新高考数学二轮复习强化练习专题09 三角函数与三角恒等变换（练）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题09三角函数与三角恒等变换（练）【对点演练】一、单选题1．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中即可得答案.【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校高三阶段练习（文））若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．1 C．0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】把函数化为SKIPIF1<0的二次函数,根据SKIPIF1<0求出函数的最大值,由此求得SKIPIF1<0的值.【详解】函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0时,函数在区间SKIPIF1<0上取得最大值SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0故选:SKIPIF1<03．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）函数SKIPIF1<0的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得，SKIPIF1<0，可得出A、B项错误；根据SKIPIF1<0，可得出D项错误.【详解】由已知可得，SKIPIF1<0定义域为R，且SKIPIF1<0，所以A、B项错误；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶函数.又SKIPIF1<0，所以D项错误，C项正确.故选：C.4．（2023·全国·高三阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用诱导公式化简已知等式可求得SKIPIF1<0，结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求法可求得结果.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B.二、多选题5．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，将SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0个单位长度后得到函数SKIPIF1<0的图像，则（

）A．SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0图像的一个对称中心为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】由单调性得函数的半个周期不小于区间SKIPIF1<0的长度，从而确定SKIPIF1<0的可能取值，然后代入检验SKIPIF1<0的单调性从而确定SKIPIF1<0的值，得函数解析式，可判断D，然后求出周期判断A，利用诱导公式变形判断B，代入检验确定对称中心判断C．【详解】由题意SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在此区间上不递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在此区间上递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在此区间上不递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在此区间上不递减，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D错误；的最小正周期是SKIPIF1<0，A错；SKIPIF1<0，B正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的图像的一个对称中心，C正确；故选：BC．6．（2022·江苏省镇江第一中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则下列各选项正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称B．函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称C．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减D．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有4个极值点【答案】ABD【分析】利用整体代入法求对称轴和对称中心即可判断AB选项；利用代入检验法判断C选项；利用正弦函数的图象确定极值点的个数，即可判断D选项.【详解】A选项：令SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一条对称轴，故A正确；B选项：令SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0一个对称中心，故B正确；C选项：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时单调递增，故C错；D选项：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，根据正弦函数的图象可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有4个极值点，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有4个极值点，故D正确.故选：ABD.三、填空题7．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三阶段练习）若函数SKIPIF1<0，满足对任意实数SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的单调递减区间是______.【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】根据SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，从而求出SKIPIF1<0，求出解析式，得到递减区间.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.8．（2022·山东临沂·高三期中）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由诱导公式及万能公式进行求解.【详解】由诱导公式及二倍角公式得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，分子分母同除以SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由诱导公式可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题9．（2023·全国·高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的最小正周期和单调递减区间；(2)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的值域．【答案】(1)最小正周期为SKIPIF1<0，单调递减区间是SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先由三角函数的恒等变换化简得SKIPIF1<0，即可得周期，解SKIPIF1<0可得单调减区间；（2）先求出SKIPIF1<0的范围，结合正弦函数的图象即可求解【详解】（1）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最小正周期为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得单调递减区间是SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值为SKIPIF1<0，所以此时SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0．10．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示.(1)求函数SKIPIF1<0的解析式；(2)将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数SKIPIF1<0的图象，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有两个不同的实数解，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）结合图象和SKIPIF1<0，求得ω的值，再根据SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0的解析式；（2）根据函数图象的变换求出SKIPIF1<0的解析式，再结合正弦函数的图象运算求解.【详解】（1）由图可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）根据题意：将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位，得到SKIPIF1<0，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意可得：直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0有两个不同的交点，又∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.【冲刺提升】2023三角函数恒等变换一、单选题1．（2022·河南·安阳一中模拟预测（文））函数SKIPIF1<0图像大致为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和极限的思想，即可得出答案.【详解】解：易得函数定义域为SKIPIF1<0，已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0为奇函数，排除A选项；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，排除C选项；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，排除D选项；故选：B.2．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））设函数SKIPIF1<0的图象的一个对称中心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的一个最小正周期是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由正切函数的对称中心得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再对各选项逐一检验分析即可.【详解】根据题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最小正周期，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾，故A错误；对于B，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，满足条件，故B正确；对于C，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾，故C错误；对于D，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾，故D错误.故选：B.3．（2022·江苏省镇江第一中学高三阶段练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知角SKIPIF1<0的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据角SKIPIF1<0终边上点的坐标得到SKIPIF1<0，根据和差公式和SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，最后利用诱导公式和二倍角公式化简SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0即可求值.【详解】因为角SKIPIF1<0的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.4．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0的图象的一个对称中心为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的图象的一条对称轴为直线SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增D．函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度后得到的是一个奇函数的图象【答案】A【分析】代入法验证A、B的正误；应用整体法求SKIPIF1<0的递增区间判断C；根据图象平移及正弦函数的性质判断D.【详解】对A：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的图象的对称中心，A错误；对B：∵SKIPIF1<0为最小值，∴直线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的图象的对称轴，B正确；对C：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，C正确；对D：函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度后得到SKIPIF1<0，是奇函数，D正确；故选：A.5．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，给出以下四个命题：①SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0中心对称；④SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称.其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先利用二倍角公式、辅助角公式得到SKIPIF1<0，再利用周期公式、正弦函数的图象与性质进行判定.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0对于①：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0周期为SKIPIF1<0，即①正确；对于②：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，即②错误；对于③：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象不关于点SKIPIF1<0中心对称，即③错误；对于④：因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的最大值，所以SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，即④正确；所以正确命题为①④，共2个正确命题.故选：B.6．（2022·山东临沂·高三期中）已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】对SKIPIF1<0变形后，只需比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，从而构造SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求导，得到其单调性，从而得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；在利用对数运算得到SKIPIF1<0，先构造SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求导后得到单调性，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再构造SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求导后得到单调性，从而求出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0.【详解】要比较SKIPIF1<0的大小，只需比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，故可比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的大小，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综上：SKIPIF1<0.故选：D【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对SKIPIF1<0变形后，构造SKIPIF1<0，SKIPIF1<0比较SKIPIF1<0的大小，对SKIPIF1<0变形，先得到SKIPIF1<0，再构造SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，比较出SKIPIF1<0，得到答案.二、多选题7．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最大值为2B．直线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0图象的一条对称轴C．点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0图象的一个对称中心D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减【答案】ACD【分析】根据向量数量积求出SKIPIF1<0解析式，再根据三角函数正弦函数的性质进行判断即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为2，A正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以B错误，C正确；令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以D正确.故选：ACD三、填空题8．（2022·湖南·慈利县第一中学高三阶段练习）若曲线在SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点处的切线互相垂直，则SKIPIF1<0的最小值为________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】化简可得SKIPIF1<0，求出导数可得切线斜率在SKIPIF1<0范围内，即可得出切线斜率必须一个是1，一个是SKIPIF1<0，即可求出.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0曲线的切线斜率在SKIPIF1<0范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点处的切线斜率必须一个是1，一个是SKIPIF1<0.不妨设在A点处切线的斜率为1，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9.（2022·广西贵港·高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且仅有3个极值点，给出下列四个结论，正确的序号是_______________.①SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且仅有3个不同的零点；②SKIPIF1<0的最小正周期可能是SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增.【答案】②④【分析】由函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且仅有3个极值点,SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,可求出SKIPIF1<0判断出SKIPIF1<0,再利用三角函数的性质依次可判断SKIPIF1<0.【详解】由题意可知SKIPIF1<0，要使得函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且仅有3个极值点，只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故③错误；又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小正周期可能是SKIPIF1<0，故②正确；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且仅有2个不同的零点，故①错误；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，故④正确.故答案为:②④.四、解答题10．（2022·河北张家口·高三期中）已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值，并在上面提供的直角坐标系中画出函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象；(2)函数SKIPIF1<0的图象可由函数SKIPIF1<0的图象经过怎样的变换得到？【答案】(1)SKIPIF1<0,图象见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据函数SKIPIF1<0的解析式可得SKIPIF1<0，由最小正周期为SKIPIF1<0可计算SKIPIF1<0的值；根据解析式利用五点作图法可画出函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象；（2）根据三角函数图象平移变换规律即可得出结果.【详解】（1）由题意可知，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0此时，函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0.根据五点作图法列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIP