线上，求SKIPIF1<0所在定直线方程.【解析】（1）SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.（2）（ⅰ）由（1）得：SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，由正弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（ⅱ）由题意知：圆SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；不妨令SKIPIF1<0位于第一象限，可设SKIPIF1<0，由（ⅰ）知：SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0斜率存在，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为定值，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在定直线SKIPIF1<0上；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不为定值，不合题意；若直线SKIPIF1<0斜率不存在，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足题意；综上所述：点SKIPIF1<0在定直线SKIPIF1<0上.例6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0（a＞b＞0），左顶点为A，上顶点为B，且SKIPIF1<0，过右焦点F作直线l，当直线l过点B时，斜率为SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)若l交C于P，Q两点，在l上存在一点M，且SKIPIF1<0，则在平面内是否存在两个定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆的半焦距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以C的方程为SKIPIF1<0．（2）由题得SKIPIF1<0，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my＋1，SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0消SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的判别式SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则点M是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，长轴长为2的椭圆上的点．当直线l的斜率为0时，l与C相交于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则点M为SKIPIF1<0，此时点M也是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，长轴长为2的椭圆上的点，所以存在两个定点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点M到这两个定点的距离之和为定值2．例7．（2023·河南郑州·高三校联考期末）已知椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，过右焦点且与SKIPIF1<0轴垂直的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程．(2)若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0轴，探究：直线SKIPIF1<0是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）设椭圆SKIPIF1<0的半焦距为SKIPIF1<0．依题意，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0①．联立SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0②．联立①②，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，方程为SKIPIF1<0．若直线SKIPIF1<0过定点，则该定点在SKIPIF1<0轴上．当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0整理，得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0．所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以此时直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0也过点SKIPIF1<0．综上，直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0．例8．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若双曲线SKIPIF1<0的右顶点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点SKIPIF1<0不是左右顶点），且SKIPIF1<0.求证：直线SKIPIF1<0过定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）因为渐近线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，焦点坐标SKIPIF1<0到渐近线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0联立得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0中有一点与SKIPIF1<0重合，不合题意，舍去，综上：直线SKIPIF1<0过定点，定点为SKIPIF1<0，【过关测试】1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知一动点C与定点SKIPIF1<0的距离与C到定直线l：SKIPIF1<0的距离之比为常数SKIPIF1<0.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F做一条不垂直于y轴的直线，与动点C的轨迹交于M，N两点，在直线l上有一点SKIPIF1<0，记直线PM，PF，PN的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）设动点SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，所以动点C的轨迹方程为C：SKIPIF1<0.（2）当直线斜率不存在时，M，N的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当直线斜率存在时，设直线方程为SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.联立直线和椭圆的方程SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0为定值，定值为22．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知圆SKIPIF1<0和定点SKIPIF1<0P是圆SKIPIF1<0上任意一点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0于点M，设动点M的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)设SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线l交曲线E于M，N两点(点M在x轴上方)，设直线AM与BN的斜率分别为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为定值．【解析】（1）依题意，圆SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0，半径为4，因为线段SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0于点M，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，且SKIPIF1<0，所以曲线E的方程为SKIPIF1<0.（2）若直线SKIPIF1<0的斜率等于零，则M，N两点与SKIPIF1<0重合，不满足题意，所以可设SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.3．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）设椭圆SKIPIF1<0的左､右顶点分别为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0恒过某定点，并求出该定点.【解析】（1）因为椭圆SKIPIF1<0右焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），所以SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）依题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），则直线SKIPIF1<0与x轴的交点为SKIPIF1<0，易得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则点P的横坐标为SKIPIF1<0，故点P的纵坐标为SKIPIF1<0，将点P的坐标代入直线SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.4．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，椭圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，已知圆SKIPIF1<0将椭圆SKIPIF1<0的长轴三等分，椭圆SKIPIF1<0右焦点到右顶点的距离为SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆SKIPIF1<0相交于点A，B．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0分别与椭圆SKIPIF1<0相交于另一个交点为点P，M．求证：直线SKIPIF1<0经过定点．【解析】（1）由题意可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）由题意知直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为0，设直线SKIPIF1<0的斜率为k，则直线SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的直径，点E在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0，故用SKIPIF1<0去替代k得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0．5．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知A，B分别为双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点，M为双曲线E上异于A、B的任意一点，直线MA、MB斜率乘积为SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0．(1)求双曲线E的方程；(2)P为直线SKIPIF1<0上的动点，若直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点．【解析】（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0又因为焦距为SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0结合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以双曲线的标准方程为:SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，因为其过点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，因为其过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0将SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0化简为SKIPIF1<0若SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，代入化简得SKIPIF1<0，显然不成立，舍去，当SKIPIF1<0时，代入化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，此时直线为SKIPIF1<0，经过定点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0点重合，显然不成立，舍去；当SKIPIF1<0时，此时直线为SKIPIF1<0，经过定点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0点重合，显然不成立，舍去；所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.6．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，SKIPIF1<0（e为椭圆的离心率），SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)求E的方程；(2)设四边形SKIPIF1<0是椭圆E的内接四边形，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角互补，且交于点SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于定点．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴椭圆E的方程为SKIPIF1<0．（2）∵直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角互补，且交于点SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于x轴对称，∴A与D，B与C分别关于x轴对称．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与椭圆E的方程SKIPIF1<0联立得SKIPIF1<0，由题意得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于定点SKIPIF1<0．7．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）设椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，右顶点为SKIPIF1<0．(1)求椭圆E的方程；(2)过点SKIPIF1<0作两条斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交椭圆于点A、B、C、D，点M、N分别为线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中点，若SKIPIF1<0，试判断直线SKIPIF1<0是否经过定点，并说明理由．【解析】（1）由题意知，SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，故椭圆E的方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在椭圆内部，则必有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，显然，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0．8．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0，P为椭圆上一点，SKIPIF1<0分别为椭圆的左、右焦点，若SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，(1)求椭圆E的方程；(2)若SKIPIF1<0，M，N为椭圆上不同的两点，且SKIPIF1<0，证明椭圆上存在定点Q使得四边形SKIPIF1<0为平行四边形．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，依题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，联立解得SKIPIF1<0，所以椭圆E方程为SKIPIF1<0（2）当直线SKIPIF1<0斜率存在时，设方程为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的两个根，方程可化为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，方程SKIPIF1<0与椭圆相交于SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0过原点，若四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则取对称点SKIPIF1<0时成立.9．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）平面内定点SKIPIF1<0，定直线SKIPIF1<0，P为平面内一动点，作SKIPIF1<0，垂足为Q，且SKIPIF1<0．(1)求动点P的轨迹方程；(2)过点F与坐标轴不垂直的直线交动点P的轨迹于A，B两点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线交x轴于点R，试判断SKIPIF1<0是否为定值．【解析】（1）设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0化简整理，得SKIPIF1<0，所以动点P的轨迹方程为SKIPIF1<0（2）法一：由条件可得直线SKIPIF1<0的斜率必存在且不为0，可设SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0消去y，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴线段SKIPIF1<0的垂直平分线的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为定值．法二：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又线段SKIPIF1<0的垂直平分线方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为定值．10．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0为定值；(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【解析】（1）由题意知SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0.将椭圆平移至SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0点平移至SKIPIF1<0分别平移至SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0代入椭圆SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，两边同除以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可看作关于SKIPIF1<0的一元二次方程，SKIPIF1<0的两不等实根，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率为定值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的定值SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<011．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)设点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0的两条直线分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的斜率与直线SKIPIF1<0的斜率之和，并求出该定值．【解析】（1）因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以轨迹SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）如图所示，设SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，.联立SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，同理：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故该定值为0．12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以SKIPIF1<0为直径的圆经过点D，且SKIPIF1<0于点G，证明：存在定点H，使SKIPIF1<0为定值．【解析】（1）由题意知，SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，∴双曲线C的标准方程为：SKIPIF1<0；（2）证明：由（1）知，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①当l的斜率存在时，设l的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵以EF为直径的圆经过点D，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0化简得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，且均满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，直线l恒过定点SKIPIF1<0，此时定点与D点重合，所以与已知相矛盾；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，直线l恒过定点SKIPIF1<0，记为点SKIPIF1<0；②当l的斜率不存在时，设l的方程为：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF