2025年高考数学一轮专题复习-数列专题二（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--数列专题二知识点一等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,错位相减法求和,分组（并项）法求和典例1、已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和；（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.随堂练习：已知数列{}的前n项和满足：．（1）求数列{}的前3项；（2）求证：数列是等比数列；（3）求数列的前n项和．典例2、已知数列中，．（1）证明：数列和数列都为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前n项和．

随堂练习：在数列中，，（1）设，求证：；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.典例3、已知等差数列的公差，它的前项和为，若=70，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）中的第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来的顺序排成一个新数列，求的前n项和.（3）已知数列，，若数列的前项和为，求证：.

随堂练习：已知数列的前项和，其中．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前项和；（3）若存在，使得成立，求实数的最小值．知识点二等差数列通项公式的基本量计算,裂项相消法求和,累乘法求数列通项典例4、已知数列的前项和为，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）-若数列的前项和为，求证：

随堂练习：已知为等差数列，.（1）求的通项公式；（2）若为的前项和，求.典例5、已知数列的前项和为，，且．数列为等比数列，．（1）求和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求的最小值．

随堂练习：已知正项数列满足，且，设.（1）求证：数列为等比数列并求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求数列的前项和.典例6、已知数列的前项和满足，，．（1）求的通项公式；（2）数列，，满足，，且，求数列的前项和．

随堂练习：已知数列，前n项和为，对任意的正整数n，都有恒成立．（1）求数列的通项公式；（2）已知关于n的不等式…对一切恒成立，求实数a的取值范围；（3）已知，数列的前n项和为，试比较与的大小并证明．人教A版数学--数列专题二答案典例1、答案：（）（2）（3）最大值为，最小值为解：（1）因为点在函数的图像上，所以，又数列是等差数列，所以，即所以，；（2）解法1：，==，解法2：，①，②①-②得，；（3）记的前n项和为，则=，当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，当n为偶数时随着n的增大而增大，可得，所以的最大值为，最小值为.随堂练习：答案：（1）；（2）证明见解析；（3）.解：（1）当时，有：；当时，有：；当时，有：；综上可知；（2）由已知得：时，，化简得：上式可化为：故数列{}是以为首项，公比为2的等比数列.（3）由（2）知，∴，∴当n为偶数时，=令，①②则①②得，∴，=，所以.当n为奇数时，，，所以.综上，.典例2、答案：（1）证明见解析.（2）（3）.解：（1）由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得，则，所以，也符合上式，所以.（3），令，，两式相减得，所以.所以.随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.解：（1）由条件可知：，，，，；（2）由第（1）问可知，，当时，，当时，，当时，，当时，，以上各式相加，得，，，，即；（3）由第（1）、（2）问知，，，则，设数列的通项公式，前项和为，，两式相减，得，，数列的前项和.典例3、答案：（）1（）（2）（3）证明见解析.解：（1）解：因为数列是等差数列，所以，．依题意，有，即解得，．所以数列的通项公式为（）．（2）由题意：，∴（3）证明：由（1）可得．所以，．因为，所以．因为，所以数列是递增数列．所以．所以．随堂练习：答案：（1）（2）（3）解：（1）当时，，当时，，两式相减并化简得（），当时，上式也符合，所以.（2）数列满足，，则，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，设数列满足，且前项和为，,,两式相减得，所以.设数列满足，则的前项和，所以.（3）依题意，存在，使得成立，，则只需求的最小值.，当或时，取得最小值为.所以的最小值为.典例4、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）由已知，时，，与已知条件作差得：所以，所以,n=1成立（2）证明：因为，所.得证.随堂练习：答案：（1）；（2）.解：（1）∵.∴，∴，∴；当时，满足上式，所以；（2）由（1）可得，∴.典例5、答案：（1）；，；（2）.解:（1）即有，上式对也成立，则；为公比设为的等比数列，，．可得，，则，即，，；（2），前项和为，，即，可得递增，则的最小值为．随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）因为，所以，因为，所以，所以，且，所以数列是以为公比，为首项的等比数列，即，即，可得，，所以时，，即，而此时时，，所以；（2）由（1），所以，所以所以.典例6、答案：（1）；（2）解：（1）由题意知，，两式相减得，，故，，两式相减得，即，可知数列为等差数列，又，则，解得，又因为，所以，等差数列的公差，故．（2）由题易知，又因为，所以，由累乘法可得：，，，，所以，，因为，所以，，当时，也符合，所以，，则，．随堂练习：答案：（1）；（2）；（3），证明见解析．解:（1）由题意，因为2Sn=（n+1）an，当n≥2时，2Sn-1=nan-1，两式相减2an=（n+1）an-nan-1，可得（n-1）an=nan-1（n≥