江苏省南京市秦淮区四校联考2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

初三年级数学练习注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.9的平方根等于（）A.3 B. C. D.答案：C解析：解：9的平方根是：．故选：C．2.2024年，南京中考考生约人，则数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：C解析：解：．故选C．3.计算的结果是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：，故选：C．4.已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（）A. B.2 C.3 D.4答案：A解析：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，∴，解得BC：EF=1：，∵BC=1，∴EF=．故选A．5.如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（）A. B. C. D.答案：B解析：解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°，则正五边形ABCDE的一个内角==108°，连接OA、OB、OC，∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，∴∠OAE=∠OCD=90°，∴∠AOC=540°-∠E-∠D-∠OAE-∠OCD=144°，所以劣弧AC的长度为，故选：B.6.如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为()A. B.1 C. D.答案：D解析：解：如图所示，建立平面直角坐标系，依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大，∵，设抛物线解析式为，将代入得，解得：故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7.若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________．答案：x≠2解析：试题解析：根据分式有意义的条件得：x-2≠0即：x≠28.分解因式的结果是______．答案：解析：解：故答案为：9.已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________．答案：1解析：解：把x＝代入方程得，解得m＝1．故答案为1．10.为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力4.7以下4.74.84.94.9以上人数102988093127根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是_________．答案：7200解析：解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×＝7200（人），故答案为7200．11.如图，点A、B、C、D在上，，，则_________°．答案：解析：解：如图，连接，，，，在中，，故答案为：．12.如图，反比例函数y=的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为___________．答案：．解析：试题分析：根据题意设点A坐标（x，），由D为斜边OA的中点，可得出D（x，），从而得出过点D的反比例函数的解析式．试题解析：设点A坐标（x，），∵反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，∴D（x，），∴过点D的反比例函数的解析式为y=．∴k的值为．13.在二次函数中，与的部分对应值如下表：则下列结论：①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是____．答案：①③⑤解析：解：由图表可以得出当或时，，时，，解得：，，图象经过原点，故①正确；＞，抛物线开口向上，故②错误；把代入得，，图象经过点（），故③正确；抛物线的对称轴是，＞时，随的增大而增大，＜时，随的增大而减小，故④错误；抛物线与轴有两个交点（）、（）有两个不相等的实数根，故⑤正确；故答案为：①③⑤．14.如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为____．答案：##解析：解：如图所示，过点作交的延长线于点，

在中，，，，，，，，，在中，，沿折叠得到，当点恰好落在上，，又，，，∴，在中，，，故答案为：．15.如图，在中，是边上一点，若，则的长为__．答案：解析：解：设，在中，，则，过作，如图所示：，，，则，设，在中，，即，解得，则，，则，解得，在中，，即，即，解得，则（负值舍去），，故答案为：．16.如图，在中，，，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为__．答案：解析：解：连接，并延长至点Q，使，连接，，，并延长交于点D，∵，点P是的中点，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小．∴在中，，∴的最小值为，∴的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解方程．答案：18.解不等式组并写出不等式组的整数解．答案：不等式组的解集，整数解为3．解析：解：解不等式①，，．解不等式②，，．原不等式组的解集为．不等式组的整数解为：3．19.如图，、是的两条弦，与相交于点E，．（1）求证：；（2）连接作直线求证：．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析．小问1解析：证明：∵，∴∴，即．∴．小问2解析：证明：连接∵∴∴∴∵∴E、O都在的垂直平分线上．∴20.某公司有A、B、C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．（1）阳阳已经对B、C型号汽车数据统计如下表，请在下表中填写A型号汽车的平均里程、中位数、众数．型号平均里程中位数众数AB216215220C225（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．答案：（1）200，200，205；（2）选择B型号汽车．理由见解析．小问1解析：解：A型号汽车的平均里程为：，20个数据按从小到大的顺序排列，第10，第11个数据均为，∴中位数为：，出现了六次，∴众数为．小问2解析：解：选择B型号汽车，理由如下：A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；B、C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中B型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．21.现有一组数：，，0，3，求下列事件的概率：（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大．答案：（1）；（2）．小问1解析：解；∵一共有四个数，其中无理数只有，且每个数被选择的概率相同，∴从中随机选择一个数，恰好选中无理数的概率为；小问2解析：解：设，，0，3这四个数分别用A、B、C、D表示，列表如下：由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中随机选择两个不同的数，均比0大的结果数有2种（，），∴从中随机选择两个不同的数，均比0大的概率为．22.今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元．（1）求甲、乙两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用．答案：（1）甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．（2）甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．小问1解析：设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，由题意可得：解得答：甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．小问2解析：设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元．由题意得：．∴w随m的增大而增大．又，∴．∴当时，w有最小值为（元）．答：甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．23.如图，为了测量大楼的高度，小明在点测得大楼顶端的仰角为，从点沿倾斜角为的斜坡走到点，再水平向左走达到点，在此处测得大楼顶端的仰角为，同时测得大楼底端的俯角为，求大楼的高度．参考数据：，．答案：大楼的高度为．解析：解：延长交于点，过点作，垂足为．设为．在中，，．在中，．．在中，，．在中，．，即．，解得．答：大楼的高度为．24.在中，，、分别是、的点，且．（1）求证：；（2）求证：．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析小问1解析：)证明：，．，，．．小问2解析：，，即．设，，则．．，即．25.如图，在四边形中，，E是边上一点，连接，，作的外接圆交于点F，与相切于点A．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）连接，求证：；（3）若，，，则的半径为．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．小问1解析：证明：连接，并延长交于点G，连接如图，∴∵∴，∴∵∴∵是的切线，∴∴又∴四边形是平行四边形；小问2解析：证明，由（1）知，四边形是平行四边形，∴又在四边形中，∴∵∴∴即∵∴∴又∴∴；小问3解析：解：设与交于点,由（1）知，垂直平分由（2）知∴∴∵，，∴∴又∴在中，∴∴，设的半径为，连接,则∴又，在中，∴，解得，故答案为：26.已知二次函数．（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点；（2）是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明；（3）当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围．答案：（1）见解析（2）见解析（3）或或小问1解析：解：∵当时，；当时，，∴不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点；小问2解析：方法一、∵是该函数图像上的两个点，∴，，∴，∵，∴，即；方法二、∵抛物线的对称轴为：直线，，当时，，此时，当时，，此时，综上所述：小问3解析：解：∵当时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线，∴时，y随x的增大而增大，符合题意；当且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，∴或27.将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径．如图，在中，是中线，是边上一点，，作的垂直平分线分别交于点，探究下列问题．特殊化（1）当点与点重合时，①在图中，画出此特殊情形的图；②此情形下，点与点重合，此时与满足的数量关系为．（2）当点与点重合时，在图中，用尺规作出点的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）一般化（3）当点中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中与所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由．答案：（1）①图见解析；②；（2）作图见解析（3）成立，理由见解析解析：解：（1）①如图所示：②当点与点重合时，点与点重合，此时与满足的数量关系为．故答