2024-2025学年高中数学 第2章 解析几何初步 1 直线与直线的方程 1.5 平面直角坐标系中的距离公式（教师用书）教案 北师大版必修2

2024-2025学年高中数学第2章解析几何初步1直线与直线的方程1.5平面直角坐标系中的距离公式（教师用书）教案北师大版必修2学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学——解析几何初步

2.教学年级和班级：高中二年级一班

3.授课时间：2024年10月10日

4.教学时数：45分钟

二、教学内容

1.课程主题：直线与直线的方程——平面直角坐标系中的距离公式

2.教学目标：

（1）理解平面直角坐标系中两点间的距离公式

（2）学会运用距离公式解决实际问题

3.教学重点：平面直角坐标系中两点间的距离公式的推导和应用

4.教学难点：距离公式的灵活运用和解决实际问题

三、教学过程

1.导入：通过生活实例引入平面直角坐标系中两点间的距离问题

2.新课导入：介绍平面直角坐标系中两点间的距离公式

3.课堂讲解：

（1）讲解距离公式的推导过程

（2）举例说明距离公式的应用

4.课堂练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识

5.拓展提高：引导学生运用距离公式解决实际问题

6.课堂小结：总结本节课所学内容

四、教学评价

1.课堂练习：评价学生对距离公式的掌握程度

2.课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识

3.学生反馈：了解学生对课程内容的掌握情况，及时调整教学方法

五、教学资源

1.教材：北师大版必修2

2.多媒体课件：PPT或其他展示软件

3.练习题：课后习题及补充练习题

六、教学注意事项

1.注重学生的主体地位，鼓励学生积极参与课堂讨论

2.注重数学思想的培养，引导学生运用数形结合的方法解决问题

3.关注学生的学习进度，及时解答学生的疑问

4.创设良好的学习氛围，激发学生的学习兴趣核心素养目标1.逻辑推理：通过推导平面直角坐标系中两点间的距离公式，培养学生的逻辑思维能力，使其能够运用逻辑推理解决实际问题。

2.数学建模：引导学生运用距离公式解决实际问题，提高学生建立数学模型的能力，培养其运用数学知识解决实际问题的素养。

3.直观想象：通过图形演示和实例分析，帮助学生建立直观的数学想象，使其能够更好地理解和运用距离公式。

4.数学运算：通过课堂练习和课后作业，提高学生的数学运算能力，使其能够熟练运用距离公式进行计算。

5.数据分析：通过分析实际问题中的数据，培养学生收集、整理、分析数据的能力，使其能够运用数据分析解决实际问题。教学难点与重点1.教学重点

（1）平面直角坐标系中两点间的距离公式：√((x2-x1)²+(y2-y1)²)

公式是本节课的核心内容，要求学生熟练掌握并能够灵活运用。在讲解过程中，要通过图形演示、实例分析等方式，帮助学生理解公式的推导过程和含义。

（2）直线方程的求法：截距式、斜截式、两点式

直线方程是解析几何的基础，要求学生掌握直线的各种表示方法，并能根据实际情况选择合适的方程求法。

（3）直线与直线的交点求法：

要求学生掌握直线与直线相交、平行、重合时的判断方法，并能求出交点坐标。

2.教学难点

（1）距离公式的推导过程：

学生难以理解的是距离公式的推导过程，尤其是涉及到平方、开方等运算。教学中，可以通过图形演示、分步讲解等方式，帮助学生理解并掌握推导过程。

（2）直线的截距式、斜截式、两点式的转化：

学生难以掌握的是直线方程的各种表示方法之间的转化。教学中，可以通过示例、练习等方式，引导学生掌握各种表示方法的相互转化。

（3）直线与直线的交点求法：

学生难以掌握的是直线与直线相交、平行、重合时的判断方法和交点坐标的求法。教学中，可以通过图形演示、练习等方式，帮助学生理解和掌握判断方法和求法。

（4）实际问题的解决：

学生难以将所学知识运用到实际问题中。教学中，可以结合实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高其数学应用能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《北师大版必修2》第2章“解析几何初步”的相关内容，包括1.5节“平面直角坐标系中的距离公式”。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，例如：

-平面直角坐标系的示意图

-两点间距离公式的图示解释

-直线方程的各种表示方法的示例图

-直线与直线相交、平行、重合的示意图

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性，例如：

-测量工具（尺子、量角器等）

-绘图工具（白板、粉笔、彩笔等）

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等，以便于学生进行小组讨论和实验操作。

5.教学软件：准备教学所需的软件，如PPT、GeoGebra等，用于展示多媒体资源和进行交互式教学。

6.练习题库：准备与本节课内容相关的练习题，包括基础题、提高题和应用题，以供课堂练习和课后作业使用。

7.反馈表格：准备学生反馈表格，用于收集学生对课程内容掌握情况的反馈，以便于及时调整教学方法和策略。

确保所有教学资源准备充分，以便于教学的顺利进行，提高学生的学习效果。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解“直线与直线的方程——平面直角坐标系中的距离公式”的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习“直线与直线的方程——平面直角坐标系中的距离公式”内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确“直线与直线的方程——平面直角坐标系中的距离公式”教学目标和重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保“直线与直线的方程——平面直角坐标系中的距离公式”教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习“直线与直线的方程——平面直角坐标系中的距离公式”的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入“直线与直线的方程——平面直角坐标系中的距离公式”学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的“直线与直线的方程”内容，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为“平面直角坐标系中的距离公式”新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解“平面直角坐标系中的距离公式”知识点，结合实例帮助学生理解。

突出“平面直角坐标系中的距离公式”重点，强调推导过程和应用方法，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕“如何推导平面直角坐标系中的距离公式”展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验距离公式的应用，提高实践能力。

在“平面直角坐标系中的距离公式”新课呈现结束后，对知识点进行梳理和总结。

强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对“平面直角坐标系中的距离公式”知识的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决练习题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与“平面直角坐标系中的距离公式”相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合“平面直角坐标系中的距离公式”内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习“平面直角坐标系中的距离公式”的心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的“平面直角坐标系中的距离公式”内容，强调重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的“平面直角坐标系中的距离公式”内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。教学资源拓展（一）拓展资源

1.平面直角坐标系中的距离公式推导过程的数学史：

-介绍古代数学家对距离公式的探索和研究，如勾股定理的发现。

-引导学生了解现代数学对距离公式的定义和发展，拓展学生的数学文化素养。

2.直线方程在实际应用中的案例：

-提供一些实际问题，如工程测量、地理信息系统中的应用，让学生了解直线方程在现实世界中的重要性。

-通过案例分析，让学生学会将实际问题抽象为直线方程模型，提高其数学建模能力。

3.直线与直线的方程的图形演示软件：

-推荐一些数学软件或在线工具，如GeoGebra、Desmos等，让学生在图形界面中探索直线与直线的交点、距离等性质。

-引导学生利用这些软件进行自主学习和探究，增强其数形结合的能力。

4.数学游戏和谜题：

-提供一些与直线方程相关的数学游戏和谜题，如通过解谜题来学习直线方程的性质。

-这些游戏和谜题可以让学生在轻松愉快的氛围中提高数学思维能力。

（二）拓展建议

1.让学生利用网络资源，搜集与平面直角坐标系中的距离公式相关的数学史资料，了解distanceformula的发现和演变过程。

2.组织学生进行小组讨论，分享各自找到的资料，并在班级内进行汇报，以此提高学生的表达能力和合作精神。

3.鼓励学生在课余时间使用GeoGebra或其他数学软件，探索直线方程的图形表示，加深对直线方程的理解。

4.布置相关的数学作业，让学生结合所学的直线方程知识，解决实际问题，提高其应用能力。

5.定期举办数学竞赛或数学节，鼓励学生参与，激发其对数学的兴趣和热情。教学反思本节课是关于“直线与直线的方程——平面直角坐标系中的距离公式”的教学。通过本节课的教学，我对教学内容和教学方法有了更深入的思考和反思。

首先，我意识到在讲解距离公式时，我应该更加注重公式的推导过程，而不是仅仅给出结论。通过图形演示和实例分析，学生可以更好地理解公式的含义和推导过程，从而加深对公式的理解和记忆。

其次，我注意到学生在学习直线方程的各种表示方法时，存在一定的困难。为了帮助学生更好地掌握直线方程的表示方法，我应该提供更多的实例和练习，让学生通过实践来加深对直线方程的理解。

此外，我在课堂互动环节的设计上还有待改进。通过小组讨论和实践活动，学生可以更好地参与课堂学习，提高学习积极性和思维能力。我应该在未来的教学中更多地采用这种教学方式，以提高学生的学习效果。

最后，我发现学生在解决实际问题时，往往难以将所学知识应用到实际问题中。为了提高学生的数学应用能力，我应该在教学中更多地结合实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，以提高学生的数学应用能力。典型例题讲解1.例题1：求两点的距离

已知两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，求两点间的距离。

解答：根据两点间距离公式，两点间的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。将A和B点的坐标代入公式，计算得到距离d。

答案：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)

2.例题2：求直线的截距式方程

已知直线过点C(x3,y3)且斜率为k，求直线的截距式方程。

解答：根据直线的截距式方程y=(y3-kx3)/(1-k²)和点C的坐标，将C点的坐标代入方程，计算得到截距式方程。

答案：y=(y3-kx3)/(1-k²)

3.例题3：求两直线的交点

已知直线l1：y=m1*x+b1和直线l2：y=m2*x+b2，求两直线的交点。

解答：将直线l1和直线l2的方程联立，解得x的值，再代入直线l1的方程求得y的值，得到交点坐标。

答案：交点坐标为(x,y)，其中x=(b2-b1)/(m1-m2)，y=m1*x+b1

4.例题4：求两直线的距离

已知直线l1：A1x+B1y+C1=0和直线l2：A2x+B2y+C2=0，求两直线的距离。

解答：根据两条平行直线间的距离公式，将直线l1和直线l2的系数代入公式，计算得到两直线的距离d。

答案：d=|A1*A2+B1*B2|/(√(A1²+B1²)*√(A2²+B2²))

5.例题5：求直线的斜截式方程

已知直线过点D(x4,y4)且斜率为m，求直线的斜截式方程。

解答：根据直线的斜截式方程y=mx+y4和点D的坐标，将D点的坐标代入方程，计算得到斜截式方程。

答案：y=mx+y4课堂小结，当堂检测（一）课堂小结

本节课我们学习了平面直角坐标系中的距离公式，直线方程的求法以及直线与直线的交点求法。这些内容是解析几何的基础，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

首先，我们通过图形演示和实例分析，深入理解了平面直角坐标系中两点间的距离公式，即√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。这个公式可以帮助我们计算任意两点之间的距离，对于解决实际问题非常有用。

其次，我们学习了直线方程的求法，包括截距式、斜截式和两点式。这些方程可以帮助我们描述直线的几何特征，从而更好地理解和解决与直线相关的问题。

最后，我们学习了直线与直线的交点求法。通过解联立方程，我们可以找到两条直线相交的点，这对于解决实际问题，如测量、工程设计等非常有帮助。

在教学过程中，我们通过大量的实例和练习，帮助学生理解和掌握这些概念和方法。通过小组讨论和实践活动，学生可以更好地参与课堂学习，提高学习积极性和思维能力。

（二）当堂检测

为了检查学生对本节课内容的掌握情况，我将进行当堂检测。请学生们认真完成以下题目，并在下节课前提交。

1.求两点间的距离。已知点A(2,3)和点B(4,6)，求两点间的距离。

2.求直线的截距式方程。已知直线过点C(1,2)且斜率为3，求直线的截距式方程。

3.求两直线的交点。已知直线l1：y=2x-3和直线l2：y=3x+1，求两直线的交点。

4.求两直线的距离。已知直线l1：2x+3y-5=0和直线l2：x-4y+7=0，求两直线的距离。

5.求直线的斜截式方程。已知直线过点D(3,1)且斜率为-2，求直线的斜截式方程。

请学生们认真完成这些题目，这将对你们理解和掌握本节课的内容非常有帮助。在完成题目时，如果遇到问题，可以参考课堂笔记和教材，也可以与同学讨论。希望你们能够通过这些练习，更好地掌握平面直角坐标系中的距离公式，直线方程的求法和直