直线与圆、圆与圆的位置关系 高三数学一轮复习

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识1.直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.位置关系几何法代数法相交d________rΔ________0相切d________rΔ________0相离d________rΔ________0<>＝＝><

则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系________________________________________图示公切线条数40213d>r1＋r20≤d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2【常用结论】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

夯

实

基

础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(

)(2)在圆中最长的弦是直径．(

)(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交．(

)(4)联立两相交圆的方程，并消去二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程．(

)√√×√

答案：B

3．(教材改编)圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆(x－1)2＋(y－4)2＝16的位置关系是(

)A．外切 B．内切C．相交 D．相离答案：C

4．(易错)过点P(2，4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(

)A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝0答案：C

5．(易错)若半径为r，圆心为(0，1)的圆和定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则r＝_____________．

课堂互动探究案1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．问题思考·夯实技能【问题1】几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？

【问题2】将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？答案：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”．判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．答案：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在直线．关键能力·题型剖析题型一

直线与圆的位置关系例1(1)已知M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l：ax＋by＝r2，则(

)A．m∥l且l与圆相交B．m⊥l且l与圆相离C．m∥l且l与圆相离D．m⊥l且l与圆相交答案：C

答案：A

题后师说判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆上或圆内，可判断直线与圆相交或相切．巩固训练1(1)设m∈R，则直线l：mx＋y－m－1＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系为(

)A．相离

B．相切C．相交或相切

D．相交答案：

C

解析：因为mx＋y－m－1＝0，所以m(x－1)＋y－1＝0，即直线恒过定点(1，1)；因为点(1，1)恰在x2＋y2＝2上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切．故选C.

－4

答案：

B

(2)[2024·湖北荆州模拟]若直线x－2y＋a＝0被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则实数a的值为__________．1解析：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径r＝1，弦长为2，则直线过圆心，即1－2＋a＝0，解得a＝1.题后师说角度二切线问题例3(1)[2024·河北张家口模拟]过点P(1，1)作圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0的切线，则切线方程为(

)A．x＋y－2＝0B．2x－y－1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－2y＋1＝0或2x－y－1＝0答案：

C

答案：D

题后师说求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．

答案：

A

答案：D

题后师说涉及与圆的弦长、切线有关线段长度的最值(范围)问题，解题的关键是弄清楚圆心到已知直线的最短距离，然后再解决问题．巩固训练2(1)[2024·吉林延边模拟]经过P(2，3)向圆x2＋y2＝4作切线，切线方程为(

)A．5x－12y＋26＝0B．13x－12y＋10＝0C．5x－12y＋26＝0或x＝2D．13x－12y＋10＝0或x＝2答案：C

(2)[2024·广东深圳模拟]若过点M(2，1)的直线l与圆O：x2＋y2＝8交于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为(

)A．2x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．2x＋y－5＝0答案：D

答案：

BD

(2)[2024·山东潍坊模拟]已知圆C：x2＋y2－4xcosθ－4ysinθ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是_________．x2＋y2＝16解析：圆C标准方程为(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝4，圆C的圆心为(2cosθ，2sinθ)，半径为2，由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，故圆C上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D的方程是：x2＋y2＝16.题后师说(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．(3)求两圆公共弦长时，在其中一圆中，弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，利用勾股定理求解．巩固训练3(1)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4，则圆C1与C2的位置关系是(

)A．内含

B．相交C．外切

D．相离答案：D

(2)[2024·河南驻马店模拟]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为(

)A．2ax＋by－1＝0

B．2ax＋by－3＝0C．2ax＋2by－1＝0

D．2ax＋2by－3＝0答案：D

答案：B

2．(多选)[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l：ax＋by－r2＝0(r>0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(

)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案：ABD

3．[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋