2025届广州市高三年级阶段训练（8月市调研摸底） 数学试卷（含答案）

2025届广州市高三年级阶段训练数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足1+iz=z-2i,则|z|=A32B52C.2.已知集合A={x|0<x²+x≤6},B={-3,-2,-1,0,1,2,3},则则A∩B包含的元素个数为A.3B.4C.5D.63.长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15至25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为A.4B.5C.6D.74.若sinπ12+aΛ.-1225B.-725数学试卷第1页(共5页)5.已知一组数据34、36、39、41、44、45,x,50的第65百分位数是45,那么实数x的取值范围是A.[45,+∞)B.(45.+∞)C.(45.50)D.[45,50]6.函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,直线y=12与其交于A，B两点，若|AB|=πA.1B.2C.3D.47.长方体ABCD—A'B'C'D'中,AC'与平面ABCD所成的角为α,AC'与AB'所成的角为β,则下列关系一定成立的是A.α>βB.α+β=9ő°C.α+β>90°D.α+β<90°8.设抛物线c:x²=2y的焦点为F，过抛物线C上的点P作C的切线交x轴于点M，若∠FPM=30°，则|FP|=A23B.2C3D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知无穷数列{aₙ}和{bₙ}的各项均为整数，{aₙ}和{bₙ}是非常数数列，且{aₙ}和{bₙ}中存在大小相等的项，则下列说法一定正确的是A.若{an}和{bB.若{an}和(bC.若{an}为等差数列，{bD.若(an)为递增数列，{b数学试卷第2页(共5页)10.如图，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C上的点满足到点F₁-10和F，(1，0)的距离之积为定值A.点(20在曲线CB.曲线C的方程为x²+y²C.曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为·11D.若点(x₀,y₀)在C上,则y₀>|x₀|11.类比平面上的三角形是由三条线段首尾顺次相接构成的封闭图形，我们把球面上三条大圆的劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形.如图所示，分别连接球心O与不在同一大圆上三点A、B、C，定义球面△ABC的三个内角.∠A、∠B、∠C分别为二面角B-OA-C,A-OB-C，B-OCA.若∠AOB=π3,球的半径为2B.存在球面三角形ABC，使得∠A+∠B+∠C=C.若∠AOB=π3,球的半径为2,OC⊥OA,OC⊥OB,那么球面三角形ABCD.若∠B、∠C是锐角且∠B>∠C,则AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a,b的夹角为30°,且|a|=2,|b|=1,则||a+13.2-x²x-1⁴的展开式中x14.已知函数fx=ax,gx=1aloga数学试卷第3页(共5页)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图，在平面四边形ABCD中，AB=5,AD=4,(1)若AC与BD交于点O,且AC⊥BD,求BO的长;(2)求四边形ABCD周长的最大值.16.(15分)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l与Γ交于B、C两点，且直线AB与AC的斜率互为相反数，求BC的中点M与F的最小距离.17.(15分)如图,直角梯形ACDE中,∠A=45∘,ED=CD=12AC=2,B、M分别为AC、ED边的中点，将△ABE沿BE边折起到△A'BE(1)证明:MN∥平面A'BE;(2)当三棱锥A'-BEN的体积为33,且二面角A'18.(17分)为抽查车辆文明驾驶情况，在某路口设有高清摄像头，对经过的车辆进行抓拍.抓拍系统设定：经过该路口的每一辆车被抓拍的概率均为13,，但为保证抽查量，设定前2辆车经过该路口都没有被抓拍时，第(1)从某一时刻开始，记第n辆车经过该路口时被抓拍的概率为P。，求.P₁,P₂,P₃;(2)当任意连续有2辆车经过该路口时，Y。。表示2辆车均未被抓拍的概率，Yₒ₁表示第1辆车未被抓拍，且第2辆车被抓拍的概率，Y₁₀表示第1辆车被抓拍，且第2辆车未被抓拍的概率，Y₁₁表示2辆车均被抓拍的概率.(i)试用Y₁₀和Y₀₀表示Y₀₁;(ii)求Y₀₀,Y₀₁,Y₁₀,Y₁₁的值.19.(17分)牛顿法(Newton'smethod)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是f(x)=0的根，选取信，提高的商的新始近似值，过点(x₀fx₀作曲线y=fx的切线L，L的方程为y=fx₀+f'x₀x-x₀.如果f'x₀≠0,，则L与x轴的交点的横坐标记为.x₁,称x₁为r的一阶近似值.再过点(x₁fx₁作曲线y=fx的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为x₂，称x对于函数f(x)=x+lnx,已知f(r)=0.(1)若给定x。=1,求r的二阶近似值x₂;(2)设x(i)试探求函数h(x)的最小值m与r的关系；(ii)证明m<c数学试卷第5页(共5页)数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案cBBCADDBABDACABD10.【解析】由原点(0，0)在曲线上知a=|OF₁|⋅|OF₂|=1.选项A,设曲线与x轴正半轴相交于(t,0),t>0,则(t+1)(t—1)=1,解得t=2,所以选项B，由x+12+y则x²+y²所以(x²+y²²+2x²+y²-4x²=0,即x²+y²选项C，由x²+y²²=2x²-2y²得由x∈R,得Δ=2y²-2²-4y⁴+2y²=-16y²+4≥0,所以y2≤选项D，由x²+y²²=2x²-2y²≥0,得|x|≥|y|.故点(x₀,y₀)在C上时,有y₀≤|x₀|成立，所以D故答案为AC.11.【解析】选项A，根据弧长公式l=α⋅r=π3×2=选项B，当OA、OB、OC两两垂直时，根据定义得∠A+∠B+∠C=3π2,选项c,:∠AOB=所以球面三角形ABC占半径为2的球面的比例为1根据球的面积公式，球面ABC的面积为112×4π×2选项D,如图所示,连接OA、OB、OC,设OB、OC所在平面为α.作AD⊥α,DE⊥OB,DF⊥OC,连接AE、AF.∵∠AED=∠B,∠AFD=∠C,∠B>∠C.∴∠AED>∠AFD,且都是锐角,数学试卷参考答案与评分细则第1页(共6页)∴AE=∵AE⊥OB,AF⊥OC,∴∠AOB<∠AOC.∵AB=r⋅∠AOB,AC=r⋅∠AOC,所以⌢AC>⌢AB.所以选项12.13.一414.【解析】结合函数图象，考虑两曲线相切的临界情况，设切点横坐标为x₀，由a将①代入②，得ln设x₀+1=t,有lna=1tlnt>0,则t>1记函数φx=lnx-1lnx因为φ(e)=0,所以t=e,此时a=所以a的取值范围是(e15.(13分)【解析】(1)△ABD中,由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB⋅ADcos∠BAD=36,所以BD=6…(3分)因为cos∠BAD=18由AC⊥BD可知,AO=2SABDBD所以BO=AB2(2)因为∠BCD=90°,所以.BC²+CD²=BD²=36,………………(10分)数学试卷参考答案与评分细则第2页(共6页)

所以当且仅当BC=CD时取等分………(12所以四边形ABCD周长的最大值为………(13分)16(15分)【解析】(1)由已知a2=b所以椭圆Γ的方程为x2(………(4分)(2)由直线AB,AC斜率互为相反数,不妨设AB的斜率为k,AC的斜率为-k.亭…………………………(6分)由xAxB=4得B点的横坐标为4……………(8分)同理可求得C点的坐标为…………………(9分)所以BC中点M的坐标为4从而知故点M在直线上…………………(12分)所以点M与F的最小距离即是点F到直线y=-32x当且仅当OM⊥MF时取得…………………(15分)17.(15分)【解析】(1)取BC的中点O,由N为边A'C的中点,知ON∥A'B,OM∥BE.……………(2分)数学试卷参考答案与评分细则第3页(共6页因为OM∩ON=O,所以平面MON∥平面A'BE.…………………(4分)因为MN⊂平面MON,所以MN∥平面A'BE.………(6分)(2)由MN∥平面A'BE,知V而SBEM=12BE⋅EM=1,所以即A'点到平面BCDE的距离3₃.……………………(9分又BE⊥A'B,BE⊥BC,所以BE⊥平面A'BC,所以平面A'BC⊥平面BCDE.所以A'在平面BCDE上的射影点H落在直线BC上.……………(10分)由A'——BE—C为锐二面角知H在线段中(《高·由答案云·及·等)BH=1,知H与O重合.解法一：由N在BC上射影点为HC的中点，记为L，则NL=在平面BCDE内过L作BM的垂线,垂足为S,连接NS,则∠NSL为平面NBM与平面BEDC夹角的平面角.………………(12分)由Rt△BEM~Rt△BSL,得SLBE=BL所以tan∠NSL=NISL所以平面NBM与平面BEDC夹角的正切值为156.………(解法二：以O(H)为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，可得各点坐标：M(2,0,0),B(0,—1,0),A(0,03₃),C(0,1,0)所以N012设平面NBM的一个法向量n=(x,y,z),数学试卷参考答案与评分细则第4页(共6页)由n⋅BN=0,n⋯所以可取n=易知平面BEDC的一个法向最m=(0,0,1).………(13分)设平面NBM与平面BEDC的夹角为θ，则cosθ=|cosn所以tanθ=523=156,即平面NBM18.(17分)【解析】(1)记事件“第i辆车经过路口时被抓拍”为A₁,i=1,2,…,则PP2=PAP=1=1727………………………((2)(i)由已知Y₀₀对应事件“2辆车均未被抓拍”的前一状态只能为Y₁。对应事件，故Y∞=2同样分析每个概率对应事件的前一状态，得Yol=1(ii)由全概率公式，可得Y10=23Y11解得Y00Y0119.(17分)【解析】(1)由.f(x)=x+lnx,得f数学试卷参考答案与评分细则第5页(共6页)当x∈(0,+∞)时,h''x=1x+所以h'(x)在(0,r)上为负,在(r,+∞)上为正,即h(x)在(0,r)上单调递减,在(r