2024年山东省临沂市数学高二上学期自测试题及答案解析

2024年山东省临沂市数学高二上学期自测试题及答案解析一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若函数fx=log2x2A.(−∞C.(−4答案：A解析：首先，由于对数函数fx=log2t在其定义域0,+∞上是单调递增的，所以函数fx对于二次函数t=x2−ax+另外，由于t=x2−ax+3a综上，实数a的取值范围是(−故选A。2、已知函数f(x)={(3a-1)x+4a,x<1logₐ(x^2-2ax+3),x≥1

}是(-∞,+∞)上的减函数，则实数a的取值范围是()A.(0,1/7]B.(0,1/7)C.[1/7,1)D.(1/7,1)

首先，考虑函数的第一部分：fx=3要使这部分函数在x<斜率3a−1其次，考虑函数的第二部分：fx=log令gx=x2−由于fx在x≥1上单调递减，且logax是单调递减的（因为a在0,1因此，对称轴x=a必须小于或等于1，即同时，由于gx在x≥1上单调递增且g1=接下来，考虑gx和log由于logax是单调递减的，所以gx必须也是单调递减的（但这与前面的分析矛盾，因为我们已经得出gx在x≥然而，这里的重点是确保logagx在x≥1上单调递减。由于gx在x≥1上单调递增且最后，综合以上所有条件：a<13（从第一部分函数得出）

a≤1（从第二部分函数的定义域和单调性得出）

但由于a必须是正数且小于1（因为是对数函数的底数），并且需要满足g1=注意到在x=3a−1×3a+4a−1≥07a≥1a≥实际上，当a=13、已知双曲线C:(x2/a2)-(y2/b2)=1(a>0,b>0)的右焦点为F，P为双曲线右支上一点，以OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M，若△OMF的面积为△PMF面积的3倍，则双曲线的离心率为()A.√2B.√3C.2D.√5

设双曲线的左焦点为F′，连接MF′由于O是FF′的中点，M是PF的中点，根据中位线的性质，我们有M又因为MF′和OP由于∠OMP和∠F′MP分别对应△OM又因为S△OM从而，S△由于MF′∥因此，S△F′由于MF′∥OP因此，OF由于OF=c（c为双曲线的焦距），P进一步整理，我们得到c2由于c2=a最后，双曲线的离心率e=故答案为：B.3。4、已知f(x)=x^2+bx+c，若f(1)=f(2)=0，则f(-1)=()A.0B.2C.4D.6

根据题意，函数fx=x将x=1代入f1=1+b+c=0f2=4+21+bb=−3cfx=x2−3f−故答案为：D.6。5、已知函数f(x)={x^2+2x,x≤0(1/2)^x-1,x>0

}

，若函数g(x)=f(x)-k有两个零点，则实数k的取值范围是()A.(-1,0]B.(-1,+∞)C.(0,+∞)D.[0,+∞)

首先，我们分析函数fx当x≤0时，fx=x2+2x，这是一个开口向上的二次函数，其对称轴为x=−1。因此，在区间当x>0时，fx=12x−1，这是一个指数函数，其底数小于1，因此在整个0,+∞区间上，接下来，我们考虑函数gx由于fx在x≤0时有一个零点x=0，并且当x从−∞增加到-1时，同时，由于fx在x>0时是单调递减且始终小于0的，因此gx在这个区间内不可能有零点，除非k≤综合以上分析，实数k的取值范围是(−故答案为：A.(−6、已知A1,0，B0,2，若点A.1,1B.2,2C.−2,2D.−1,1kOA=y2−y1x2−x1=k=±kOA×k然而，由于kOA=0（即OA与x接下来，利用点斜式方程（或方向向量的概念），我们可以求出平分线上任意一点的坐标。但题目已经给出了点C到原点O的距离为2，因此我们可以直接利用这个信息和斜率来求出点C的坐标。设点Cx,yx2+y2y−0x−0=x2+x2=4⇒2因此，向量OC故答案为：B.2,解析注意事项本题主要考察了角平分线的性质、直线斜率的计算以及点到直线的距离公式（或方向向量的概念）。在处理斜率问题时，需要注意斜率不存在（即直线垂直于x轴）和斜率为0（即直线与x轴重合）的特殊情况。在求解向量坐标时，需要注意题目给出的条件（如点到原点的距离、点所在的位置等）来确定坐标的正负。7、已知a>0，b>0A.4B.5C.9D.16解：已知a>0,b>0，且a+具体地，我们有：1a+4b=1a+4ba+将ba和4ba+4ab≥2b当且仅当ba=4由于a+b=1，我们可以解出故答案为：C.9。8、已知函数fx=xA.函数在整个区间上单调递增B.函数在整个区间上单调递减C.函数在−2,−1和D.函数在−2,−1和答案:C解析:我们可以通过计算函数的一阶导数来判断函数的增减性。一阶导数大于零表示函数在相应区间上单调递增；一阶导数小于零表示函数在相应区间上单调递减。接下来我们计算函数fx=x3−3x当x<−1或x当−1<x这证实了正确答案是C。让我们再次呈现题目和答案解析：8、已知函数fx=xA.函数在整个区间上单调递增B.函数在整个区间上单调递减C.函数在−2,−1和D.函数在−2,−1和答案:C解析:通过对函数fx=x3−3x+1的一阶导数f′x=3x二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、已知函数fx=logaxA.当a>1时，函数B.当0<a<C.函数fx的图像经过点D.函数fx的定义域为−E.函数fx的值域为−答案：A,B,C,E解析：A选项：当a>1时，由于底数大于1，对数函数在其定义域内单调递增。因此，随着x的增加，B选项：当0<a<1时，底数在0到1之间，对数函数在其定义域内单调递减。这意味着当C选项：当x=0时，有f0D选项：函数fx=logax+1的定义域为xE选项：对于所有的a>0且a≠1，函数因此，正确的选项是A,B,C,E。2、设m∈ℝ，函数f(x)={m(x^2+1)/(x^2-1),x≠±11,x=±1

}，若f[f(√2)]=2，则m=()A.1B.1/3C.3D.-1

首先，我们计算f2由于2≠f2=m2已知f2=3m，并且ff2=fm3mm3m2+1=23m2−13m3+m另外，我们需要验证m=±13是否为解。当m=±1综上，m=故答案为：A.1。3、设a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式恒成立的是()A.1/a+1/b≥4B.√(ab)≤1/2C.(a+1/a)(b+1/b)≥25/4D.a^2+b^2≥1/2答案：ACD解析：A.对于1a+1b，由于a>0,1由于a+b=1，则因此，1ab≥4，即B.对于ab，同样利用a+b=1a但注意这里是不等号，而题目要求的是恒成立的不等式，且当a=b=12C.对于a+a利用基本不等式ab+ba≥a当且仅当a=b=D.对于a2+ba当且仅当a=b=三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、已知函数f(x)=2^x-a/2^x的图象关于直线y=1对称，若实数m,n满足f(m)+f(2n-m^2)=4，则1/m+1/n的最小值为_______．答案：4解析：由于函数fx=2x−a2x的图象关于直线y=1对称，我们可以设fx+fy=2，即

2x−将a=1代入f由题意，fm+f2n−m2=4，代入fx的表达式，得到

2m−12m+22接下来求1m+1n的最小值。由于m2−m−2n+2=0接下来利用基本不等式（AM-GM不等式）求解最小值。由于

4t−1+2t2≥4t将t=2代回原式，得到

但由于我们在。2、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且f(0)=1，则f(x)的单调递减区间为_______．答案：[解析：根据正弦函数的周期性，有T=2πω。由题意知已知f0=1，代入fx=2sin将ω和φ的值代入fx，得到f接下来求fx的单调递减区间。正弦函数sinx在π2将2x+π解得x的范围为π6+k故fx的单调递减区间为[3、已知f(x)=(1-2x)/(1+x)，则f(1/f(1))=_______．

首先，我们计算f1f1=1−由于f1=−因此，

f1故答案为：−5四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）第一题题目：设函数fx=log2x答案：实数a的取值范围是(−解析：理解题意：函数fx=log2x2−转化为不等式问题：考虑不等式x2−2分析不等式：令gx=x2−2a求判别式：首先，计算判别式Δ=4a2−12a。由于gx是一个开口向上的二次函数（系数考虑对称轴：二次函数gx的对称轴为x当a≤2时，由于gx在[2,+∞)上单调递增（因为对称轴在区间左侧），所以只需检查g2当a>2时，由于对称轴在区间内，gx在2,a上单调递减，在[综合判断：综合以上分析，只有a≤2时，gx>0在[2,+∞)上恒成立。但考虑到当a=2时，g2=0注意：原答案中的(−∞,1]第二题题目：设函数fx=log2x2−2a求实数a和m的值；若不等式fx≥2x+答案：(1)a=±(2)t解析：由于fx的定义域为R，则x2−2ax+解不等式4a2−又因为fx的值域为[log2m,+∞)，由于对数函数的性质，当底数大于1时，函数值随自变量增大而增大。因此，同时，由于二次函数开口向上，且没有实数根，其最小值即为顶点的y坐标，也是函数能取到的最小值。因此，a−32=m结合上述条件，解得a=±3（由于−由(1)知，fx不等式fx≥2x+t在转化不等式为t≤令gx=log由于对数函数和二次函数的复合，直接求导可能较为复杂。但可以通过观察或进一步变换（如换元法）来找到gx在1注意到当x增大时，log2x2−6x+计算端点值：g1=log2−2−2=无定义（因为对数内不能为负），但我们可以取接近1的值来估计；g4但由于log23−8是一个小于−1第三题题目：设函数fx=log2x2−求实数a的取值范围；求函数ga=2答案：(1)a当a=13时，函数g解析：首先，由于2∈A，则f2必须有意义，即log22其次，由于4∉A，则f4无意义，即log242−8a+3不存在。这要求42−8a+3≤0，解得a≥198。但这里显然与4∉A的条件矛盾，因为当a≥198时，f4的定义域内不可能不包含4。实际上，我们应该考虑的是f4的值域问题，即42−8a+3≤1（因为对数函数的底数为2，真数必须大于0且不等于1），解得a≥32。但这里我们只需要保证f4无定义即可，即42−8a+3<0，解得a>138。然而，由于题目只要求4∉A，我们只需考虑a使得f4无意义的范围，即a≥12（因为当对于函数ga=2a+这是一个关于2a最大值出现在顶点处，即2^{a}=frac{2。第四题题目：设函数fx=log2x2−答案：实数a的取值范围是−3解析：理解题意：函数fx=log2x2−求二次函数的最小值：二次函数y=x2−2ax二次函数的最