《利用导数研究函数的零点问题》教学设计

PAGEPAGE3《利用导数研究函数的零点问题》教学设计授课班级：某高二（文）班1．教学背景1.1学生特征分析我所试讲班级是长沟中学高二文班，学生的平均年龄在16-17岁，多数学生对于所识记的材料，在再认和回忆时，没有歪曲、遗漏、增补和臆测，初步具备在知觉某一事物时，能根据自己已有的知识、经验对事物加以解释和判断；具有一定的比较与分类思维，但是抽象概括及分析综合思维欠缺。学生已经系统的复习了函数、导数的相关知识，学生了解函数零点的定义，会利用导数求函数的单调区间和极值。对导数有了一定的理解，学习积极性比较高，利用导数这一工具对函数的性质研究比较好。但是理性思维比较欠缺，对于处理含参问题的能力还有待提高，把新问题转化问已解决问题的能力有待提高，缺乏选择解决问题策略的能力。由于是借班作课，师生接触少，师生之间的默契程度有待提高。1.2教师特点分析自己教学中的优势：注重学生自主学习、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。不足：由于是借班作课，与学生有效沟通较少。1.3学习内容分析1、内容分析：导数是微积分的核心概念之一。它是研究函数的单调性、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具,对我们描绘函数图象带来极大方便，高考对导数的考查重在导数的应用，如求函数的单调区间、极值最值、解决实际问题及与不等式的结合。而利用导数对函数性质的研究有利于我们解决函数的零点问题。近几年高考也出现了一些函数零点问题或可转化为函数零点问题的题目，今年北京文科就出现了这样的题目，所以本节课从三次函数出发探究函数零点问题，以简单的含参数函数零点问题为载体，引导学生利用导数讨论函数的单调性、极值、最值解决问题，突出数形结合思想、转化思想的应用。2、例题分析：热身练习：求函数的单调区间和极值，并试求此函数的零点。题目比较简单，学生可以独立完成，目的是让学生熟悉利用导数研究函数性质的基本过程；思考题：函数的图像与轴有几个交点。让学生认识到有些三次函数在现有水平上，无法求解，体会利用导数研究函数零点问题的必要性和一般性。例1、已知函数（），①取何值时，函数有一个零点，②取何值时，函数有两个零点；③取何值时，函数有三个零点？是热身练习的变式题，学生可以在练习的基础上对本题分析，发现函数图象与交点个数与极值之间关系，引发解题策略的思考。练习：若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。请说明思路。思路比较简单，可以用来检查学生对于利用导数研究函数零点问题的掌握情况及转化思想的应用。例2：讨论函数有几个零点。比较复杂，对学生来说比较难，教师要对学生出现的困难进行指导。2．教学目标1、掌握函数零点的等价形式，能利用导数工具解决零点问题。2、学生经历利用导数对例1、例2函数的单调性、极值和最值的分析，结合函数图象解决零点问题的过程，学生体会函数性质与零点间的关系。3、通过例1、例2的不同解决，学生体会数形结合、化归与转化数学思想的应用，提高学生利用数学思想分析问题解决问题的能力。【教学重点】利用导数分析函数性质，解决函数零点问题及其转化问题【教学难点】理解函数零点问题与两个函数交点问题的转化，解决问题策略的优化选择【教学方式】启发式、探究式【辅助工具】多媒体课件，几何画板。3．教学过程教学环节教学过程师生活动设计意图教学策略一、知识准备1、函数零点的概念；2、函数零点问题的等价问题。3、如何求函数的零点。学生回答教师展示课件提出问题：求函数的零点问题等价问题是什么？复习巩固旧知识，为本节课在知识、方法上做铺垫。问答 二、热身练习1、求函数的单调区间和极值，并试求此函数的零点。解：易求函数的单调增区间为和单调减区间为，所以的极大值为，的极小值为.由函数的草图可得函数有三个零点。,可解得函数的三个零点。2、函数的图像与轴有几个交点。学生独立完成，并展示结果。教师针对学生出现的问题，及时指导，引导学生做出草图问题2学生先思考，教师引导学生结合函数的性质利用图象判断零点个数。通过本题的练习，学生复习利用导数研究函数的基本过程，学生求出函数零点的个数与导数确定零点个数的一致性，初步体会导数解决函数零点问题的作用。2的设置目的是让学生认识到有些三次函数在现有水平上，无法求解，体会利用导数研究函数零点问题的必要性和一般性。学生独立学习并展示三、合作探究例1、已知函数（），①取何值时，函数有一个零点，②取何值时，函数有两个零点；③取何值时，函数有三个零点？解：法一：在上一题的基础上，容易得到：的极大值为，的极小值为.由函数的草图可得：（1）当或时，有一个零点；（2）当或时，有两个零点；（3）当时，有三个零点．法二若本题转化为讨论函数图象与直线交点的问题。练习：若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。请说明思路教师引导学生观察热身练习与例1的不同。学生发现单调性没有变化，极值发生变化，通过讨论研究函数的零点问题。学生展示成果教师利用几何画板展示结合复习的函数零点问题等价转化形式，引导学生利用参数与变量分离的方法解决。学生结合图象独立完成学生说明自己的思路先请学生观察热身练习和例1两题的相同点和不同点。通过本环节的活动，学生参与利用导数研究函数性质解决函数零点问题，体会导数的工具作用。学生注意到本题与热身练习的区别与联系，将问题转化为研究函数极值（含参数，再讨论随着变化，函数图象与轴的交点，另一种方法是两个函数图象的交点，即定函数图象与动直线的交点）为后面做铺垫。通过图像展示，学生体会函数零点的变化情况。学生明白两个函数图象的交点问题与一个函数零点问题是等价问题检查学生对于利用导数研究函数零点问题的掌握情况及对函数零点等价问题的理解。小组合作学习互相讨论小组合作讨论合作交流（选讲）例2：讨论函数有几个零点。解：思路一：直接讨论三次的单调性、极值即可。思路二：参数与变量分离转化为两个函数交点问题。答案：时，有一个零点；时，有二个零点；时，有三个零点。问题：通过例1和例2的学习，你获得了什么经验？学生尝试独立完成，教师巡视，及时指导。学生展示自己的成果教师借助几何画板演示函数零点变化情况。学生根据自己的理解，进行说明。当参数的位置变化时，解决问题的策略如何选择，进行研究，多角度启发学生，激发学生的潜能。本题的难点在于参数与变量分离后，对函数性质的分析，函数图像特点的剖析，教师要适时引导，学生能利用图像正确确定零点情况。及时反思总结，形成方法技能方法一学生小组合作学习方法二采取替代式教学学生独立完成四、总结反思1、哪些问题可以转化为函数零点问题？2、利用导数研究函数零点问题的策略3、解决这类问题的关键是什么？学生自己说教师做必要补充通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生养成对所学知识及时总结提炼的习惯，不断提升自己。师生合作完成五、反馈练习1、（2013北京文）已知函数。（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求与的值。（Ⅱ）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。2、已知函数（选做）（1）求函数的单调区间（2）试讨论曲线与轴公共点的个数。 学生课下独立完成通过练习，检测学生对方法掌握情况。学生课下独立完成关于《利用导数研究函数的零点问题》教学反思教师是我从小的理想职业，现在我的职业理想是做一名研究性教师，工作总比较喜欢数学思考问题，一直认为数学学习不仅可以提高人的思考能力，而且可以提高人的素养。以“有志者，事竟成”为座右铭。6月21日，我在长沟中学借班讲了一节《利用导数研究函数的零点问题》。课的大致过程是：首先回忆导数的应用和函数零点的概念及其等价转化问题。接下来从研究一个具体函数出发利用导数研究了它的单调区间和极值，并尝试求此函数的零点；之后学生通过思考函数的零点问题，意识到可以利用导数研究函数的性质来确定函数零点问题。接下来又通过两种策略研究了函数（）和的零点问题，最后总结方法和思想。课后经过专家和各位教师的研究和讨论，我对这节课的反思主要有两个方面：一是课堂教学方面的；二是教师的个人专业发展方面。第一方面：反思习题设计和教学设计

美国数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)认为，问题是数学的心脏。对于数学科学是如此，对于学校数学，问题也是它的心脏。波利亚强调指出：“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练。”他有一句名言：“掌握数学就是意味着善于解题。”因此数学习题课作为解题教学是中学数学教学的重要组成部分，其主要目的是教会学生如何分析问题，如何应用所学知识寻找相应对策，解决未知问题，提高学生的解题能力。习题的有效选择是学生能力得以成功的基础，教师的习题教学时，习题的选择要有针对性（针对教学目标、知识点和学生的学习现状）、应在学生的“最近发展区”内、要有典型性和研究性，目的在于提高学生分析问题的能力，在研究习题解决的过程中优化解题策略。高二文科已进入高考总复习阶段，本学期复习的主要内容之一就是函数与导数，这部分内容也是是每年高考考查的重点内容，结合实际教学我发现其实这部分内容通过有效教学，学生可以学会如何解决的。函数与导数综合应用的常见考点：（1）利用导数研究曲线的切线；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用导数研究函数的极值最值；（4）利用导数研究函数零点或方程实根；（5）利用导数研究实际问题。这些考点的问题解决不可能一蹴而就，因此，我们的教学要经历从感性到理性的过程，让学生逐渐领悟掌握。对于基础相对薄弱的学生来说，可采取先分后合，循序渐进、螺旋上升。在这些考点中，利用导数研究函数零点问题讲的不多，而且这个考点可以提高学生利用数形结合思想、化归与转化的思想数学思想解决问题的意识，同时也是导数知识与函数零点的整合，所以在本次教学时，我就选择了它。根据新课标导数要求的多项式函数不超过三次，同时对于文科学生来说，题目设置不能太难，而且运算上不能给学生设置太多障碍，所以在选择题目时就选择一个简单的三次函数，并以这个函数为基础进行了一些变式，思考函数的零点问题，研究了函数（）和的零点问题，在变式练习中学生体会函数零点随着函数图象与轴相对位置的改变情况，希望在变式教学中，让学生尝到探究成功的喜悦，培养学生的观察、分析、归纳能力等能力的提高，也有利于知识难点的突破。另外在研究函数（）零点过程中介绍参变分离的解题策略，目的是让学生认识到两个函数交点个数问题与函数的零点问题是相互转化的，学生可以据此解决有关两个函数交点个数问题。然而好的设计必须与有效的课堂教学相结合，才能顺利实现设计的初衷。在具体教学过程中还是出现了一些问题，比如热身练习让学生展示可以为后面例题教学节省时间，同时还可以通过学生表达，加深对题目的理解；其次就是问题情境设计不到位，教师的主导作用发挥不合理，参变分离方法的得出有些强加给学生的感觉；再有就是没有把握好，结果函数的零点问题没有让学生来的急思考，只能展示。通过专家的点评，我真正发现问题的所在，即对于数学中的基本问题解决不到位，关键是方程的实根、函数的零点及函数与轴的交点这三者之间为什么是可以相互转化的，方程的实根是代数问题，而函数与轴的交点是几何问题，它们两者之间的转化原因，如果给学生讲清楚了，学生在解决含参数函数零点问题时就有了思考的方向，即思考通过方程观察分析零点问题可以转化为哪两个函数交点问题，同时两个函数交点问题可以通过联立方程组分析可以转化为哪个函数零点问题，这样函数零点问题与两个函数交点问题之间的转化就有了基础。如解决函数的的零点问题，可以令的方程，即，从而等价于解方程组，这一方程组的几何意义就是函数的交点个数问题；反之亦然。经过这样的思考，我又对教学设计进行了修改，先让学生研究（1）二元方程组；（2）抛物线交点个数问题；（3）求函数的零点；这三个简单问题之间的关系，学生在解决过程中发现，它们其实是方程、几何、函数三个角度对同一问题的不同表征，学生明白了这一问题之后，再让学生对零点问题进行多角度转化就容易了，学生很快就能发现多种转化方向，而且遇到两个函数交点个数问题也可以通过上面过程向函数零点问题转化，即学生会分析问题了。教学中另一关键问题就是学生思考如何优化解题策略，有了上面的研究，教师只要让学生多种转化中选择解决问题的策略就可以了，学生很容易的去选择解决曲线与直线位置关系，教师只要有效利用几何画板展示图象，学生就会发现研究曲线与平行于轴或轴的交点问题是最简单的，经过这样的再设计后，我在本班授课效果很好，教学目标达到了，学生在课堂中也进行了积极思考，课堂的有效性也得以实现。在习题设计上可以把研究函数零点问题及已知曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围留作课后练习就可以检测学生的掌握情况。二、教师专业发展的思考通过这次作课，也引发了我对自己专业发展的思考。陶行知老先生说道：“做先生的，应该一面教一面学，并不是贩卖些知识来，就可以终身卖