函数模型的应用同步练习 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第第页4.5.3函数模型的应用一、必备知识基础练1.[探究点一·2024陕西西安高一期末]如今我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=eax+b(a,b为常数),若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时,在24℃的保鲜时间为8小时,那么在12℃时,该果蔬的保鲜时间为()A.16小时 B.24小时 C.36小时 D.72小时2.[探究点三]有一组实验数据如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()A.V=log2t B.V=log12t C.V=t2-12 3.[探究点二](多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)(A.6 B.9 C.8 D.74.[探究点二]大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)与鲑鱼的耗氧量的单位数P的关系为v=12log3P100,则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为(A.1 B.100 C.200 D.3005.[探究点一]已知某个病毒经30min可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=,经过5h,1个病毒能繁殖个.6.[探究点一]物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·(12)

tℎ,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到35℃时,需要多少时间?(参考数据:lg11≈1.7.[探究点三]某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线,本年度第一季度统计数据如下表:月份1月2月3月小型汽车数量x/辆306080创造的收益y/元480060004800(1)根据上表数据,从下列三个函数模型中:①y=ax+b,②y=ax2+bx+c,③y=ax+b(a,b,c为常数,且a≠0)选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量x(单位:辆)与创造的收益y(单位:元)之间的关系,并写出这个函数关系式;(2)利用上述你选取的函数关系式计算,若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上,那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车?二、关键能力提升练8.为了给地球减负,提高资源利用率,2020年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚,假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是()(参考数据:lg1.2≈0.079,lg2.56≈0.408)A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年9.(多选题)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化、相对统一的和谐美.定义:圆O的圆心在原点,若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分,则这个函数称为圆O的一个“太极函数”,则下列说法正确的是()A.对于圆O,其“太极函数”有且只有1个B.函数f(x)=x2-x(x≥0C.函数f(x)=x3-3x不是圆O的“太极函数”D.函数f(x)=ln(x2+1+x)是圆O的一个“10.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm(ppm为浓度单位,1ppm表示百万分之一),经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间存在函数关系y=27-mt(m为常数),则m=;若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常,那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.11.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:①第4个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是t1,t2,t3其中所有正确的叙述是.(填序号)12.为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少23,设水过滤前的量为1,过滤次数为x(x∈N*)时,水的杂质含量为y(1)写出y与x的函数关系式;(2)假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求?(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)13.[2024宁夏银川高一期末]某科研机构对某变异毒株在特定环境下进行观测,每隔单位时间T进行一次记录,用x表示经过单位时间的个数,用y表示此变异毒株的数量,单位为万个,得到如下观测数据:x/T123456…y/万个…10…50…250…若该变异毒株的数量y(单位:万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y=px2+q(p>0)与y=kax(k>0,a>1)可供选择.(1)判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求至少经过多少个单位时间,该变异毒株的数量不少于一亿个.(参考数据:5≈2.236,6≈2.449,lg2≈0.301,lg6≈0.778)三、学科素养创新练14.某地区为响应上级号召,在2022年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房面积的年平均增长率只能达到5%.(1)设经过x年后,该地区的廉价住房面积为y万平方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域.(2)作出函数y=f(x)的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房面积能达到300万平方米?答案1.D由题设216=e6a所以x=12时,ax+b=-2ln3+4ln3+3ln2=ln72,此时y=eln72=72小时.故选D.2.C当t=4时,选项A中的V=log24=2,选项B中的V=log124选项C中的V=42-12选项D中的V=2×4-2=6,故选C.3.BC设经过n次过滤,产品达到市场要求,则2100×23由nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥1+lg2lg3-lg2≈4.B因为v=12log3P100,所以当鲑鱼静止时,v1=0m/s,即12log3P100=0,所以P=100.故选B.5.2ln21024当t=0.5时,y=2,∴2=e12k,∴k=2ln2,∴y=e2tln当t=5时,y=e10ln2=210=1024.6.解由题意知40-24=(88-24)·(12即14=(12)

20故T-24=(88-24)·(12当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24)·(12)

t10两边取对数,求得t≈25.因此,降温到35℃约需要25min.7.解(1)选取②y=ax2+bx+c,由题表可知,随着x的增大,y的值先增大后减小,而函数y=ax+b及y=ax+b均为单调函数,故不符合题意,所以选取②y=ax2+bx+c,将(30,4800),(60,6000),(80,4800)三点分别代入函数解析式y=ax2+bx+c中,可得二次函数图象的对称轴为直线x=30+802=55,故可将函数解析式设为y=a(x-55)2+h即得到52a所以y=-2(x-55)2+6050=-2x2+220x=ax2+bx+c,所以a=-2,b=220,c=0.(2)设在一周内大约应生产x辆小型汽车,根据题意,可得-2x2+220x>6020,即-2x2+220x-6020>0,即x2-110x+3010<0,因为Δ=1102-4×3010=60>0,所以方程x2-110x+3010=0有两个实数根x1=55-15,x2=55+15,由二次函数y=x2-110x+3010的图象可知不等式的解为55-15<x<55+15.因为x只能取整数值,所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量满足53≤x≤58且x∈N时,这家工厂能够获得6020元以上的收益.8.C设2020年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元,则5000(1+20%)x>12800,即1.2x>2.56,解得x>log1.22.56=lg2.56lg1.则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是2026.故选C.9.BD对于选项A,圆O的“太极函数”不止一个,故选项A错误;对于选项B,由于函数f(x)=x2-x(x≥0),-x2-x(x<0),当x≥0时,f(-x)=-x2+x=-f(x);当x<0时,f(-x所以根据对称性可知函数f(x)=x2-x(x≥0),-x2-对于选项C,函数f(x)=x3-3x的定义域为R,f(-x)=-x3+3x=-f(x),f(x)=x3-3x也是奇函数,故函数f(x)=x3-3x是圆O的“太极函数”,故选项C错误;对于选项D,函数f(x)=ln(x2+1+x)的定义域为R,f(-x)=ln(x2+1-x)=ln-ln(x2+1+x)=-f(x),f(x)=ln(x2+1+x)也是奇函数,故函数f(x)=ln(x2+1+x)是圆O的“太极函数”,故选项10.1432∵函数y=27-mt(m为常数)经过点∴64=27-4m,解得m=14.故y=2由27-14t≤故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.11.①③由图象可得,当t=2时,y=49,即a2=4解得a=23.故y=2所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=234=1681第一个月的减少量为1-23第二个月的减少量为23−232=2③由已知23所以23t1+t2=23t1×2312.解(1)因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少23所以每次过滤后所含的杂质是前一次的13,故y=a%×13x,x∈(2)设至少经过x次过滤才能使矿泉水达到要求,则a%×13x≤0.002所以13所以lg(13)x≤lg21000,即xlg1所以x≥3-lg2lg3≈3-0.3010.477≈5.故至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.13.解(1)若选y=px2+q(p>0),将x=2,y=10和x=4,y=50代入可得4解得p所以y=103x2-103.将x=6代入,得y=350若选y=kax(k>0,a>1),将x=2,y=10和x=4,y=50代入可得ka2=10,ka4=50,解得k=2,a=5所以选择y=kax(k>0,a>1)更合适,解析式为y=2(5(2)设至少需要x个单位时间,则令2(5)x≥10000,即(5两边同时取常用对数可得xlg5≥lg5+3,则x≥lg5+3lg5=lg5+312lg5=2+312因为x∈N*,所以x的最小值为11.故至少经过11个单位时间该变异毒株的数量不少于一亿个.14.解(1)经过1