第02讲 导数与函数的单调性（十二大题型）（讲义）（原卷版）

第02讲导数与函数的单调性目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．【诊断自测】（2024·高三·上海松江·期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤（1）确定函数的定义域；（2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论；（3）求出导数的零点；（4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性；（5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.【诊断自测】（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为．解题方法总结1、使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．2、若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减．题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【典例1-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2024·广东广州·一模）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【方法技巧】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．【变式1-1】（2024·高三·陕西西安·期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．【变式1-2】（2024·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．题型二：求单调区间【典例2-1】（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为．【典例2-2】函数的严格递减区间是.【方法技巧】求函数的单调区间的步骤如下：（1）求的定义域（2）求出．（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出．（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的增区间；令，解出的取值范围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开．【变式2-1】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为.【变式2-2】（2024·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为．【变式2-3】函数在上的单调递减区间为.题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围【典例3-1】已知函数在上为减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例3-2】已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【方法技巧】已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解．【变式3-1】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【变式3-2】（2024·高三·广东汕头·期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2024·陕西西安·三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-4】（2024·高三·江苏南通·期中）已知函数的减区间为，则.题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围【典例4-1】（2024·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．m>1【典例4-2】已知函数在上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧】已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．【变式4-1】函数在上不单调，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式4-2】函数在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【变式4-3】若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．不存在这样的实数k【变式4-4】函数在R上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围【典例5-1】已知函数在上有增区间，则a的取值范围是.【典例5-2】若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为．【方法技巧】已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．【变式5-1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是.【变式5-2】若函数在上存在单调递增区间，则实数的最大值为．【变式5-3】（2024·高三·湖北襄阳·期末）函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是．【变式5-4】若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是．题型六：不含参数单调性讨论【典例6-1】（2024·河北保定·二模）已知函数.若，讨论的单调性；【典例6-2】（2024·高三·天津·开学考试）已知函数．当时，求的单调区间；【方法技巧】确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开．【变式6-1】已知函数．判断的单调性，并说明理由；【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数，若，求的单调区间.【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．当时，讨论函数的单调性．【变式6-4】函数.当时，求函数的单调性；题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析【典例7-1】已知函数．讨论函数的单调性；【典例7-2】已知函数.讨论函数的单调性；【方法技巧】导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．【变式7-1】（2024·陕西渭南·二模）已知函数，其中.讨论的单调性；【变式7-2】设函数．讨论的单调性；题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析【典例8-1】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数，为的导数,讨论的单调性；【典例8-2】（2024·海南海口·二模）已知函数.讨论的单调性；【方法技巧】导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．【变式8-1】已知函数.讨论的单调性；【变式8-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数.讨论的单调性;题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析【典例9-1】已知函数．讨论的单调性；【典例9-2】已知函数.讨论函数的单调性；【方法技巧】若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.【变式9-1】已知函数，讨论函数的单调性；【变式9-2】已知函数（，为自然对数的底数）.讨论函数的单调性；【变式9-3】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性．【变式9-4】已知函数，．求函数的单调区间.题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析【典例10-1】已知函数．讨论的单调性【典例10-2】已知函数．讨论函数的单调性；【方法技巧】若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.【变式10-1】讨论函数，的单调性【变式10-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知函数．讨论的单调性．【变式10-3】设函数,求的单调区间.题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析【典例11-1】已知函数,其中.求的单调区间．【典例11-2】已知函数.讨论的单调性；【方法技巧】若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.【变式11-1】已知函数，.若，讨论函数的单调性；【变式11-2】已知函数．时，讨论的单调性．题型十二：分段分析法讨论函数的单调性【典例12-1】已知函数（，且）求函数的单调区间；【典例12-2】已知函数，.(1)若，求a的取值范围；(2)求函数在上的单调性；【方法技巧】分段讨论导函数的正负.【变式12-1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数.判断函数的单调性.【变式12-2】（2024·高三·湖北·期中）已知函数，．讨论函数在上的单调性．【变式12-3】设函数，其中，讨论的单调性.1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．1．判断下列函数的单调性：（1）；

（2）2．证明函数在区间上单调递减．3．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，，4．利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象，当，，，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：（1）你能归纳函数图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．5．求函数的单调区间．6．作函数的大致图象．易错点：对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻易错分析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在这个区间上恒大（小）于等于0，且导函数在这个区间的任意子区间上都不恒为0．一定要注意导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件．【易错题1】若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【易错题2】“当时，函数在区间上不是单调函数”为真命题的的一个取值是