广东省广州市增城区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

秘密★启用前2024年增城区初中毕业生学业综合测试试题（一）九年级数学（本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用于2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修改带．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．5．考试时不可使用计算器．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在实数，，，中，无理数是（）A. B. C. D.3.14【答案】B解析：解：在实数，，，中，无理数是，故选：B．2.下列图形中，不是轴对称图形的是（）．A. B. C. D.【答案】D解析：解：A，B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：D．3.已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C解析：解：将数24400000米用科学记数法表示是米．故选：C．4.某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（）．A. B. C. D.【答案】B解析：解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是,故选：B．5.下列运算正确的是（）．A. B. C. D.【答案】A解析：解：A.，故该选项正确，符合题意；B.，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．6.如图，在中，为的中点，连接，交于点，则等于（）A.1︰3 B.2︰3 C.2︰5 D.1︰2【答案】D解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AF：CF=AE：BC，∵点E为AD的中点，∴AE=AD=BC，∴AF：CF=1：2；故选D．7.已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】B解析：解：依题意得，即解得故选：B．8.如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（）A.30 B.35° C.40° D.50°【答案】C解析：解：∵，，∴，又∵C、为对应点，点A为旋转中心，∴，即为等腰三角形，∴．故选：C．9.如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（）．A. B.13 C. D.14【答案】C解析：解：如图，连接，∵是的直径，∴∵的半径为5，，则∴∴∵是过点的切线，则∵∴∴∴，即∴故选：C．10.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（）．A.或4 B.或 C.或4 D.或4【答案】D解析：解：二次函数的对称轴为：直线，（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，当时，取得最小值，，；（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，当时，取得最小值，，．故选：D．第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11.分解因式：_______．【答案】解析：解：，故答案为：．12.已知点，在直线上，且，则_______·（填“”“”或“”）【答案】解析：解：∵，∴y随x的增大而减小，∵，∴．故答案为：．13.某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为，则可列方程为______．【答案】解析：解：设该公司营业额的月平均增长率为，根据题意得，，故答案为：．14.抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______．【答案】解析：解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故答案为：．15.如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：_______．【答案】解析：解：根据数轴可得，∴，故答案为：．16.如图，在平行四边形中，，，，点为线段的中点．动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点．点、同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为______．【答案】解析：解：如图所示，连接，延长交于点，设交于点∵在平行四边形中，，，，点为线段的中点．∴，，∴∴，∵，∴，∴，∵∴∴是等边三角形，∵动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点∴∵∴∴∴∵，∴∴∴，过点O，∴点是的外心，∴，∵点关于直线的对称点，∴，∴当点点运动到点时，点运动到点，此时与重合，则与点重合，则的运动轨迹为∴点运动路径长为故答案为：．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解方程组：．【答案】．解析：解：上下两方程相加，得，解得．把代入中，得．．18.如图，已知，平分，求证：．【答案】见解析解析：证明：平分，，在和中，．19.春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：使用次数人数（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为，众数为，平均数为．（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．【答案】（1），，（2）【小问1解析】解：这10位游客1天内使用共享电动车的次数的中位数是，众数是2，平均数是故答案为：，，．【小问2解析】估计这些游客在春节期间每天使用共享电动车的总次数为（次）20已知．（1）化简；（2）若，是方程的两个根，求的值．【答案】（1）（2）【小问1解析】解：；【小问2解析】解：∵，是方程的两个根，∴∴21.在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元（2）购买吊兰的数量最多为17盆【小问1解析】解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：，解得：，经检验：当时，则，∴是原方程的解，∴，答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；【小问2解析】解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：，解得：，∵m是整数，∴m取最大值为17；答：购买吊兰的数量最多为17盆．22.如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数，在第一象限的图象经过正方形的顶点．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式：（2）若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点的坐标为；（2）存在，或或【小问1解析】解：如图所示，过点作轴于点，则，四边形为正方形，，，，，，在和中，，，，，，，，点的坐标为，将点的坐标为代入，得，∴反比例函数的关系式为；【小问2解析】解：如图所示，过点作轴于点，同（1）可得，∴∴设直线的解析式为，则解得：，∵点为直线上的一动点（不与点重合），点在轴设，，又，①当为对角线时，解得：，则当为对角线时，解得：，则当为对角线时，解得：，则综上所述：以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，或或．23.如图，在中，是钝角．（1）尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出，使其过、两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，若，，．①求证：是的切线；②求弦的长．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②【小问1解析】解：点D如图所示：【小问2解析】①证明：如图所示，连接，∵是直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，又是半径，∴是的切线；②如图，∵，，∴，∴，∵直径，∴∵，∴∵，∴，∴，∵∴，∴．24.在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数），顶点为．（1）用含的式子表示抛物线的对称轴；（2）已知点，当点不在轴上时，点关于轴的对称点为点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，连接，得到矩形．①当时，点到边所在直线的距离等于点到轴的距离，求的值；②当时，抛物线的一部分经过矩形的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标随着的增大而减小，求的取值范围．【答案】（1）（2）①或；；②或【小问1解析】解：∴抛物线的对称轴为直线，【小问2解析】解：①∴到轴的距离为点到边所在直线的距离∵∴，即当时，解得或（舍去）当时，解得或（舍去）则或；；②由题意可得：当时，当点分别在对称轴的左侧时，如下图：此时需要满足的条件为：，解得当点分别在对称轴的右侧时，如下图：此时需要满足的条件为：，解得综上：或25.如图，在等腰直角三角形中，，点在边的延长线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点．（1）求的长；（2）连接，请猜想与的数量和位置关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点为中点，连接，，求的