电力系统中压电网谐振关键元器件评估

01逆变器并网等值模型并网逆变器具有灵活的运行模式和良好的可控性。在工程应用中，通常采用多个风机或者多个光伏逆变器通过公共连接点接入电网的结构模式。对于基于脉冲宽度调制技术的并网逆变器模型，采用光伏电压源型逆变器（voltagesourceconverter，VSC）为例。受控电流源Giref与输出导纳YVSC并联，其并网输出电流ig、等效导纳YVSC和电流源放大系数G分别为式中：iref为并网点参考电流；uPCC为并网点电压；L1为逆变器侧电感；L2为电网侧电感；C为滤波电容；H1为电容电流反馈系数；H2为并网电流反馈系数；KPWM为输入电压与PWM波幅值之比；GI(s)为PI控制器传递函数。光伏逆变器等效模型如图1所示。可以看出，逆变器接入系统的阻抗模型外特性不仅与LCL滤波器参数有关，而且与其自身内部的控制参数有着很重要的关系。因此，逆变器在观测的频带范围内呈现出的元件特性对系统谐振关键元件的判别有重要影响。图1

光伏逆变器诺顿等效模型

Fig.1

NORTONequivalentmodelofphotovoltaicinverter某光伏逆变器在1~100次谐波范围内等值的电纳情况，如图2所示。当电纳值为正时，逆变器呈阻容特性；电纳值为负时，逆变器呈阻感特性。当谐波次数大于27.5次时，该逆变器呈阻感特性；当谐波次数小于27.5次时，该逆变器可能呈阻感特性，也可能呈阻容特性。图2

某光伏逆变器在谐波频带内的电纳变化情况

Fig.2

Thesusceptancevariationofaphotovoltaicinverterintheharmonicfrequencyband根据逆变器控制策略及控制参数下呈现的导纳外特性，即在研究频率范围内表现出的容性或感性，对不同属性元件进行分类，进而判别谐振关键元件。02模态分析理论模态分析法是基于网络节点导纳矩阵特征值的分析方法，可以获得系统的谐振频率和引起各频率谐振的谐波源注入关键母线。基于矩阵特征值分解，将系统在某一频率f下的n阶导纳矩阵Yf进行特征值分解为式中：T为Yf的特征向量矩阵；L=T–1；Λ=diag(λ1,···,

λm,···,

λn)为Yf的对角特征值矩阵；λm为Λ的第m个特征值（第m个模态导纳）。在研究的频率范围内，以一定步长使频率发生变化，每个频率下的系统都按式（4）进行特征值分解，记录下对应的n个特征值。以频率为横坐标，频率对应的特征值倒数1/λm（模态阻抗）为纵坐标，绘制频率-模态阻抗曲线，共得到n条曲线，分别代表系统的n个谐振模态，曲线峰值处对应的横坐标为谐振频率，纵坐标为关键模态。当模态谐振曲线出现峰值时，可认为矩阵Λ趋于奇异。若谐振峰值处对应的模态导纳为λm，则矩阵Λ–1中对应的远大于其他特征值的倒数。由于矩阵T、L为正交矩阵，在谐振频率时节点电压阵U为式中：I为在谐振频率时节点电流阵；Tmn为矩阵T的第m行第n列元素；Lnm为矩阵L的第n行第m列元素。定义为模态m下节点i的参与因子，通过式（5）推导，得出参与因子的物理意义为：节点电压的平方之比等于参与因子之比，即参与因子可以作为系统发生谐振时各节点谐振电压的对应情况。某3节点系统在基频下的电路如图3所示。以该系统在465Hz处的1个谐振点为例，其3个母线对应的参与因子值以及各节点电压的比值，如表1所示。可以看出，参与因子与各节点电压平方占比对应了上文针对模态分析法参与因子的物理意义推导。图3

3节点系统

Fig.3

The3-nodesystem

表1

各节点参与因子和电压平方占比Table1

Theparticipatesinfactorandvoltagesquareratioofeach

node现有的模态分析可以得到的结果包括谐振频率点、母线参与因子以及绘制出的模态曲线。通过式（5）的进一步推导，给出了线路母线参与因子的物理解释。这从物理意义上解释了参与因子越大的母线，越可能称为谐振中心的原因。03谐振关键元件判别方法

现有基于模态分析法的元件参数灵敏度分析包含模态灵敏度分析和模态频率灵敏度分析。这2种灵敏度分析都是得出各元件的灵敏度数值，却无法给出影响谐振的关键元件。由于不同属性参数的取值范围差异，将这些元件参数灵敏度一起比较其数值大小的方式并不准确。电路中电容在数值上较电感小很多，其灵敏度分析结果也会小得多，二者一起比较可能会造成谐振关键元件判别的遗漏。3.1

模态灵敏度分析根据文献[18]，将灵敏度矩阵Sm表示为式中：S11=L1mTm1，其他元素依此类推。1）节点上并联元器件（节点与参考节点之间的元器件）参数模态灵敏度。将并联在节点上的元件表示为电导和电纳的（G+jB）形式，其灵敏度为式中：∂|λm|/∂Gii为节点i处并联电导元件的模态灵敏度；∂|λm|/∂Bii为节点i处并联电纳元件的模态灵敏度；Re(λm)、Im(λm)分别为模态导纳λm的实部、虚部；Re(Sii)、Im(Sii)分别为灵敏度矩阵Sm第i行第i列元素的实部、虚部。2）节点间串联元器件参数模态灵敏度。节点间的串联元件一般表现为电阻和电抗，因此用等效阻抗（Z=R+jX）代替导纳（Y=G+jB），其灵敏度为式中：∂|λm|/∂Ri−j为节点i和节点j之间串联电阻元件的模态灵敏度；∂|λm|/∂Xi−j为节点i和节点j之间串联电抗元件的模态灵敏度；Si−j为灵敏度矩阵Sm中元素Sii+Sjj−Sij−Sji的运算结果；Sij为灵敏度矩阵Sm的第i行j列元素；R为节点i和节点j之间串联电阻元件的初始值；X为节点i和节点j之间串联电抗元件的初始值。3.2

模态频率灵敏度分析根据文献，将频率灵敏度表示为模态频率灵敏度的求解由即和部分组成，其中的计算式为式中：Δf为设置的频率分辨率；为谐振频率f下对应λm的绝对值；分别为频率为f+2Δf、f–2Δf下λm的绝对值。计算式（10）中需在的基础上求其对f的偏导。为式中：yii为节点i处并联元器件的导纳表达式；α为并联元件的元器件参数。根据特征值灵敏度理论，即谐振关键模态1/λm对应的灵敏度矩阵第i行第i列的元素。将yii表示为yii=Gii+jBii的形式，则式（11）可写为需要指出的是，为降低矩阵的维数，这里基于文献[19]中灵敏度计算方法，在不增加导纳矩阵维数的前提下，利用灵敏度矩阵中元素的实部和虚部进行如下运算。节点i上并联元件的为同理，节点i和节点j之间串联元件的为式中：Gij为节点i和节点j之间的电导；Bij为节点i和节点j之间的电纳。以节点上并联元件为例，式（14）对频率f求偏导为式中：可以通过改变频率分辨率Δf获得，方法类比式（10）。节点上并联的元件支路和节点间串联的元件支路均使用RLC串联支路，表示为G+jB的形式，如图4所示。图4

RLC串联支路

Fig.4

RLC

connectsbranchesinseries

的参数计算，这里仅给出中α为L时的结果，具体表达式分别为通过式（15）计算得到将式（15）（10）代入式（9），即可计算系统元器件参数的频率灵敏度。3.3

关键元件判别模态阻抗的峰值点可能会因系统中参数在横向和纵向2个方面发生变化，如图5所示。横向指模态频率灵敏度∂f/∂α的影响，元件α的变化仅改变了谐振频率点，并未改变谐振模态峰值大小，如图5a)所示；纵向指模态灵敏度∂|λ|/∂α的影响，元件α的变化仅改变模态峰值的大小，而未改变谐振频率点的位置，如图5

b)所示；当模态峰同时受2种灵敏度共同影响时，谐振频率点和谐振峰值均发生变化，如图5c)所示。图5

模态阻抗峰受影响的情况

Fig.5

Thecasethataffectthemodeimpedancepeak

系统的固有并联谐振频率点由容性元件和感性元件的共同作用产生。但容性元件和感性元件之间会因单位不同以及取值范围差异，造成模态灵敏度和频率灵敏度的结果量级差异较大，无法进行谐振关键元件的判别。图3中各元件的灵敏度分析结果，如图6所示。一般容抗元件的值远大于感抗元件，并联谐振是由电感和电容共同作用所产生，而仅通过图6判断元件参数对谐振的影响可能会忽略容性元件的参与。图6

3节点系统元件灵敏度的值

Fig.6

Thevalueofthesensitivityinthe3-nodesystem本文提出一种考虑元器件取值范围量级差异的配电网谐振关键元件识别方法，同时考虑2种灵敏度结果在相应元器件属性内的占比，以此进行谐振关键元器件的判别。1）考虑模态灵敏度的影响，计算容性元件和感性元件的模态灵敏度在同属性内的占比，其表达式为式中：∂|λm|/∂Xi|%为模态m下（此时谐振频率对应为f）第i个感性元件的模态灵敏度占比；∂|λm|/∂Bi|%为模态m下第i个容性元件的模态灵敏度占比；∂|λm|/∂Xi为模态m下第i个感性元件的模态灵敏度；∂|λm|/∂Bi为模态m下第i个容性元件的模态灵敏度；∑|∂|λm|/∂X|为模态m下所有感性元件的模态灵敏度绝对值之和；∑|∂|λm|/∂B|为模态m下所有容性元件的模态灵敏度绝对值之和。由于固有谐振频率主要是感性元件和容性元件配合形成，这里仅考虑感性元件和容性元件的灵敏度占比。2）计算容性元件和感性元件的频率灵敏度在同属性内的占比，其表达式为式中：∂f/∂Xi|%为模态m下（此时谐振频率对应为f）第i个感性元件的模态频率灵敏度占比；∂f/∂Bi|%为模态m下第i个容性元件的模态频率灵敏度占比；∂f/∂Xi为模态m下第i个感性元件的模态频率灵敏度；∂f/∂Bi为模态m下第i个容性元件的模态频率灵敏度；为模态m下所有感性元件的模态频率灵敏度绝对值之和；为模态m下所有容性元件的模态频率灵敏度绝对值之和。3）谐振关键元件的判别。一般情况下感性元件中占比最大的几个感性与容性元件中占比最大的几个容性元件可认为是构成对应谐振频率的关键谐振元件组合。从谐振的2个维度（谐振幅值和谐振频率点偏移）上来判别系统的谐振关键元件，就要同时考虑谐振的模态灵敏度和频率灵敏度。谐振关键元件判别方程为式中：T1、T2分别为判别元件灵敏度占比的阈值。根据对网络的试验，可以根据需要得到的关键元件数量规模对阈值T进行调节。模态灵敏度占比和频率灵敏度占比中任一项指标高于阈值，即可认定元件为谐振关键元件。图3中按元件外特性分类后的灵敏度占比结果，如图7所示。图7

3节点系统元件灵敏度占比结果

Fig.7

Resultsofcomponentsensitivityratioof3-nodesystem

由图7可知，灵敏度占比较大的感性参数和容性参数分别为X1、X2和B2。而从图6中模态灵敏度值只能看出电抗X1和X2对谐振影响较大，从而忽略电纳参数B2对谐振的影响（电阻对谐振起抑制作用，不作为引起谐振的元件研究）。通过计算验证，节点3处电容和电感的谐振电路为B2//(X1+X2)构成的并联电路，得到谐振频率为489Hz与实际电路的465Hz较为接近。使用占比法可以较为准确地获取引起谐振的关键元器件参数和关键谐振电路。

04算例分析为验证谐振关键元件的分析方法，采用某高电缆化率的中压电网进行分析，如图8所示。其中，VSC采用光伏逆变器并网的诺顿等效模型见图1，负荷模型等效为阻抗处理。图8

某高电缆化率中压电网系统

Fig.8

Ahighcableratemediumvoltagegridsystem系统的谐振模态曲线如图9所示。计算最大模态阻抗随频率的变化，如图9a)所示，频次范围在1~100次内存在4个谐振峰值。由于第4个模态峰值与其他3个相比差异较大，这里单独给出了1~30次谐波的3个模态谐振曲线，如图9b)所示。图9

系统的谐振模态曲线

Fig.9

Resonancemodecurveofthesystem系统的主要谐振模态信息如表2所示。由于篇幅所限，仅选择一个由VSC作为主要参与元件的模态3（17.6次）进行详细分析，其灵敏度占比分析结果，如图10和图11所示。表2

系统的谐振模态信息Table2

Theresonancemodeinformationofthesystem图10

元件模态灵敏度占比Fig.10

Modalsensitivityratioofdevices

在图10和图11中，可以清晰看出同属类元件对模态峰的影响情况，取满足阈值的模态灵敏度元件和模态频率灵敏度元件的并集，得到谐振关键元件为节点2和节点3之间、节点11和节点13之间的感抗，节点12和节点13上VSC的容抗。在图8中，红色虚线标注的为模态3下的谐振关键元件，其余模态下关键元件也已用图中对应颜色标出。模态3对应最大参与因子的节点为节点13，故将该点作为谐振中心。由VSC2和ZT3及其后续电路并联形成谐振电路，即VSC2//[ZT3+(ZT1//VSC1)]。基于分析出的谐振关键元件以及构成的谐振电路，通过计算得到谐振频次（频率）为17.37次（869Hz），与实际谐振结果17.54次（877Hz）相差很小。由此，可以得到谐振关键电路，如图12所示。图11

元件模态频率灵敏度占比

Fig.11

Modalfrequencysensitivityratioofdevices图12

模态3的谐振关键电路

Fig.12

Theresonantkeycircuitofmode3通过PSCAD仿真，在谐振关键节点处注入单位幅值的谐振电流，观察谐振模态中关键谐振电路元件在谐振频率下，电压和电流相对基频时的放大响应比情况（谐振频率下元件电流与基频下元件电流的比值、谐振频率下节点电压与基频下节点电压的比值）。由于篇幅有限，这里仅给出部分支路上元器件电流的放大情况，如表3所示。表3

部分器件上电流放大响应比Table3

Currentamplificationresponseratioonsomedevices在表3中，节点13处注入相应频率的单位电流时，系统中其他电源置0处理。可以看出，相较于基频，谐振频率电流在系统中会引起元器件电流发生不同程度的放大情况（示例中大多数元件的电流放大响应比在2~200倍）。VSC作为谐振关键元件，放大响应比更明显，可达2000倍。系统中各节点在谐振模态下电压放大情况如表4所示。表4

谐振模态下节点电压放大响应比Table4

Nodevoltageamplificationresponseratioinresonantmode

由表4可知，在谐振模态下，系统中绝大多数节点电压都存在不同程度的放大，谐振关键元件附近的节点3、12和13电压放大状况更为明显，且节点13作为谐振关键节点，电压放大情况最严重，距