广东省大湾区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

2024年广东省初中学业水平质量监测卷九年级（二）数学本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、座位号和考号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考号填涂区”相应位置填涂自己的考号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.甲地的平均海拔为，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔为（）A. B. C. D.答案：B解析：∵甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，∴乙地的平均海拔为．故选：B．2.第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为，该数用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：D解析：，故选：D．3.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（）A. B.1 C.2 D.3答案：B解析：由数轴可得：，∴，∴，故选B．4.如图，a，b是两条平行线，三角板的直角顶点在直线b上，已知，则的度数是（）A. B. C. D.与三角板形状有关答案：A解析：如图，∵，，∴，∴，故选A5.若，则（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：B解析：∵∴和是同类项∴，∴，∴．故选：B．6.掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是（）A. B. C. D.答案：C解析：分析：根据题意和题目中的数据可以求得点数为奇数的概率．详由题意可得，

点数为奇数的概率是：，

故选C．7.若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：一元一次不等式组的解集为，所以，，解得，，故选：D8.如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点G，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：∵四边形为菱形，∴，又∵为平行四边形，∴，∴，故选A．9.如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（）A.2 B. C.4 D.答案：C解析：如图，连接，交于，∵菱形，∴，，，，∵∴，∴，∴，∴，，作点关于直线的对称点，连接，∴，∵点为边上中点，则点也为边的中点，∴当点、、在一条直线上时，有最小值，连接交于，∴当重合时，为最小值，∵为的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∴的最小值是，故选：C．10.若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，，则的费马点到，，三点的距离之和为（）A B. C. D.答案：A解析：过作于点，过分别作，∵是等腰三角形，∴，∴，∴点是的费马点，∵，，∴，∴，，在中，由勾股定理得：，∴，∴，即的费马点到，，三点的距离之和为，故选：．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11.已知，，则______．答案：1解析：；当，时，原式．故答案为：1．12.若a，b是一元二次方程的两个根，则______．答案：4解析：∵a，b是一元二次方程两个根，∴，，∴，∴；故答案为：13.如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，若点刚好落在边上的点处，则_____．答案：##0.6解析：∵四边形是矩形，∴，，，由翻折性质可知，，，，在中，由勾股定理得，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．14.如图，已知抛物线过，两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当时，______．答案：解析：过点D作轴交y轴于点M，过点D作轴交x轴于点N，如图∵抛物线过，两点∴解得∴∴，又∵，∴∵轴，轴∴∴∴∴解得∵抛物线图象开口向下∴故答案为：．15.如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为______．（，结果保留两位小数）答案：3.24解析：如图，由题意可得：，，，∴，而，，∴，∴，经检验符合题意；∴眼梢到鼻翼的距离约为，故答案为三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分16.（1）计算：；（2）已知，，求的值．答案：（1）；（2）36解析：（1）．（2），且，．．17.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出时x的取值范围．答案：（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）或【小问1详解】依题意，点在反比例函数的图象上，．反比例函数的解析式为．又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，．，两点均在一次函数的图象上，解得一次函数的解析式为．综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．【小问2详解】由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围为或，∴当，即当时x的取值范围为或．18.（1）求边长为的等边三角形的面积；（2）小明将一根长为的绳子剪成2段，分别围成两个等边三角形．问：如何剪才能够使得这两个等边三角形的面积和最小？最小面积和为多少？答案：（1）；（2）将绳子从中间剪开时，两个等边三角形的面积和最小，最小面积和为解析：（1）如图，在等边三角形中，过点A作于点H，则．由勾股定理可得．等边三角形的面积为．（2）设第一段绳子的长为，则第二段绳子的长为，其中．由（1）可知，第一个等边三角形的面积为，第二个等边三角形的面积为，两个三角形的面积和为．当时，取等号．当，即将绳子从中间剪开时，两个等边三角形的面积和最小，最小面积和为．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分，19.如图，在中，．（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与计算：设（1）中的平分线交于点，若的面积为，，求点到的距离．答案：（1）见解析（2）【小问1详解】的角平分线下图所示．【小问2详解】如图，过点作于点，为角平分线上的点，，，，，，，即，．20.某校为了解九年级学生对急救知识的掌握情况，从全年级1000名学生中随机抽取部分学生进行测试，所得成绩分为以下四种等级：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．已知扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为，根据以上信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）如果全年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该年级获得A等级的学生人数；（3）为分析学生对急救知识掌握情况欠缺的原因，该校决定从D等级的学生中随机抽取两名进行调查，若D等级中有2名男生，其余均为女生，求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．答案：（1）见解析（2）200（3）【小问1详解】随机抽取的人数为（人），D等级人数为（人），补全条形统计图如图所示．．【小问2详解】该年级获得A等级的学生人数为（人）．【小问3详解】D等级的人数为4，D等级中女生有2人．设这4人分别为a，b，c，d，其中a，b为男生，c，d为女生，随机抽取两名学生，共有以下6种等可能的情况：，，，，，．其中抽到一男一女的情况共有4种，即，，，．（抽取的两名学生恰好是一男一女）．21.如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E．（1）若的周长为12，求的长；（2）若，求的度数．答案：（1）6（2）【小问1详解】由切线长定理可知，，，．则的周长．．【小问2详解】如图，连接，，，则，．．在四边形中，，，即，．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22.如1图，在锐角三角形中，，，的对边分别为a，b，c．（1）用b，c，表示的面积S；（2）求证：；（3）如2图，若，，且于点D，，求．答案：（1）（2）证明见解析（3）【小问1详解】如图1，过点C作于点E，在中，，．【小问2详解】证明：由（1）知，的面积，同理，，．同时除以，得．即．【小问3详解】，设，则，即，．如图，在中，，．由勾股定理可得，即，解得．在中，，，由勾股定理可得，即，解得．，．由（2）得：，．23.如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．以点B为圆心，为半径作圆，P是上的一个动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到．当与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形．（1）求抛物线的解析式；（2）求面