人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用本章达标检测（含答案解析）

人教A版(2019)选择性必修第二册过关斩将第五章一元函

数的导数及其应用本章达标检测

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.函数"x)=d在区间［-1,2］上的平均变化率为()

A.-1B.1C.2D.3

2.下列导数运算正确的是()

rr

A.(2，'=犬,2XTB.(sinxcosx+l)=cos2xC.(1gx)=—

D.(一)'=/

3.已知函数/(x)=x(2018+lnx),若/'(%)=2019,则%=()

2

A.eB.1C.In2D.e

4.函数y=/(x)在R上可导，且=2尤2(l>x-3,则〃l)+r⑴=

A.0B.1C.-1D.不确定

5.已知函数/(x)=/-2cosx,贝1］/(。),/［一£|,/［|］的大小关系是()

儿"㈢OB.(小…自

C./0<L(O)口.讣/㈢

6.函数/。)=2/_111|划的部分图像大致为()

7.已知函数/（x）=lnx+£,直线y=-x+3与曲线y=/（x）相切，则。=（）

A.1B.2C.3D.4

8.设函数/(x)=_%(%_〃)2(XER),当〃〉3时，不等式/(-左_sin8_1)N/(左之一sir?8)

对任意的左e［-L0］恒成立，则。的可能取值是（）

n

A.——

3-T

二、多选题

9.下列结论中正确的有（)

A.若；y=siti],贝ijy'=。B.若/(%)=3,一尸⑴x,则广⑴二3

C.若>=-«+无，贝!]，'=D.若y=sin%+cos%,则y'=cosx+sinx

A十】

一；,4上的函数的导函数r（x）图象如图所示，则下列结论正确

10.定义在区间

的是（）

函数“X）在区间［J,。］单调递减

B.

C.函数/（可在x=1处取得极大值

D.函数/■（X）在X=0处取得极小值

11.若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数/（x）具有“凹凸趋

向性"，已知/'（X）是函数/（X）的导数，且尸（无）=--21nx,当函数F（X）具有“凹凸趋向

x

性''时，机的取值范围的子集有（）

2二,。221

A.—,+ooB.C.—00,------D.

eee

12.已知定义在0,3上的函数”X）的导函数为了'⑴，且〃0）=0,

试卷第2页，总4页

f'(x)cosx+/(x)sinx<0,则下列判断中正确的是

三、填空题

13.己知/(%)=根，则lim"“。一3一)一〃尤。)=.

-Ax

14.己知函数/(%)=32_23_°111尤在(1,2)上单调递减,则实数。的取值范围是.

1+Inx,x>1

15.已知函数/(尤)=«尤+1,若存在玉力尤2，使得/(石)+/(马)=2,则占+々的

-----,X<1

12

取值范围是.

四、双空题

16.已知/(》)是定义在R上的奇函数，当x»0时，/(%)=2X3-3X2+«,则〃-2)=

；曲线y=/(X)在点(-2,〃-2))处的切线方程为.

五、解答题

17.已知函数f(x)=工.

ex

(1)求函数了。)的单调区间;

(2)求函数f(x)在区间上的值域.

18.已知函数/1(x)=(a-6)x2-x-xlnx.

(1)若曲线y=/(无)在点处的切线与x轴平行，且7•⑴=环求a,b的值；

(2)若。=1,/("NO对xe(O,+w)恒成立，求b的取值范围.

19.已知函数/'(■x)=cosx+;tsinx—l.

(I)若xe(0,兀)，求f(x)的极值；

(II)证明：当xe[0,%]吐2sinx-xcosx2尤.

20.如图，已知A、8两个城镇相距20公里，设Af是中点，在A3的中垂线

上有一高铁站P,PM的距离为10公里.为方便居民出行，在线段尸M上任取一点。

(点。与尸、M不重合)建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到。处，再铺设快

速路分别到A、8两处.因地质条件等各种因素，其中快速路尸0造价为1.5百万元/

公里，快速路OA造价为1百万元/公里，快速路OB造价为2百万元/公里，设

N0A"=6rad,总造价为y（单位：百万元）.

（1）求y关于。的函数关系式，并指出函数的定义域；

（2）求总造价的最小值，并求出此时。的值.

21.已知函数/（x）=+（。+1）%.

（1）讨论函数〃x）的单调性；

（2）设函数/（x）图象上不重合的两点A说,乂）,8（七%）（%＞马）.证明：左加＞/（七匹）.

（左转是直线A3的斜率）

22.已知函数/（x）=g（e为自然对数的底数）.

e

（1）求函数/（尤）的零点九0，以及曲线＞=/（%）在％=%处的切线方程；

（2）设方程/（%）=皿根＞。）有两个实数根，求证：归-马|＜2-皿1+1）.

试卷第4页，总4页

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参考答案

1.B

【分析】

直接利用平均变化率公式一।进行求值.

x2一%

【详解】

因为/(%)=X2,

所以在区间［-1,2］上的平均变化率为八，-=1.

故选：B

【点睛】

本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.

2.B

【分析】

根据导数的计算公式，以及导数的运算法则，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

对于A,(2*j=21n2,A错误；

对于B,(sinxcos%+l)f=(sincosx+sinx(cosx)'=cos2x—sin2x=cos2x,B正确；

对于C,(lgx)'=—J,C错误；

xlnlO

对于D,(一)'=—一,D错误.

故选：B.

3.B

【分析】

先求出/(x)=2019+lnx,再代入求解即可.

【详解】

解:由函数〃x)=M2018+lnx),

贝l|/(x)=2018+lnx+x.L=2019+ln尤，

又）=2019,

答案第1页，总16页

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则InX。=0,

即尤o=1>

故选：B.

【点睛】

本题考查了导函数的求法，重点考查了运算能力，属基础题.

4.C

【分析】

求出/(无)，尤=1代入求出/(1),/(%),进而求出“1),即可求解.

【详解】

/(X)=2X2-/(1).X-3,得7''(X)=4X-〃1),

.'./(I)=4-/(1),/")=2"(x)=2X2-2X-3,

/(l)=-3,.-./，(l)+/(l)=-l.

故选:C

【点睛】

本题考查函数的导数以及简单的运用，属于基础题.

5.A

【分析】

判断了(元)的奇偶性，利用导数判断(01)上的单调性，根据单调性以及奇偶性比较大小即可.

【详解】

易知/(x)=x2-2cosx为偶函数

"IT"

・.・/'(%)=2%+2sin%,当尤£(0,1)时,f\x)＞0,；・/(%)在(0,1)上为增函数

"(。)＜《［＜佃

故选：A

6.A

【分析】

答案第2页，总16页

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根据奇偶性的定义，结合函数极限以及利用导数求得函数单调性，即可判断和选择.

【详解】

容易得了（X）定义域为（F,0）5。,小）关于原点对称，

又/(x)=2x2-ln|x|=/(-x),

故函数/（X）是偶函数，

,/（龙）的图象关于y轴对称，

故排除B,

又lim/（x）T+oo,

故排除D.

当x>0时，f'（x）=4x-1,令尸（x）=0,解得x=g；

故当时，/（x）单调递减，在单调递增.

止匕时=

故排除C.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数图象的辨识，涉及函数奇偶性、单调性的判断，属综合基础题.

7.B

【分析】

设切点为伍,为）,利用导数的几何意义与仇,兄）在〃x）=lnx+£与y=-x+3上联立求解即

可.

【详解】

设切点为（%,%）,则尸（月=：-£,又直线y=r+3与曲线y=〃x）相切故%=-飞+3

1a

%=1口玉）+——%。

八1aa",

消去为有_%o+3=In/+—=>一=-x0+3-lnx0，代入第一个式子有

玉）xo

答案第3页，总16页

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/\I41

—

I(--^)+3—Inx0)=—x0n2x0+lnXo—2=0.易得%=1.代入^=一]有a=2.

xoxo

故选：B

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的运用，需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的

斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.

8.D

【分析】

利用导数求得函数〃x)的单调性，得到-24此-sine-KL-lVf—sirevi,把不等式恒

成立，转化为得$m20-$也，一14左2+左=,+£|2一；对任意的左€[_1,0]恒成立，求得

--<sin0<l,结合选项，即可求解.

2

【详解】

由题意，函数/(x)=-x(x-a)2,可得/'(无)=—(3x-a>(x-a),

令广。)=0,解得尤=5或苫=.,当a>3时，可得]<a,

所以/⑴在+◎上单调递减，在已a]上单调递增，

又当a>3时，|>1,所以/(X)在(ro,l]上为减函数，

xe[-1,0],sinG[-1,1],所以一2〈一左一sin6—l«l,—lV左2—sin2，vi,

由不等式f(-k-sin0-l)>/(r_sin?对任意的丘恒成立，

得sin26»-sin6-\<k2+k=[k+^一:对任意的ke[-1,0]恒成立，

ii31

所以si/d-sin，一14一一恒成立，解得--VsinOV—,即——<sin0<l,

4222

57r

结合选项知，可得。的可能取值是

6

故选：D.

【点睛】

易错警示：利用单调性解决相关应用问题时，要注意单调区间的判定，当自变量都在同一个

单调区间内才能利用相应的单调性，解题时防止漏证导致解题错误.

答案第4页，总16页

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9.ABC

【分析】

根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.

【详解】

选项4中，若丁=5由工=立，则y=0,故A正确；

32

选项8中，若/（刀=3/一/⑴•无,则尸（x）=6x-1f⑴,

令x=l,则广(D=6-尸(1),解得/(1)=3,故B正确;

则丫'=-5%+1,故C正确;

选项C中，若y=-&+x

选项。中，若y=sin尤+cos尤，则y'=cosx-sinxx,故。错误.

故选:ABC

【点睛】

1.常见的基本初等函数的导数公式

（1）（C），=O（C为常数）;

⑵（尤"y=i（〃eN+）；

(3)(sinx),=cosx；(GQSX)，=-sinx；

(4)(^x)-ex；(优户axlna(a>0,且aw1)；

(5)(Inx)^-；(logaX)'=‘logae(a>0,且aw1).

XX

2.常用的导数运算法则

法则L[w(x)±v(x)I=^(x)±V(x).

法则2：\u(x)v(-V)]-(x)v(x)+w(%)V(x).

法则3：卧皿券詈1%⑺/o）

10.ABD

【分析】

根据导函数图像判断出函数f（x）的单调性和极值，由此判断出正确选项.

【详解】

答案第5页，总16页

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根据导函数图像可知，〃尤)在区间(e,0)上，/(x)<0,/(尤)单调递减，在区间(o,+功上，

/(x)>0,/(x)单调递增.所以/(尤)在x=0处取得极小值，没有极大值.

所以A,B,D选项正确，C选项错误.

故选：ABD

【点睛】

本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题

11.BD

【分析】

首先求函数的导数，/,(x)=--21nx=m_2x—,(x>0),由题意可知若函数具有“凹凸趋

XX

向性”时，机=2xlnx在(0,+e)有2个不同的实数根，贝。设函数g(x)=2xlnx,根据导数判断

函数的范围，求得优的取值范围.

【详解】

口»、mim—2x\nx八、

依意思得f(%)=-----21nx=----------(z%>0),

XX

若函数/(X)具有“凹凸趋向性”，则根=2xInX在(0,+8)上有2个不同的实数根,

令g(x)=2xlnx,贝ljg'(x)=2(l+lnx),

令g'(x)>0,解得x>L令g，(x)<0,解得0<x/，

ee

g(x)在(o,1上单调递减，在仁,+8)上单调递增，

故g(x)的最小值是g[']=-2,当x->0时，g(x)f0,故二

\e)ee

故选：BD.

【点睛】

关键点点睛：本题的解题关键是得到7〃=2xlnx在(0,+8)上有2个不同的实数根，进而研究

不含参数的函数图像特征解决问题即可.

12.CD

【分析】

先令g(x)=@,对函数求导，根据题意，得到g(x)=上在10,0上单调递减，再逐项

判断，即可得出结果.

【详解】

答案第6页，总16页

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令g(x)=/^2,xe0,y\

COSXizy

ff(x)cosx+f(x)sinx

则g'(x)=

cos2x

因为/'(%)cosx+/(x)sinx<0,

所以g，(x)=3*I0<o在心］上恒成立,

因此函数g(x)=3在Jo,上单调递减，

cosxL)

又〃0)=0,所以g(0)=2”=0,所以g(x)=」迫40在上恒成立,

cosOcosxLZ)

因为In^e所以故B错；

故C正确;

故D正确;

故选：CD.

【点睛】

本题主要考查导数的应用，通常需要构造函数，用导数的方法研究函数单调性等，属于常考

题型.

13.—3m

【分析】

利用导数的定义可得答案.

【详解】

广(%)=根,

原式=-3limJ、-3Ax)T(x。)

——3Ax

，

=-3/(-x0)=-3m.

故答案为：-3m

答案第7页，总16页

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14.

【分析】

根据题意求出f(x)的导函数7'(X),然后令/'(X)在(1,2)上小于等于零恒成立，由二次函数

的性质求出函数值的范围，即可得到。的取值范围.

【详解】

由/(X)=工f-2ov-qlnx可得：f\x)=x-2a--=-——,

2xx

,,,函数/(尤)=(龙2-2依-<7111》在(1,2)上单调递减，

广(X)=厂一340在(1,2)上恒成立,

x

g(x)=f-2ax-aW0在(1,2)上恒成立，

根据二次函数图像的性质可知要使g(x)=V-2依-。W0在(1,2)上恒成立，

1

a>—

g(l)=l-3«<03

则:g(2)=4-5fl<0,解付：

4，

a>—

5

的取值范围是寸十°°j,

故答案为:+°°]

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性的知识,考查学生转化划归思想的运用能力，属于中档题.

15.[3—2In2,+oo)

【分析】

由函数的解析式，得出国+%=尤2-21119+1,尤2>1，令+

利用导数求得函数g(%)的单调性和最值，即可求解.

【详解】

因为尤1*马，所以不妨设不<三.

Y+1

当无之1时，/(x)=l+lnx>l,当尤vl时，f(x)=—^—<l,

根据〃西)+/伍)=2,可知占<1<%,所以="J(%)=l+lnx2，

答案第8页，总16页

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所以/(%)+/(々)=^^+1+111%=2,故玉=l_21n%,

所以项+々=%2-2In%2+1,光2>1.

JQ—2

记g(%)=%-21nx2+1(々>1)，则g'(%)=亡—,

当X2€(1,2)时，g'(N)<0,所以g(w)在(1,2)上单调递减，

当代£(2,+00)时,81巧)>0,所以g(z)在(2,+00)上单调递增,

所以g(W"g(2)=3-21n2,

又当々f+8时，g(%)-xo,所以g(N)的值域是［3-21n2,zo).

所以Xi+x2的取值范围是［3-2In2,+oo).

故答案为：［3-21n2,+co).

【点睛】

方法总结：解答此类问题，首项根据分段函数的解析式明确自变量的取值范围，找到网、尤2

的关系.进而构造函数，利用导数解决函数的值域，从而得到取值范围.

16.—412%—y+20-0

【分析】

根据奇函数得到。=0,计算〃-2)=-"2)=-(16-12)=-4,求得x<0时的解析式为

/(X)=2X3+3X2,求导得到切线方程.

【详解】

〃x)是定义在R上的奇函数，贝|〃0)=。=0,故。=0,

⑵=-(16-12)=T,

当x<0时，-x>0,故〃一力=一2工3一3f,〃尤)=—〃r)=2/+3x2,

f\x)=6x1+6x,尸(—2)=12,故切线方程为：y=12(x+2)—4,

即12x-y+20=0.

故答案为：-4;12x-y+20=0.

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性，求函数值，函数的切线方程，意在考查学生对于函数知识的综合

答案第9页，总16页

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应用.

-4

17.(1)单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(f,0),(2,一)；(2)0,—

e

【分析】

(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;

(2)根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可.

【详解】

解：(1)由题意得，((尤)=9*,令/得0。<2,

ex

令尸(x)v。，得兀>2或兀<0,故函数/(%)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为

(-co,0),(2,+oo).

(2)易矢口/(0)=0,/(2)=：,

因为/⑵-小｝:％中

16-2/8-e2(2A/I+C)(2忘一e)八

>---z-=---Z—=---------Z------>0，

4e22e22e2

所以八

(或由/闫邛<先邛可得,

r2

又当x>0时，f(x)=一>0,

e

1「4-

所以函数/(X)在区间-彳，+8上的值域为0—.

【点睛】

确定函数单调区间的步骤：

第一步，确定函数〃x)的定义域;

第二步，求了'(X);

第三步，解不等式/(尤)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)<0,

解集在定义域内的部分为单调递减区间.

答案第10页，总16页

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[6Z=0I

18.(1)\；(2)&e(z^x),O]

[b=-1

【分析】

(1)对“X)求导，/(1)=0,/'(1)=。解方程组求出。，匕即可.(2)将a=l代入，利用

参变分离可以将问题转化为6W1-'-则在(0,口)恒成立，求出g(x)=l-L-啊的最小

XXXX

值，令(%)式即可.

【详解】

(1)/(x)=(tz-Z?)x2-x-xlnx,//(x)=2(tz-Z?)x-lnx-2,

Jf[i}=a-b-\=aU=0

田[广⑴=2(a_b)-2=0,付[b=-T

(2)因为a=l,/(A:)=(1-Z2)X2-x-xlnx,

等价于

XX

令g(x)=」一蚂，"坐

XXX

当x«0,l)时，g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减，

当xe(l,y)时，g'(x)>0,所以g(x)在。,包)上单调递增，

所以8()「8(1)=°，

所以6e(-co,0].

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题.

71

19.(I)——1

2

(H)见解析

【分析】

(I)求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值；

(II)构造函数g(x)=2sin尤-xcosx-x,证明函数在xe[0,加时g(尤)20恒成立.

【详解】

解(I)/(x)=cosx+xsinx-l

答案第11页，总16页

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/'(%)=xcos%,

当Xe[o,gJ时,广(X)>o；当时，/(x)<0

当x变化时，/'(尤)J(x)的变化情况如下表：

71

X7

/‘(X)+0-

fM单调递增--1单调递减

2

因此当无与时,〃无)有极大值,并且极大值为“X)蛆值=应)=]-1,没有极小值.

(II)令函数g(jv)=2sinx-xcosx-x,g'(x)=cosx+;rsinx—l=/(x)

由(I)知〃x)在区间(0,会上单调递增，在区间15，"上单调递减.

又/(0)=0,/(1)=^-1>0,/(乃)=-2<0

故f(x)在(0,71)存在唯一零点.设为七，则g，(％)=/(%)=0

当xe(O,x())时,g，(尤)>0；当时,g，(x)<0,

所以g(x)在区间(。,不)上单调递增,在区间(不，兀)上单调递减

又g(o)=o,gOr)=0，所以，当尤e[0,兀]时,g(x)20.

故2sinx-xcosx2x.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数证明不等式恒成立问题，属于综合题.

20.(1)y=15|-tan6>|+15,(0<，<£)(2)最小值为15君+15,此时。=工

〈cos。J46

【分析】

(1)由题意，根据三角形的性质，即可得到>=15(三-1211。]+15,(0<。<彳)；

(2)构造函数/(e)=W-tand=”^,利用导数求得函数的单调性，即可求解函数

COSacos”

的最值.

【详解】

答案第12页，总16页

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(1)\-ZOAM=0,PM±AB

AO=BO=-^―,OM=10tan^,OP=10-10tan^

cosG

/.y=x1+x2+(10-10tan^)xl.5=——15tan^+15,

cos。cos。cos。

=15|——-tan1+15\Q<0<-\

(cos。JI4J

22-sin。

Q)设/⑻=^Tan*

cos。

-cos2^+sin6(2-sin8)2sin<9—l

则广(e)=

cos?。cos?。

令尸⑻=0,sine=^0<”(,所以6」.

jr1

当0＜。＜9,5皿。＜：,尸（6）＜0,丁=/（6）单调递减；

62

当?＜"&ine＞g尸⑻＞0,y=/⑻单调递增;

所以的最小值为了国=A

答：y的最小值为15石+15（百万元），此时6=9

6

【点睛】

本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用导数求解函数单调性与最值问题，其中解答

中认真审题,合理建立函数的关系式,准确利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键,

着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

21.（1）①当时，函数/（X）在（0,+8）上单调递增；②当。＜0时，函数f（x）在（0,_1）上

a

单调递增，在（-工,+⑹上单调递减.（2）证明见解析

a

【分析】

（1）先由题意，得到函数定义域，对函数求导，分别讨论。20和。＜0两种情况，解对应的

不等式，即可得出其单调性；

（2）根据斜率公式，由题意，得到"8=上二^=史五二达±+生®+（。+1）,再由

xx-x2xx-x22

「（三卢）=二+"J：%）+5+1）,将证明的问题转化为证明

2玉+%2

答案第13页，总16页

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ln五>虫二J—,令土=々>1),即证fe(l,+⑹时，3>也心成立，设

X

X2X1+X2i+12才+1

x2

g(f)=ln-"2,(t>l),对其求导，用导数的方法求其范围，即可得出结果.

t+1

【详解】

(1)函数/(X)的定义域为(。,+8),

且「(幻」+办+3+1)="2+(a+l)x+l=3+D(x+l)

①当a20时，f\x)=-+ax+(<7+l)>0,此时f(x)在(0,+oo)单调递增；

②当avO时，令尸(x)=O可得X=—1或x=—l(舍)，-->0,

aa

由((x)>0得0<%<」，由(a)vo得元〉」，

aa

所以/(元)在(0,-3上单调递增，在(-士+8)上单调递减.

aa

综上：①当a20时，函数f(x)在(0,+8)上单调递增；

②当。<。时，函数”元)在(0,-工)上单调递增，在(-L+⑹上单调递减.

aa

(2)由题意得%=ln玉+(6Z+1)^,y2=lnx2+(a+I)x2,

1212

_]n%i+—QX]+(a+l)玉一(In/+一〃=2+(〃+l)%2)

所以归_%_______22_____________

^AB——

x1-x2-x2

Jx-ln%igi+w)gi)

x1-x22

又八宁)='+”^+(a+l),

2x{+x22

要证矶>r(S三)成立，

Inx,一Iny,2

即证：一!------>-----成立，

xx-x2xx+x2

9/_\2(土-1)

即证：ln±」(…)」成立.

ZXl+X2五+1

令%=々>1),即证fe(l,+8)时，Int>至二^成立.

x2t+1

设g(r)=lnr-2"J),(r>l)

t+1

答案第14页，总16页

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,1410-I)?

贝Ig(o=——-T=R\>o,a>i)

t(r+1)-z-(f+l)

所以函数gQ)在(i,y)上是增函数，

所以Vte(l,+oo),都有g(f)>g⑴=0,

即V/e(l,+oo),

r+1

所以现>d七卫)

【点睛】

本题主要考查用导数的方法判定函数单调性，以及用导数的方法证明不等式恒成立，通常需

要对函数求导，用导数的方法求函数单调区间，以及最值等，属于常考题型.

2

22.(1)尤。=±1,切线方程为'=2心+1)和、=一(厂1)；(2)证明见解析.

e

【分析】

(1)由/。)=0,求得x=±l,得到函数的零点七=±1,求得函数的导数，结合导数的几

何意义，即可求得曲线y=/(x)在X