第3章 资金的时间价值与等值计算

工程经济学第3章资金的时间价值与等值计算资金的时间价值1资金时间价值复利计算的基本公式2资金时间价值基本公式的应用3常用的还本付息方式4电子表格的运用53.1资金的时间价值一、基本概念1、资金的时间价值：资金在不断运动过程中随时间的推移而产生的增值，也就是资金随时间变化而产生的资金价值的变化量。资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值。方案实施所发挥的经济效益所消耗的人力、物力和自然资源以资金的形式表现资金的价值随时间变化而变化资金增值3.1资金的时间价值资金的时间价值，可以从两个方面理解：资金随着时间的推移，其价值会增加，这种现象叫做资金增值。增值的原因是由于资金的投资和再投资。从投资者的角度来看，资金的增值特性使资金具有时间价值。资金一旦用于投资，就不能用于现期消费。从消费者的角度来看，资金的时间价值体现为对放弃现期消费的损失所应做的必要补偿。3.1资金的时间价值2、影响资金时间价值的因素影响资金时间价值的因素资金投入和回收的特点资金周转的速度资金使用的大小资金使用的时间3.1资金的时间价值有一个总公司面临两个投资方案A、B，寿命期都是4年，初始投资也相同，均为10000元。实现利润的总数也相同，但每年数字不同，具体数据如下：如果其他条件都相同，我们应该选用哪个方案呢年末A方案B方案0-10000-100001+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+70003.1资金的时间价值另外两个方案C和D，其他条件相同，仅现金流量不同。你的选择是什么3.2资金时间价值复利计算的基本公式利息一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值，用“I”表示。利率利息递增的比率，用“i”表示。例：某人现借得本金1000元，一年后付息80元，年利率为：二、资金时间价值的度量影响利率大小的主要因素有：社会平均利润率：利率的高低首先取决于社会平均利润率的高低，并随之变动；借贷资本的供给：在平均利润率不变的情况下，利率高低取决于金融市场上借贷资本的供给情况；风险：借出资本要承担一定的风险，风险越大，利率也就越高；通货膨胀：通货膨胀对利息的波动有直接影响：即对因货币贬值造成的损失所应做的补偿；借出资本的期限长短：贷款期限长，不可预见因素多，风险大，利率也就高；反之利率就低。3.2资金时间价值复利计算的基本公式计息周期计算利息的时间单位，用“T”表示。通常用年、月、日表示，也可用半年、季度来计算。计息期数投资方案在整个寿命周期内的计算利息的次数，等于方案寿命周期÷计息周期，用“n”表示3.2资金时间价值复利计算的基本公式按当期利息是否作为下一个计息周期的本金，分为单利计息、复利计息两种方式。3.2资金时间价值复利计算的基本公式三、资金时间价值的计息方式单利：每期均按原始本金计息，不计入先前计息期中所累积增加的利息（利不生利）如果最初本金为P，则在n计息期末总利息：n个计息期末的本利和：I=

p·i·nF=P+I=P+P·i·n=P(1+i·n)例题1：假如以年利率6%借入资金1000元，共借4年，4年后一次偿还，单利计息。其偿还的情况如何？3.2资金时间价值复利计算的基本公式复利：

先前周期内的利息要计算利息（利滚利）公式推导如下：3.2资金时间价值复利计算的基本公式计息方式例题1：假如以年利率6%借入资金1000元，共借4年，4年后一次偿还，复利计息。其偿还的情况如何？3.2资金时间价值复利计算的基本公式根据上表可得到以下公式：

若本金为1000元，计息期利率为5%，则采用单利和复利的本利和比较如表所示：3.2资金时间价值复利计算的基本公式例题2：某人为购房向银行贷款300000元，3%的年利率，10年后还清本利。问按单利和复利计息法，他到期应支付本利分别为多少？3.2资金时间价值复利计算的基本公式例3复利的威力1626年荷兰西印度公司花了24美元从印第安人手中买下了曼哈顿岛。而到了2000年1月1日，曼哈顿岛的价值已经达到了约2.5万亿美元。这笔交易无疑很划算。但是，如果改变一下思路，西印度公司也许没有占到便宜。如果当时印第安人拿着这24美元去投资，分别按照8%的单利和复利利率计算，结果如下：单利：24×(1+8%×374)=742美元复利：24×(1+8%)374≈76万亿美元实际生活中，复利应用远多于单利计算，更符合资金的时间价值，所以没有特别说明，利息都按照复利计算。3.2资金时间价值复利计算的基本公式利息和利率在工程经济活动中的作用：利息和利率在工程经济活动中的作用是宏观经济管理的重要杠杆是金融业经营发展的重要条件促进投资者加强经济核算节约使用资金以信用方式动员和筹集资金的动力3.2资金时间价值复利计算的基本公式现值（PresentValue，PV或NPV）现值也称折现值、贴现值、资本化价值，是指把未来现金流量折算为基准时点的价值，用以反映投资的内在价值，用“P”表示。是现在和将来（或过去）的一笔支付或支付流在今天的价值。现值的概念非常有用：一种有趣的用途是来确定彩票中奖金额究竟价值多少。例如，加利福尼亚州政府通过广告宣称它有一项彩票的奖金为一百万美元。但那并不是奖金的真正价值。事实上，加利福尼亚州政府承诺在二十年内每年付款50000美元。如果贴现率是10%且第一笔账及时到户，则该奖金的现值只有468246美元。3.2资金时间价值复利计算的基本公式一、时值将来值（FutureValue，FV）相对于现值的任何以后时间的价值，用“F”表示。也称终值；本利和现值+复利利息=将来值等额支付值（UniformSeriesAmount）在一段时间内的每个相等的时间段末都有数额相等的货币量流入或流出（只有一个方向），这一系列的货币量被成为“等额支付值”，用“A”表示。3.2资金时间价值复利计算的基本公式在某项经济活动中，如果两个方案的经济效果相同，就称这两个方案是等值的。3.2利息公式二、等值的概念一次支付复利公式（PF）

例如在第一年年初，以年利率6%投资1000元，则到第四年年末可得之本利和？

F=P(F/P,6%,4)=1000×1.2625=1262.5元3.2资金时间价值复利计算的基本公式三、利息的计算公式一次支付现值公式（FP）例如年利率为6%，如在第四年年末得到的本利和为1262.5元，则第一年年初的投资为多少？

P=F(P/F,6%,4)=1262.5×0.7921=1000元3.2资金时间价值复利计算的基本公式【练习】1、请算出下列现在借款的将来值为多少？借款8000元，借期8年，年利率为10%。借款11000元，借期52年，年利率为8%。2、请算出下列将来支付的现值为多少？第6年年末为5500元，年利率为9%。第37年年末为6200元，年利率为12%。3.2资金时间价值复利计算的基本公式等额支付系列复利公式（AF）3.2资金时间价值复利计算的基本公式即

以（1+i）乘（1）式，得

3.2资金时间价值复利计算的基本公式例如连续5年每年年末借款1000元，按年利率6%计算，第5年年末积累的借款为多少？解：

3.2资金时间价值复利计算的基本公式等额支付系列积累基金公式（FA）3.2资金时间价值复利计算的基本公式【练习】1、请算出下列等额支付的将来值为多少？每年年末借款500元，连续借12年，年利率为6%。2、请算出下列将来值的等额支付为多少？每年年末支付一次，连续支付8年，8年末积累金额15000元，年利率为6%。3.2资金时间价值复利计算的基本公式等额支付系列资金恢复公式（PA）3.2资金时间价值复利计算的基本公式等额支付系列现值公式（AP）3.2资金时间价值复利计算的基本公式【练习】1、请算出下列现在借款的等额支付为多少？借款5000元，第1年年末开始归还，连续5年，分5次还清，利息按年利率4%计算。2、请算出下列等额支付的现值为多少？每年年末支付3500元，连续支付8年，年利率为7%。3.2资金时间价值复利计算的基本公式均匀梯度系列公式梯度等差额：当各期的支出或收入是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或收入的差额，用“G”表示。3.2资金时间价值复利计算的基本公式3.2资金时间价值复利计算的基本公式3.2资金时间价值复利计算的基本公式3.2资金时间价值复利计算的基本公式

3.2资金时间价值复利计算的基本公式【例题】请算出下列梯度系列等值的年末等额支付为多少？第1年年末借款1000元，以后3年每年递增借款100元，利息按年利率5%计算。3.2资金时间价值复利计算的基本公式利息公式汇总表3.2资金时间价值复利计算的基本公式各系数之间关系（1）倒数关系（2）乘积关系（3）特殊关系3.2资金时间价值复利计算的基本公式运用利息公式应注意的问题：为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末；本年的年末即是下一年的年初；P是在当前年度开始时发生；F是在当前以后的第n年年末发生；A是在考察期间各年年末发生。均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第二年年末。当问题包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生；当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；3.2资金时间价值复利计算的基本公式『例』：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i。解：3.2资金时间价值复利计算的基本公式『例』：有如下图示现金流量，解法正确的有（）AC3.2资金时间价值复利计算的基本公式当利率的时间单位与计息期不一致时：有效利率（EffectiveInterestRate）——资金在计息期发生的实际利率。名义利率（NominalInterestRate）——当计息期小于一年时，每个计息期的有效利率乘以一年中的计息期数，所得的年利率。3.3资金时间价值基本公式的应用一、名义利率和有效利率例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为3%，则3%——（半年）有效利率如上例为——（年名义利率）年有效利率是多少？3.3资金时间价值基本公式的应用如果名义利率为r，一年中计息n次，求年有效利率i。离散式复利——按期（年、季、月和日）计息的方法。解：每个计息期的有效利率为r/n，根据一次支付复利系数公式，年末本利和为：F=P(1+r/n)n。按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率i为：3.3资金时间价值基本公式的应用『例』：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为16%，计息每年一次。乙银行年利率为15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠些？3.3资金时间价值基本公式的应用下表给出了名义利率为12%分别按不同计息期计算的有效利率：3.3资金时间价值基本公式的应用连续式复利——按瞬时计息的方式。在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为：式中：e自然对数的底，其数值为2.718283.3资金时间价值基本公式的应用3.3资金时间价值基本公式的应用计息期为一年的等值计算二、计息期为一年的等值计算『例』：当利率为8%时，从现在起连续6年的年末等额支付为多少时与第6年年末的10000等值？解：3.3资金时间价值基本公式的应用『例』：假定现金流量是：第6年年末支付300元，第9、10、11、12年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15、16、17年年末各获得80元。按年利率5%计息，与此等值的现金流量的现值P为多少？3.3资金时间价值基本公式的应用『解』：也可用其他公式求得3.3资金时间价值基本公式的应用『例』：当利率为多大时，现在的300元等值于第9年年末的525元？解：93.3资金时间价值基本公式的应用如计息期短于一年，仍可利用以上的利息公式进行计算，这种计算通常可以出现下列三种情况：计息期和支付期相同直接用七个复利公式进行计算3.3资金时间价值基本公式的应用二、计息期短于一年的等值计算『例』：年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，连续3年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第0年的现值为多大？解：3.3资金时间价值基本公式的应用『例』：求等值情况下的利率。假如有人目前借入2000元在今后两年中分24次等额偿还，每次偿还99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。解：3.3资金时间价值基本公式的应用计息期短于支付期『例』按年利率为12%，每季度计息一次，从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？3.3资金时间价值基本公式的应用『第一种方法』：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：A=？3.3资金时间价值基本公式的应用3.3资金时间价值基本公式的应用『第二种方法』：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。3.3资金时间价值基本公式的应用『第三种方法』：将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。3.3资金时间价值基本公式的应用计息期长于支付期有时还会遇到计息期大于支付期的现金支付情况，如某项存款按季计息，但在季度期间（如2月份）存入或取出。从理论上讲，存款必须存满一个计息期才计算利息，因此这种情况的处理原则是：在计息期所收或付的款项不计算利息。在某计息期间存入的款项，相当于在下一个计息期初存入这笔金额。在计息期内提取的款项，相当于在前一个计息期末提取了这笔金额。3.3资金时间价值基本公式的应用『例』：已知某项目的现金流量图如图所示，计息期为季度，年利率为12%，求1年末的金额。存入的后移，提取的前移(假定箭头向下为存入，箭头向上为提取)60030030030015015015020025012111098765432140018006004003002006003002501501803.3资金时间价值基本公式的应用『例题』

某工程项目在银行的存取款情况如图所示。已知年利率为12%，按季计息，求终值。3.3资金时间价值基本公式的应用3.3资金时间价值基本公式的应用3.4常用的还本付息方式贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中；每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。适合人群：便于借款人记忆和均匀地筹集还款数额。收入处于稳定状态的人群以及买房自住，经济条件不允许前期投入过大的人。一、等额本息还款（等额还款）『例题』：向银行贷款100万，年利率为5.94%，分5年等额还款，求等额支付值为多少？年份12345合计年初欠款10082.2463.4243.4922.37311.52年初还本付息23.723.723.723.723.7118.5其中付息5.944.893.772.581.3318.5还本17.7618.8219.9321.1222.37100年末欠款82.2463.4243.4922.370等额本息还款（等额还款）3.4常用的还本付息方式将本金分摊到每个月内，同时付清上一还款日至本次还款日之间的利息；借款人在开始还贷时，每月负担比等额本息要重；随着时间推移，还款负担便会逐渐减轻；这种还款方式相对同样期限的等额本息法，总的利息支出较低；适合人群：3.4常用的还本付息方式收入较高，以后收入可能降低的人群；如果当房贷利率进入到加息周期后，等额本金还款法也会更具优势。二、等额本金还款（等额还本）『例题』：向银行贷款100万，年利率为5.94%，分5年等额还本，求每年末的支付值分别为多少？年份12345合计年初欠款10080604020300年初还本付息25.9424.7523.5622.3821.19117.82其中付息5.944.753.562.381.1917.82还本2020202020100年末欠款806040200等额本金还款（等额还本）3.4常用的还本付息方式债权人在偿还期内的每个支付期末获得本金（票面值）的利息债权人在偿还期末获得本金和最后一个支付期的本金利息利息总额较多：偿还期内每个支付期的计息基数相同，利息相同常见于债券偿付3.4常用的还本付息方式三、每期付息到期一次还本『例题』：向银行贷款100万，年利率为5.94%，分5年每期付息到期一次还本，求每年末的支付值分别为多少？年份12345合计年初欠款100100100100100500年初还本付息5.945.945.945.94105.94129.7其中付息5.945.945.945.945.9429.7还本0000100100年末欠款1001001001000每期付息到期一次还本3.4常用的还本付息方式银行在建设期给予一定时间的宽限期，在此期间既不付息也不还本，但所发生的利息累积计入本金一次总付。总付的金额相当于用复利公式计算的本利和。3.4常用的还本付息方式常见于投资较大、建设期较长的项目贷款。该方式的累计利息代数和最大。四、本息到期一次总付『例题』：向银行贷款100万，年利率为5.94%，分5年本息到期一次总付，求每年末的支付值分别为多少？年份12345合计年初欠款100105.94112.23118.9125.96563.03年初还本付息0000133.44133.44其中付息000033.4433.44还本0000100100年末欠款105.94112.23118.9125.960本息到期一次总付3.4常用的还本付息方式先按合同计算贷款期限内应计利息的总额，然后把利息总额平均加到每期的还本额中去，一般按单利计算利息。错觉：似乎利率低、且是单利3.4常用的还本付息方式常见于单笔额度小，单位额度贷款的手续管理费高的贷款。实际上：年有效利率高于以上复利计息，称之为add-oninterestloan五、利息加总等额还款『例题』：向银行贷款100万，年利率为5.94%，分5年利息加总等额还款，求每年末的支付值分别为多少？年份12345合计年初欠款10080604020300年初还本付息25.9425.9425.9425.9425.94129.7其中付息5.945.945.945.945.9429.7还本2020202020100年末欠款806040200利息加总等额还款总利息：每年还款额：3.4常用的还本付息方式3.5电子表格的运用直接套用函数现值：PV(rate，nper，pmt，fv，type)其中，rate--利率;nper--总投资期，即该项投资总的付款期数；pmt--各期支付金额；fv--未来值，在pv函数中，若pmt参数为0或省略，则函数值为复利现值；type只有数值0或1，0或省略表示首付时间是期末，1表示收付时间是期初。【例】年利率为5%，终值为2000元，计算5年期的现值。解:直接在Excel某单元格中输入“=PV(5%，5，，2000)”，运算单元格后得到结果:-1567.05。【例】年利率为5%，年金为400元，计算5年期的年金现值。解:直接在Excel某单元格中输人“=PV(5%，5，400)”运算单元格后得到结果:-1731.79。3.5电子表格的运用直接套用函数将来值：FV(rate，nper，pmt，pv，type)其中，rate--利率;nper--总投资期，即该项投资总的付款期数；pmt--各期支付金额；pv--现值，也称为本金。该参数如果为0或省略，则函数值为年金终值；type只有数值0或1，0或省略表示首付时间是期末，1表示收付时间是期初。【例】年利率为5%，现值为2000元，计算