新高考数学二轮复习专题五 统计与概率第2讲 计数原理解析版

第2讲计数原理目录第一部分：知识强化第二部分：重难点题型突破突破一：两个计数原理的综合应用突破二：排列，组合综合应用突破三：二项式定理突破四：二项式系数突破五：项的系数突破六：杨辉三角形第三部分：冲刺重难点特训第一部分：知识强化1、分类加法计数原理（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有SKIPIF1<0种不同的方法,在第2类方案中有SKIPIF1<0种不同的方法,那么完成这件事共有SKIPIF1<0种不同的方法.（2）推广：如果完成一件事情有SKIPIF1<0类不同方案,在第1类方案中有SKIPIF1<0种不同的方法,在第2类方案中有SKIPIF1<0种不同的方法,……在第SKIPIF1<0类方案中有SKIPIF1<0种不同的方法,那么完成这件事共有SKIPIF1<0种不同的方法.2、分步乘法计数原理（1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有SKIPIF1<0种不同的方法,做第2步有SKIPIF1<0种不同的方法,那么完成这件事共有SKIPIF1<0种不同的方法.（2）推广：完成一件事需要SKIPIF1<0个步骤,做第1步有SKIPIF1<0种不同的方法,做第2步有SKIPIF1<0种不同的方法,……做第SKIPIF1<0步有SKIPIF1<0种不同的方法,则完成这件事共有SKIPIF1<0种不同的方法.3、排列数与排列数公式（1）定义：从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)个元素的所有不同排列的个数,叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的排列数,用符号SKIPIF1<0表示.（2）排列数公式①（连乘形式）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②（阶乘形式）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（3）全排列：把SKIPIF1<0个不同的元素全部取出的一个排列,叫做SKIPIF1<0个元素的一个全排列,用符号SKIPIF1<0表示.SKIPIF1<0（4）阶乘：正整数1到SKIPIF1<0的连乘积,叫做SKIPIF1<0的阶乘,用符号SKIPIF1<0表示.4、组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)个元素的所有不同组合的个数,叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的组合数,用符号SKIPIF1<0表示.（2）组合数公式SKIPIF1<0或：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.规定：SKIPIF1<05、组合数的性质（1）性质1：SKIPIF1<0（2）性质2：SKIPIF1<06、二项式定理及相关概念（1）二项式定理一般地，对于每个SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.这个公式叫做二项式定理.（2）二项展开式公式中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等号右边的多项式叫做SKIPIF1<0的二项展开式.（3）二项式系数与项的系数二项展开式中各项的二项式系数为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.（4）二项式定理的三种常见变形①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<07、二项展开式的通项二项展开式中的SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)叫做二项展开式的通项,用SKIPIF1<0表示,即通项为展开式的第SKIPIF1<0项:SKIPIF1<0.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.8、二项式系数的性质①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：SKIPIF1<0②增减性：当SKIPIF1<0时，二项式系数递增，当SKIPIF1<0时，二项式系数递减；③最大值：当SKIPIF1<0为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当SKIPIF1<0为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.④各二项式系数和：SKIPIF1<0；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：SKIPIF1<0第二部分：重难点题型突破突破一：两个计数原理的综合应用1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（

）A．288 B．336 C．368 D．412【答案】B【详解】当四位数不出现1时，排法有：SKIPIF1<0种；当四位数出现一个1时，排法有：SKIPIF1<0种；当四位数出现两个1时，排法有：SKIPIF1<0种；所以不同的四位数的个数共有：SKIPIF1<0．故选：B．2．（2022·全国·高三专题练习）有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片.第一个盒子中有三张分别标号为SKIPIF1<0的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为SKIPIF1<0的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为SKIPIF1<0的卡片.现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第SKIPIF1<0个盒子中取出的卡片的号码为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为奇数的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】从三个盒子中各随机抽取一张卡片可分为三步完成，第一步从第一个盒子中取一张卡片，有3种方法，第二步从第二个盒子中取一张卡片，有5种方法，第三步从第三个盒子中取一张卡片，有7种方法，由分步乘法计数原理可得共有SKIPIF1<0种方法，事件SKIPIF1<0为奇数等价于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都为奇数或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中有一个为奇数，两个为偶数，其中事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都为奇数包含SKIPIF1<0个基本事件，即24个基本事件，事件SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶数包含SKIPIF1<0个基本事件，即12个基本事件，事件SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶数包含SKIPIF1<0个基本事件，即9个基本事件，事件SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶数包含SKIPIF1<0个基本事件，即8个基本事件，所以事件SKIPIF1<0包含的基本事件数为SKIPIF1<0，即53个基本事件，所以SKIPIF1<0，故选：B.3．（2022·辽宁·同泽高中高二阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有______个【答案】20【详解】由题意可得，用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8，数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两类：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，这样组成的无重复数字的三位数个数为：SKIPIF1<0．故答案为：204．（2022·上海·华东师范大学第三附属中学高一期末）定义：如果三位数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则称这样的三位数为“SKIPIF1<0”型三位数，试求由0，1，2，3，4这5个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“SKIPIF1<0”型三位数的概率是___________.【答案】SKIPIF1<0##0.15【详解】由0，1，2，3，4这5个数字组成三位数，百位不能为零，则有4种情况，十位与个位各自有5种情况，则所组成的所有三位数个数为SKIPIF1<0，其中“SKIPIF1<0”型三位数的有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共15个，则概率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022·全国·高二课时练习）三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种．【答案】6【详解】由题设，若三人为甲、乙、丙，传递过程如下：其中①③一定不会为甲，中间三人的可能情况为：{乙，丙，乙}、{丙，乙，丙}、{乙，甲，乙}、{乙，甲，丙}、{丙，甲，丙}、{丙，甲，乙}，共6种情况.故答案为：66．（2022·全国·高二课时练习）由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数.【答案】52【详解】根据题意，对该没有重复数字的三位偶数进行分类讨论，第一类：0在个位数时，先填百位，有5种方法，再填十位，有4种方法，故能组成SKIPIF1<0个没有重复数字的三位偶数；第二类，0不在个位数时，先填个位，只有2、4两种方法，再填百位，0不能在此位，故有4种方法，最后填十位，有4种方法，故能组成SKIPIF1<0个没有重复数字的三位偶数；综上，一共可以组成SKIPIF1<0个没有重复数字的三位偶数.故答案为：52.7．（2022·辽宁·同泽高中高二阶段练习）4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为______【答案】336【详解】依题意，不考虑数字的重复问题，4张卡片排成一排，可以组成SKIPIF1<0种情况，其中若两张卡片都是1，有SKIPIF1<0种情况，所以将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为SKIPIF1<0.故答案为：336.8．（2022·辽宁·同泽高中高二阶段练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有5种颜色可供选择，则共有_______种不同的染色方案．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可知，若满足相邻区域不同色，最少需要三种颜色，最多需要五种颜色.当有3种颜色时，则SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0同色，此时的涂色种类为SKIPIF1<0种.当有4种颜色时，则有三种情况：①SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0同色，此时涂色种类为SKIPIF1<0种；②SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0同色，此时涂色种类为SKIPIF1<0种；③SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0不同色，此时涂色种类为SKIPIF1<0种；即当有4种颜色时，总的涂色种类为SKIPIF1<0种.当有5种颜色时，则有三种情况：①SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0同色，此时涂色种类为SKIPIF1<0种；②SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0不同色，此时涂色种类为SKIPIF1<0种；③SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0不同色，此时涂色种类为SKIPIF1<0种；即当有5种颜色时，总的涂色种类为SKIPIF1<0种.综上，总的共有SKIPIF1<0种不同的方案.故答案为：SKIPIF1<09．（2022·辽宁·沈阳二中高二期中）如图所示的五个区城中，现要求在五个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区城所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为________（用数字作答）．【答案】SKIPIF1<0【详解】设这四个颜色分别为SKIPIF1<0，先给区域SKIPIF1<0涂色，有SKIPIF1<0种涂法；假设区域SKIPIF1<0涂的是颜色1，再给区域SKIPIF1<0涂色，可以是颜色SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0种涂法;假设区域SKIPIF1<0涂的是颜色SKIPIF1<0，再给区域SKIPIF1<0涂色，可以是颜色SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0种涂法;假设区域SKIPIF1<0涂的是颜色SKIPIF1<0，如果区域SKIPIF1<0涂的是颜色SKIPIF1<0，则区域SKIPIF1<0可以涂颜色SKIPIF1<0或颜色SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0种涂法;如果区域SKIPIF1<0涂的是颜色4,那么区域SKIPIF1<0可以涂颜色SKIPIF1<0，有1种涂法.所以不同的涂色方法种数为SKIPIF1<0(种)故答案为：SKIPIF1<0.10．（2022·浙江·高二阶段练习）某学校举行秋季运动会，酷爱运动的小明同学准备在某七个比赛项目中，选择参加其中四个项目的比赛.根据赛程安排，在这七个比赛项目中，100米赛跑与200米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加.则不同的报名方法数为___________.（用数字作答）【答案】SKIPIF1<0【详解】符合要求的报名方法可以分为两类，第一类100米，200米，跳高，跳远四项比赛中只参加一项，第二类100米，200米中参加一项且跳高，跳远两项比赛中参加一项，其中第一类中含4种不同的报名方法，第二类中的报名方法可分三步完成，第一步从100米，200米中选择一项，第二步从跳高，跳远两项比赛选择一项，第三步从余下的三项比赛中选择两项参赛，故第二类方法共有SKIPIF1<0种，由分类加法原理可得共有16种方法.故答案为：16.突破二：排列，组合综合应用1．（2022·四川自贡·一模（理））在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（

）种A．36 B．48 C．60 D．72【答案】A【详解】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列，因此方法数为SKIPIF1<0．故选：A．2．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））“四书”“五经”是我国SKIPIF1<0部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排SKIPIF1<0次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，共有SKIPIF1<0种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有SKIPIF1<0种排法，排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有SKIPIF1<0种排法，故总共有SKIPIF1<0种排法，故选：C.3．（2022·全国·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：根据题意，当甲同学为第5名时，乙同学可能是第2，3，4名，故有SKIPIF1<0种，当甲同学不是第5名时，甲、乙同学可能是第2，3，4名，故有SKIPIF1<0种，故满足回答者的所有情况共SKIPIF1<0种.其中，最终丙和丁获得前两名的情况有两类，当甲同学为第5名，丙和丁获得前两名时有SKIPIF1<0种；当甲同学不是第5名，丙和丁获得前两名时，有SKIPIF1<0种，所以，最终丙和丁获得前两名的情况有SKIPIF1<0种，所以，最终丙和丁获得前两名的概率为SKIPIF1<0故选：A4．（2022·全国·模拟预测）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组SKIPIF1<0的个数是（

）A．28 B．24 C．20 D．16【答案】A【详解】显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．最大数为5的情况：①SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况；最大数为4的情况：②SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况；③SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况．当最大数为3时，SKIPIF1<0，故没有满足题意的情况．综上，满足条件的有序数组SKIPIF1<0的个数是SKIPIF1<0．故选：A5．（2022·全国·模拟预测）已知斐波那契数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0中的任意两项，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，称数组SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的“平缓数组”（SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为相同的“平缓数组”），SKIPIF1<0为数组SKIPIF1<0的组差.现从SKIPIF1<0的所有“平缓数组”中随机抽取3个，则这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为（

）A．24 B．26 C．29 D．35【答案】B【详解】由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的所有“平缓数组”有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共7个，其中组差为0的有1个为SKIPIF1<0，组差为1的有3个为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，组差为2的有3个为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为SKIPIF1<0，故选：B6．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））袋中有6个大小相同的黑球，编号为SKIPIF1<0，还有4个同样大小的白球，编号为SKIPIF1<0，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（

）①取出的最大号码SKIPIF1<0服从超几何分布；②取出的黑球个数SKIPIF1<0服从超几何分布；③取出2个白球的概率为SKIPIF1<0；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为SKIPIF1<0A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【答案】B【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码SKIPIF1<0不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；对于②，取出的黑球个数SKIPIF1<0符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；对于③，取出2个白球的概率为SKIPIF1<0，故③错误；对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，SKIPIF1<0总得分最大的概率为SKIPIF1<0，故④正确．故选：B7．（2022·河北·模拟预测（理））为普及空间站相关知识，某航天部门组织了空间站建造过程SKIPIF1<0模拟编程竞赛活动．该活动由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等8个程序题目组成，则该活动的题目顺序安排中，全尺寸太阳能排在前两位，且太空发射与自定义漫游相邻，但两者均不与空间运输相邻的概率为__．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：8个程序题目全排列共有SKIPIF1<0种方法；全尺寸太阳能排在前两位，可分类讨论：①全尺寸太阳能排在首位：太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有SKIPIF1<0种方法，两者均不与空间运输相邻，可先将其余4个全排列，有SKIPIF1<0种方法，再插空有SKIPIF1<0种排法，故此时共有SKIPIF1<0种方法；②全尺寸太阳能排在第二位，再分两种情况SKIPIF1<0首位排空间运输，太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有SKIPIF1<0种方法，和余下4个元素一起全排列，有SKIPIF1<0种方法，共SKIPIF1<0种方法；SKIPIF1<0首位不排空间运输，余下四个一般元素挑一个排在首位，有SKIPIF1<0种方法，太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有SKIPIF1<0种方法，余下3个一般元素全排列，有SKIPIF1<0种方法，最后在4个空位中对空间运输和捆绑元素插空有SKIPIF1<0种，共SKIPIF1<0；由①②所有符合条件的排法有SKIPIF1<0；故所求概率为：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．8．（2022·河南·模拟预测（理））将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.【答案】691200【详解】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选取3本和四大名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有SKIPIF1<0种方法，还剩5本书横放，有SKIPIF1<0种方法，故不同的摆放方法种数为SKIPIF1<0.故答案为：6912009．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种．【答案】210【详解】先从6个班级中选择2个班级去黄山，则有SKIPIF1<0种情况，接下来4个班级可分为两种情况：第一种情况，2个班级去九华山，2个班级选择取天柱山，则有SKIPIF1<0种情况，第二种情况，3个班级去九华山或天柱山，剩余的1个班去另一个山，则有SKIPIF1<0种情况，综上：恰好有2个班级选择黄山的方案有SKIPIF1<0．故答案为：21010．（2022·重庆·模拟预测）SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月以来，重庆出现新一轮由奥密克戎变异毒株引发的新冠疫情，有SKIPIF1<0个区域被判定为中风险地，均在高新区．为了尽快控制疫情，重庆市政府决定派SKIPIF1<0名专员对这三个中风险地区的疫情防控工作进行指导．若每个中风险地区至少派一名专员且SKIPIF1<0人要派完，专员甲、乙需到同一中风险地区指导，则不同的专员分配方案总数为_____________．【答案】SKIPIF1<0【详解】将SKIPIF1<0人分成三组，每组至少一人，则各组人数分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.①若三组人数分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则甲、乙所在组的人数为SKIPIF1<0，此时还需从另外SKIPIF1<0人中选SKIPIF1<0人到这组，此时不同的分配方案种数为SKIPIF1<0；②若三组人数分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则其中一组有SKIPIF1<0人的为甲、乙所在的一组，此时不同的分配方案种数为SKIPIF1<0.综上所述，不同的分配方案种数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.突破三：二项式定理1．（2022·四川自贡·一模（理））在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（

）种A．36 B．48 C．60 D．72【答案】A【详解】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列，因此方法数为SKIPIF1<0．故选：A．2．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））“四书”“五经”是我国SKIPIF1<0部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排SKIPIF1<0次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，共有SKIPIF1<0种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有SKIPIF1<0种排法，排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有SKIPIF1<0种排法，故总共有SKIPIF1<0种排法，故选：C.3．（2022·全国·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：根据题意，当甲同学为第5名时，乙同学可能是第2，3，4名，故有SKIPIF1<0种，当甲同学不是第5名时，甲、乙同学可能是第2，3，4名，故有SKIPIF1<0种，故满足回答者的所有情况共SKIPIF1<0种.其中，最终丙和丁获得前两名的情况有两类，当甲同学为第5名，丙和丁获得前两名时有SKIPIF1<0种；当甲同学不是第5名，丙和丁获得前两名时，有SKIPIF1<0种，所以，最终丙和丁获得前两名的情况有SKIPIF1<0种，所以，最终丙和丁获得前两名的概率为SKIPIF1<0故选：A4．（2022·全国·模拟预测）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组SKIPIF1<0的个数是（

）A．28 B．24 C．20 D．16【答案】A【详解】显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．最大数为5的情况：①SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况；最大数为4的情况：②SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况；③SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况．当最大数为3时，SKIPIF1<0，故没有满足题意的情况．综上，满足条件的有序数组SKIPIF1<0的个数是SKIPIF1<0．故选：A5．（2022·全国·模拟预测）已知斐波那契数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0中的任意两项，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，称数组SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的“平缓数组”（SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为相同的“平缓数组”），SKIPIF1<0为数组SKIPIF1<0的组差.现从SKIPIF1<0的所有“平缓数组”中随机抽取3个，则这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为（

）A．24 B．26 C．29 D．35【答案】B【详解】由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的所有“平缓数组”有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共7个，其中组差为0的有1个为SKIPIF1<0，组差为1的有3个为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，组差为2的有3个为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为SKIPIF1<0，故选：B6．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））袋中有6个大小相同的黑球，编号为SKIPIF1<0，还有4个同样大小的白球，编号为SKIPIF1<0，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（

）①取出的最大号码SKIPIF1<0服从超几何分布；②取出的黑球个数SKIPIF1<0服从超几何分布；③取出2个白球的概率为SKIPIF1<0；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为SKIPIF1<0A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【答案】B【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码SKIPIF1<0不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；对于②，取出的黑球个数SKIPIF1<0符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；对于③，取出2个白球的概率为SKIPIF1<0，故③错误；对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，SKIPIF1<0总得分最大的概率为SKIPIF1<0，故④正确．故选：B7．（2022·河北·模拟预测（理））为普及空间站相关知识，某航天部门组织了空间站建造过程SKIPIF1<0模拟编程竞赛活动．该活动由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等8个程序题目组成，则该活动的题目顺序安排中，全尺寸太阳能排在前两位，且太空发射与自定义漫游相邻，但两者均不与空间运输相邻的概率为__．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：8个程序题目全排列共有SKIPIF1<0种方法；全尺寸太阳能排在前两位，可分类讨论：①全尺寸太阳能排在首位：太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有SKIPIF1<0种方法，两者均不与空间运输相邻，可先将其余4个全排列，有SKIPIF1<0种方法，再插空有SKIPIF1<0种排法，故此时共有SKIPIF1<0种方法；②全尺寸太阳能排在第二位，再分两种情况SKIPIF1<0首位排空间运输，太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有SKIPIF1<0种方法，和余下4个元素一起全排列，有SKIPIF1<0种方法，共SKIPIF1<0种方法；SKIPIF1<0首位不排空间运输，余下四个一般元素挑一个排在首位，有SKIPIF1<0种方法，太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有SKIPIF1<0种方法，余下3个一般元素全排列，有SKIPIF1<0种方法，最后在4个空位中对空间运输和捆绑元素插空有SKIPIF1<0种，共SKIPIF1<0；由①②所有符合条件的排法有SKIPIF1<0；故所求概率为：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．8．（2022·河南·模拟预测（理））将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.【答案】691200【详解】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选取3本和四大名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有SKIPIF1<0种方法，还剩5本书横放，有SKIPIF1<0种方法，故不同的摆放方法种数为SKIPIF1<0.故答案为：6912009．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种．【答案】210【详解】先从6个班级中选择2个班级去黄山，则有SKIPIF1<0种情况，接下来4个班级可分为两种情况：第一种情况，2个班级去九华山，2个班级选择取天柱山，则有SKIPIF1<0种情况，第二种情况，3个班级去九华山或天柱山，剩余的1个班去另一个山，则有SKIPIF1<0种情况，综上：恰好有2个班级选择黄山的方案有SKIPIF1<0．故答案为：21010．（2022·重庆·模拟预测）SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月以来，重庆出现新一轮由奥密克戎变异毒株引发的新冠疫情，有SKIPIF1<0个区域被判定为中风险地，均在高新区．为了尽快控制疫情，重庆市政府决定派SKIPIF1<0名专员对这三个中风险地区的疫情防控工作进行指导．若每个中风险地区至少派一名专员且SKIPIF1<0人要派完，专员甲、乙需到同一中风险地区指导，则不同的专员分配方案总数为_____________．【答案】SKIPIF1<0【详解】将SKIPIF1<0人分成三组，每组至少一人，则各组人数分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.①若三组人数分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则甲、乙所在组的人数为SKIPIF1<0，此时还需从另外SKIPIF1<0人中选SKIPIF1<0人到这组，此时不同的分配方案种数为SKIPIF1<0；②若三组人数分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则其中一组有SKIPIF1<0人的为甲、乙所在的一组，此时不同的分配方案种数为SKIPIF1<0.综上所述，不同的分配方案种数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.突破四：二项式系数1．（2022·浙江省杭州学军中学高三期中）已知SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为40，则SKIPIF1<0的值为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【详解】由题意可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0的展开式中，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0无解，即SKIPIF1<0的展开式没有SKIPIF1<0项；在SKIPIF1<0的展开式中，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的项的系数为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的系数为40，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（

）A．SKIPIF1<0 B．160 C．SKIPIF1<0 D．1120【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0展开式中的第SKIPIF1<0项和第SKIPIF1<0项的二项式系数相等，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展开式通项公式为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0该展开式中的常数项为SKIPIF1<0,故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0项的系数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．80 D．200【答案】B【详解】SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以展开式中SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0.故选：B.4．（2022·广东·高三阶段练习）已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（

）A．SKIPIF1<090 B．SKIPIF1<010 C．10 D．90【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则其展开式的通项公式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以该展开式中的常数项为SKIPIF1<0，故选：A5．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知SKIPIF1<0的展开式只有第5项的二项式系数最大，设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．63 B．64 C．247 D．255【答案】C【详解】因为展开式只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：C．6．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））已知SKIPIF1<0的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．【答案】2【详解】SKIPIF1<0的展开式有SKIPIF1<0项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,符合题意所以展开式中有理项的个数为2故答案为：27．（2022·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为__________．【答案】1120【详解】由SKIPIF1<0的展开式中只有第5项二项式系数最大得SKIPIF1<0，所以展开式通项为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时常数项为SKIPIF1<0．故答案为：11208．（2022·浙江绍兴·模拟预测）二项式SKIPIF1<0的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则SKIPIF1<0________，展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为________．【答案】

6

SKIPIF1<0【详解】第4项的二项式系数为SKIPIF1<0且最大，根据组合数的性质得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为SKIPIF1<0.故答案为：6；SKIPIF1<0.9．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的展开式中前三项的系数成等差数列．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中所有的有理项．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0展开式的通项公式为SKIPIF1<0，因为前三项的系数SKIPIF1<0成等差数列，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，所以通项公式为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，二项式系数最大，即二项式系数最大项为SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，所以可以得到SKIPIF1<0或3或6，所以有理项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<010．（2022·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0.求：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？(6)SKIPIF1<0.【答案】(1)1(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(5)第1012项.(6)4044（1）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①.（2）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0②.由①-②得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（3）相当于求展开式SKIPIF1<0的系数和，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.（4）展开式中二项式系数和是SKIPIF1<0.展开式中偶数项的二项系数和是SKIPIF1<0.（5）展开式有2023项，中间项是第1012项，所以展开式二项式系数最大的项是第1012项.（6）SKIPIF1<0两边分别求导得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.突破五：项的系数1．（2022·全国·模拟预测）SKIPIF1<0的展开式中x项的系数为（

）A．568 B．－160 C．400 D．120【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则x项的系数为SKIPIF1<0，故选：D．2．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是（

）A．84 B．120 C．122 D．210【答案】D【详解】∵SKIPIF1<0的通项为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的通项为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为：SKIPIF1<0（也可以根据性质：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKI