新高考数学二轮复习巩固练习15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题（原卷版）

微专题15立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题【秒杀总结】1、立体图形中的截面问题：（1）利用平面公理作出截面；（2）利用几何知识求面积或体积.2、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得SKIPIF1<0关于平面的对称点SKIPIF1<0，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.3、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的"静"是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性."静"只是"动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住"静"的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.【典型例题】例1．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体SKIPIF1<0的上底面SKIPIF1<0绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过直线SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0，则十面体SKIPIF1<0外接球被平面SKIPIF1<0所截的截面圆面积的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知SKIPIF1<0为圆锥SKIPIF1<0底面圆SKIPIF1<0的直径（SKIPIF1<0为顶点，SKIPIF1<0为圆心），点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的动点，SKIPIF1<0，则下列结论正确的为（

）A．圆锥SKIPIF1<0的侧面积为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0D．过该圆锥顶点SKIPIF1<0的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为SKIPIF1<0例3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，侧棱SKIPIF1<0与底面所成角为SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点（包括端点），则下列说法正确的是（

）A．该四棱台的体积为SKIPIF1<0 B．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．平面SKIPIF1<0截该棱台所得截面为六边形 D．异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0例4．（2023秋·山东德州·高三统考期末）正方体SKIPIF1<0的棱长是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．以SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为半径的球面与侧面SKIPIF1<0的交线长是SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0截正方体所得的截面周长是SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正切值是SKIPIF1<0例5．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知正方体SKIPIF1<0的棱长均为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,则下列选项正确的是（

）A．当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0,则点SKIPIF1<0的轨迹长度为SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时,正方体被平面SKIPIF1<0截的图形最大面积为SKIPIF1<0例6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0近C三等分点，P在面SKIPIF1<0上运动，则（

）A．SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则C点到平面PBH的距离与P点位置有关C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则P点轨迹长度为SKIPIF1<0例7．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）在三棱锥P-ABC中，SKIPIF1<0，点M，N分别是PB，BC的中点，且SKIPIF1<0，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是___________．例8．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）如图，在棱长为a的正方体SKIPIF1<0中，P，Q分别为SKIPIF1<0的中点，点T在正方体的表面上运动，满足SKIPIF1<0．给出下列四个结论：①点T可以是棱SKIPIF1<0的中点；②线段SKIPIF1<0长度的最小值为SKIPIF1<0；③点T的轨迹是矩形；④点T的轨迹围成的多边形的面积为SKIPIF1<0．其中所有正确结论的序号是__________．例9．（2023春·云南·高三校联考开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M，N的距离之比为定值SKIPIF1<0的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点P满足SKIPIF1<0．则点P的轨迹方程为____________；在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，该三棱锥体积的最大值为______________．【过关测试】一、单选题1．（2023·北京顺义·统考一模）在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，动点P在棱SKIPIF1<0上，动点Q在线段SKIPIF1<0上、若SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积（

）A．与SKIPIF1<0无关，与SKIPIF1<0有关 B．与SKIPIF1<0有关，与SKIPIF1<0无关C．与SKIPIF1<0都有关 D．与SKIPIF1<0都无关2．（2023·辽宁·校联考模拟预测）在三棱锥A－BCD中，SKIPIF1<0，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），SKIPIF1<0．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（

）A．π B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2π3．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0和线段SKIPIF1<0上任意一点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．24．（2023秋·河北保定·高二统考期末）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面ABC，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则该“鞠”的体积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023秋·北京密云·高二统考期末）在直三棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为等腰直角三角形，且满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法不正确的是（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<06．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，M为SKIPIF1<0中点，N为四边形SKIPIF1<0内一点（含边界），若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0C．线段SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<07．（2023·北京·高三统考阶段练习）已知正三棱锥SKIPIF1<0的侧棱长为SKIPIF1<0，底面边长为SKIPIF1<0，则以SKIPIF1<0为球心，2为半径的球面与正三棱锥表面的交线长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点．动点SKIPIF1<0沿着棱SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0向点SKIPIF1<0移动，对于下列四个结论：①存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；②存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的面积越来越小；④四面体SKIPIF1<0的体积不变．其中，所有正确的结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）如图所示，在正方体SKIPIF1<0中，O，F分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点P为棱SKIPIF1<0上的动点（不含端点），设二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，直线OF与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上均有可能10．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）祖暅原理也称祖氏原理，是一个涉及求几何体体积的著名数学命题.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术，祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理，已知将双曲线SKIPIF1<0与它的渐近线以及直线SKIPIF1<0围成的图形绕x轴旋转一周得到一个旋转体I，将双曲线C与直线SKIPIF1<0围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体II，则关于这两个旋转体叙述正确的是（

）①由垂直于y轴的平面截旋转体II，得到的截面为圆面②旋转体II的体积为SKIPIF1<0③将旋转体I放入球中，则球的表面积的最小值为SKIPIF1<0④旋转体I的体积为SKIPIF1<0A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③11．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内一点，且SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足是SKIPIF1<0，正四面体SKIPIF1<0的棱长为4，点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上运动，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．（2023·上海·高二专题练习）如图，棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为体对角线SKIPIF1<0和棱SKIPIF1<0上任意一点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．214．（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是正方体SKIPIF1<0外接球的直径，点SKIPIF1<0是正方体SKIPIF1<0表面上的一点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2023·全国·高三专题练习）在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．（2023·浙江温州·统考模拟预测）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题17．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法中正确的有（

）A．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0 D．存在SKIPIF1<0，使得对于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<018．（2023秋·浙江·高二期末）在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0的位置，则（

）A．翻折过程中，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值最大为SKIPIF1<0B．翻折过程中，存在某个位置的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．翻折过程中，四棱锥SKIPIF1<0必存在外接球D．当四棱椎SKIPIF1<0的体积最大时，以SKIPIF1<0为直径的球面被平面SKIPIF1<0截得交线长为SKIPIF1<019．（2023秋·湖北武汉·高二校联考期末）已知SKIPIF1<0为圆锥的顶点，SKIPIF1<0为圆锥底面圆的圆心，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为底面圆的直径，SKIPIF1<0是底面圆的内接正三角形，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0C．在圆锥侧面上，点A到SKIPIF1<0中点的最短距离为3D．圆锥内切球的表面积为SKIPIF1<020．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）已知正方体SKIPIF1<0的边长为2，E为正方体内（包括边界）上的一点，且满足SKIPIF1<0，则下列说正确的有（

）A．若E为面SKIPIF1<0内一点，则E点的轨迹长度为SKIPIF1<0B．过AB作面SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则E的轨迹为椭圆的一部分C．若F，G分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0面FGBA，则E的轨迹为双曲线的一部分D．若F，G分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，DE与面FGBA所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<021．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将△ADE沿DE折起到△SKIPIF1<0的位置，如图2．则正确的有（

）A．当折起使得面SKIPIF1<0面BCED时，SKIPIF1<0B．几何体SKIPIF1<0的最大体积是4C．DE与面SKIPIF1<0始终平行D．SKIPIF1<0与平面BCED所成角的范围是SKIPIF1<022．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．有且仅有一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的周长与SKIPIF1<0的大小有关C．三棱锥SKIPIF1<0的体积与SKIPIF1<0的大小有关D．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为SKIPIF1<0三、填空题23．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）2022年12月3日，南昌市出士了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图（1）所示.现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为SKIPIF1<0，该纸片上的正六边形SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0为圆O上的点，如图（2）所示．SKIPIF1<0分别是以SKIPIF1<0为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以SKIPIF1<0为折痕折起SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0重合，得到六棱锥，则当六棱锥体积最大时，底面六边形的边长为___________SKIPIF1<0．24．（2023秋·广东·高三校联考期末）如图正方体SKIPIF1<0的棱长是3，E是SKIPIF1<0上的动点，P、F是上、下两底面上的动点，Q是EF中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是______．25．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知四棱锥SKIPIF1<0的底面为边长为2的正方形，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，则平面SKIPIF1<0上任意一点到底面SKIPIF1<0中心距离的最小值为__________.26．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，给出下列四个结论：①对于任意点H，都存在点P，使得平面S