1.1集合的概念（第1课时集合的概念与几种常见的数集）课件高一上学期数学人教A版

1.1

集合的概念第1课时集合的概念与几种常见的数集第一章集合与常用逻辑用语人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习单元1

集合

集合是数学的基础,它能简洁、准确地表述数学的研究对象,表达和交流数学问题.作为一个数学研究对象,同“数”的研究类似,遵循基本的研究路径:定义→关系→运算(见右图—集合知识结构图).这是本学习单元的知识明线.简单说来,在掌握集合知识的同时,还要获得如何研究一个数学对象的基本经验.

本学习单元的最终目标就是掌握集合语言的使用,分三个阶段来进行:一是读懂问题中的集合概念和符号;二是处理问题时,能根据需要运用集合语言进行表述;三是根据情境需求能进行三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)的转换.这也正是本学习单元的素养暗线.

在掌握集合语言的过程中,逐渐熟悉集合的抽象性,积累数学抽象的经验,提升数学抽象素养.学习目标1.通过实例,了解集合的含义.(数学抽象)2.掌握集合中元素的三个特性.(直观想象)3.理解元素与集合的关系.(数学抽象)4.了解常用数集及其记法.(数学抽象)基础落实·必备知识一遍过知识点一:元素与集合的概念一般地,我们把

统称为元素,通常用小写字母a,b,c,…表示.把一些元素组成的

叫做集合(简称为集),通常用大写字母A,B,C,…表示集合.

遵循一般的约定

研究对象总体名师点睛集合的三个特性(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样,都只是描述性的说明.(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.微思考你能举例说出初中阶段我们在代数方面学习过的集合吗?提示

自然数集合,有理数集合,实数集合,方程解的集合,不等式解的集合.知识点二:集合中元素的特性1.集合中元素的三特性:

、

、

.

2.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是

的.

无顺序之分

确定性互异性无序性相等名师点睛对集合中元素的特性的理解(1)确定性是集合的基本特征,没有确定性就不能构成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例如:“组成good中的字母集合的元素是g,o,o,d”这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“o”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素.根据互异性,正确的说法应为“单词good中的字母组成集合的元素有3个,分别为g,o,d”.(3)无序性是指集合内的元素是无序的.微思考按照集合的定义,能找出符合下面的条件的集合吗?①某班比较胖的同学;②某班体重超过90

kg的同学.提示

①不能,因为“胖”没有一个确定的标准;②能,因为“超过90

kg”是一个确定的标准.知识点三:元素与集合的关系

关系概念记法读法属于如果

中的元素,就说a属于集合A

a属于集合A不属于如果

中的元素,就说a不属于集合A

a不属于集合Aa是集合Aa∈Aa不是集合Aa∉A名师点睛

区别与联系概念上的区别符号上的区别联系概念元素研究对象小写字母a,b,c,…a∈A或a∉A集合一些对象组成的整体大写字母A,B,C,…微思考(1)符号“∈”和“∉”的写法与以前学过的什么符号有类似性?

(2)如何准确理解符号“∈”和“∉”?提示

与符号“=”和“≠”有类似性.提示

符号“∈”和“∉”是表示元素与集合之间的关系,只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.知识点四:常用数集及其记法

数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集字母表示

NN*或N+ZQR微思考(1)非负整数集与正整数集有何区别?

(2)最小的自然数是什么?提示

非负整数集包括0,而正整数集不包括0.提示

由于自然数又称为非负整数,因此最小的自然数是0.重难探究·能力素养速提升探究点一集合的概念问题1怎样的对象全体可以构成一个集合?【例1】

给出下列各组对象:①我们班中比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥

的近似值的全体.其中能够构成集合的有(

)A.1个

B.2个 C.3个

D.4个分析

判断一组对象能否构成集合,就看判断标准是否明确.B解析

①②③⑥不能构成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以构成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.规律方法

判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.应特别注意,含有不确定的模棱两可的对象,不是数学意义上的集合.本题中①②③⑥都含有范围不确定的对象.变式训练下列各组对象不能构成集合的是(

)A.某教室内的全部桌子B.2024年高考数学难题C.所有有理数D.小于π的正整数B解析

“某教室内的全部桌子”属于确定的概念,故能构成集合;由于难题属于不确定的概念,因此“2023年高考数学难题”不能构成集合;由于任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;小于π的正整数分别为1,2,3,能够组成集合.故选B.探究点二集合中元素的特性及其应用问题2集合中的元素除了确定性外,是否还有其他特性?【例2】

已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.分析

由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行

检验.解因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,解得a=-1或a=-.当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,集合A不满足元素的互异性,所以舍去a=-1.当a=-时,经检验,符合题意.故a=-.问题3两个集合相等,本质上反映了集合的元素具备怎样的特性?【例3】

设a,b∈R,集合A中含有1,a+b,a3个元素,集合B中含有0,,b3个元素.若集合A和集合B是相等的,则b-a=(

)A.2 B.-1 C.1 D.-2A解析

由已知,a≠0,故a+b=0,则

=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.规律方法

集合中的元素除了确定性外,还有互异性、无序性.在涉及含字母的集合中元素问题时,在根据题意求得其中元素(或字母)的值以后,要注意检验所求字母的值是否满足集合中元素的性质,尤其是是否满足集合中元素的互异性.探究点三元素与集合的关系问题4如何判断一个元素是否属于一个集合?【例4】

(1)已知不等式2x-5<0的解集为M,则以下表示方法正确的是(

)A.0∈M,3∈M

B.0∉M,3∈MC.0∈M,3∉M

D.0∉M,3∉MC(2)若以正实数x,y,z,w4个元素构成集合A,以A中4个元素为边长构成的四边形可能是(

)A.梯形

B.平行四边形C.菱形

D.矩形A解析

由于集合中的元素具有互异性,所以正实数x,y,z,w互不相等.因为平行四边形、菱形、矩形都有相等的边,而梯形四边不一定相等,故以集合A中四个元素为边长构成的四边形可能是梯形,故选A.规律方法

判断元素与集合的关系的两种方法(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的.(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A的特征;若a不属于集合A,则元素a就不具有集合A的特征.【例5】

已知A={(x,y)|y=x2,x∈R},则(

)A.-1∈A B.1∈AC.(-1,1)∈A D.(1,-1)∈AC解析

因为A={(x,y)|y=x2,x∈R},故当x=-1时,y=1,从而点(-1,1)在抛物线y=x2上,即(-1,1)∈A.故选C.【例6】

已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解为元素构成的集合.(1)1是A中的一个元素,求集合A中的其他元素;(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B中元素的个数;(3)若A中至多有一个元素,试求a的值的情况.解(1)若1是A中的一个元素,则只需a+2+1=0,解得a=-3,此时由-3x2+2x+1=0可知x=1或x=-.则集合A中的另一个元素为-.(2)当a=0时,原方程化为2x+1=0,解得x=-,满足条件;当a≠0时,只需Δ=4-4a=0,即a=1,故所求a的值为0或1,因此集合B中元素的个数为2.(3)A中至多有一个元素时包括方程有1个解或无解.当方程中有1个解时,由(2)可知a的值为0或1;当方程无解时,只需Δ=4-4a<0,即a>1.因此A中至多有一个元素时,a=0或a≥1.规律方法

求解一类关于x的方程ax2+bx+c=0的解集关于x的方程ax2+bx+c=0的解集类问题,实质是通过对二次项系数a的讨论来考查思维的严谨性.当a≠0时,该方程是关于x的一元二次方程;当a=0,b≠0时,是关于x的一元一次方程.求解此类方程的解集问题,要注意根据二次项的系数是否为0判断其是否为一元二次方程,当a≠0时,可借助判别式的符号求解.学以致用·随堂检测促达标1234567891011A级必备知识基础练1.下列关系中正确的是(

)C12345678910112.若a是集合R中的元素,但不是集合Q中的元素,则a可以是(

)A.3.14 B.-5D12345678910113.(多选题)下列结论正确的是(

)A.若a∈N,则-a∉NB.若a∈Z,则a2∈ZC.若a∈Q,则|a|∈QD.若a∈R,则

∈RBCD解析

A错误.比如,0∈N,-0∈N.其余均正确.12345678910114.(多选题)由a2,2-a,4组成一个含有3个元素的集合A,则实数a的取值不可能是(

)A.1 B.-2C.-1 D.2ABD解析

由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,结合选项知a不可能是ABD.12345678910115.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为

.

1解析

由题意得x+2=1或x2=1,所以x=1或x=-1.当x=-1时,x+2=x2,不符合题意,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x2=1,满足题意.故x=1.12345678910116.若方程x2-ax+2=0的解集为M,且1∈M,则a=

,集合M中的另一个元素是

.

32解析

由于1∈M,因此1是方程x2-ax+2=0的一个根,将1代入可得a=3,当a=3时,方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2,因此集合的另一个元素是2.12345678910117.给出下列说法:①在一个集合中可以找到两个相同的元素;②好听的歌能组成一个集合;③高一(1)班所有姓氏能构成集合;④把1,2,3三个数排列,共有6种情况,因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3B解析

①集合中的元素不能相同,所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素,因此本序号说法不正确;②因为好听的歌标准不确定,所以好听的歌不能组成一个集合,因此本序号的说法不正确;③因为高一(1)班所有姓氏是确定的,所以可以构成一个集合,因此本序号的说法是正确的;④根据集合元素的无序性,由这三个数组成的集合只有一个,因此本序号说法不正确.因此正确的说法个数为1,故选B.B级关键能力提升练12345678910118.

由实数

所组成的集合,最多含元素个数为(

)A.2 B.3C.4 D.5A1234567891011B级关键能力提升练9.(多选题)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,则a为(

)A.2 B.4 C.0 D.6AB解析

因为集合A中含有3个元素2,4,6,所以0∉A.由题意当a∈A时,6-a∈A,所以当a=2∈A时,6-a=4∈A,则a=2满足条件;当a=4∈A时,6-a=2∈A,则a=4满足条件;当a=6∈A时,6-a=0∉A,则a=6不满足条件.综上所述,a=2或a=4.123456789101110.设A是方程kx2-kx-5=0(k∈R)的解组成的集合,回答下列问题:①0是不是集合A中的元素?②若-5∈A,求实数k的值及A中的其他元素.③若A中仅有一个元素,求实数k的值.

解

①将x=0代入方程,得0