2025高考总复习专项复习-一元函数的导数及其应用专题四（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）2024年高考导数复习专题四知识点一求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究函数的零点典例1、已知函数f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R．（1）若k＝0，求曲线y＝f(x)在x＝0处切线的方程；（2）讨论函数f(x)在[0，＋∞)上零点的个数．随堂练习：已知函数．（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）判断函数的零点个数，并说明理由.典例2、已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论在区间上的零点个数.随堂练习：已知函数.（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；（2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围.典例3、已知函数，其中为常数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在区间上只有一个零点，求的取值范围.随堂练习：已知函数，其中.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在内只有一个零点，求的取值范围.知识点二求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的零点典例4、已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求的值；（2）函数在区间上存在零点，求的值；（3）记函数，设（）是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.随堂练习：已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；（3）若，判断函数的零点的个数.典例5、已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求k的值；（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围.随堂练习：已知函数，设．（1）若，求的最小值（2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围；（3）若直线是曲线的一条切线，求证：，都有．典例6、已知函数，（）.（1）求函数在点（e，e）处的切线方程；（2）已知，求函数极值点的个数；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.随堂练习：已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求a的取值范围；（3）当a=3时，设函数，证明：对于任意的k<1，函数有且只有一个零点．2024年高考导数复习专题四答案典例1、答案：（1）（2）当时，有且仅有1个零点；当时，有有2个零点.解：（1）当时，，，则曲线在处切线的斜率为，又，故切点为，因此切线方程为.（2）首先证明：当时，.证明：设，，则，单调递增，于是，即原不等式得证.，，当时，，故在上单调递增.若，则当时，，单调递增，又，故此时有且仅有1个零点.若，则，又，所以在上存在唯一的零点，，当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，且，，因此在上有2个零点.综上，当时，有且仅有1个零点；当时，有有2个零点.随堂练习：答案：（1）（2）在区间上有且仅有一个零点，理由见解析解：（1），所以函数的图象在处的切线方程为，即.（2）设，则，①当时，，所以单调递减；且，，由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，，所以在上单调递增，且，，所以在上有唯一零点；当时，单调递减，且，所以在上没有零点.②当时，单调递增，，，所以在区间有唯一零点，设为，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；在区间上，此时单调递减，且，故有，此时单调递减，且，由，得，所以.当时，，所以单调递增，又，故，，，所以存在，使，即，故为的极小值点.此时.所以在上没有零点.③当时，，所以，所以在区间上没有零点.综上在区间上有且仅有一个零点.典例2、答案：（1）（2）见解析解：（1）当时，，即切点的坐标为切线的斜率切线的方程为：即（2）令，解得，在上递增同理可得，在上递增上递减讨论函数零点情况如下：（Ⅰ）当，即时，函数无零点，在上无零点（Ⅱ）当，即时，函数在上有唯一零点，而，在上有一个零点（Ⅲ）当，即时，由于，当时，即时，，由函数的单调性可知，函数在上有唯一零点，在上有唯一零点，在有两个零点当，即时，，而且，由函数单调性可知，函数在上有唯一零点，在上没有零点，从而在有一个零点综上所述，当时，函数在有无零点当或时，函数在有一个零点当时，函数在有两个零点随堂练习：答案：（1）；（2）．解:由已知函数定义域是，（1），，由解得（舍去），又，所以切线方程为，即；（2），易知只有一个极值点，要使得有两个零点则，即，此时在上，递减，在上，递增，在时取得极小值，所以解得．综上的范围是．典例3、（1）；（2）.解:（1）当时，，对函数求导可得，所以，又，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）由（1）知，因为，所以，所以，所以，所以，故函数在区间上单调递增.因为函数在区间上只有一个零点，结合零点存在定理可得，解得，即的取值范围是.随堂练习：答案：（1）；（2）.解：（1）,，则，故所求切线方程为；（2），当时，对恒成立，则在上单调递增，从而，则，当时，在上单调递减，在上单调递增，则，当时，对恒成立，则在上单调递减，在（1，2）内没有零点，综上，a的取值范围为（0，1）.典例4、答案：（1）（2）或（3）解：（1）因为曲线在处的切线方程为，所以切点为，所以，得（2）由（1）得，则，当时，，当时，，所以在上递减，上递增，所以当时，取得极小值，因为，所以在区间上存在一个零点，此时，因为，所以在区间上存在一个零点，此时，综上或（3），则，由，得，因为（）是函数的两个极值点，所以方程有两个不相等的正实根，所以，，所以，因为，所以，解得或，因为，所以，所以令，则，所以在上单调递减，所以当时，取得最小值，即，所以，所以实数的最大值为随堂练习：答案：（1）；（2）；（3）当时，函数恰有1个零点．解：（1）若，则，所以，所以，所以切线方程为（2）依题意，在区间上因为，．令得，或．若，则由得，；由得，．所以，满足条件；若，则由得，或；由得，，依题意，即，所以．若，则．所以在区间上单调递增，，不满足条件；综上，．（3），．所以．设，．令得．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以的最小值为．因为，所以．所以的最小值．从而，在区间上单调递增．又，设．则．令得．由，得；由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．所以．所以恒成立．所以，．所以．又，所以当时，函数恰有1个零点．典例5、答案：（1）（2）或（3）解：（1）因为，所以，切线斜率为，又，切点为，所以切线方程为；（2），，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以的极小值为，，在区间上存在一个零点，此时；又，，在区间上存在一个零点，此时．综上，的值为0或3；（3）函数，，所以，由得，依题意方程有两不相等的正实根、，，，，又，，，解得，，构造函数，，所以，在上单调递减；所以当时，，所以．随堂练习：答案：（1）0（2）（3）证明见解析解：（1）当时，，令．列表如下：单调递减极小值0单调递增所以的最小值为0（2），当时，单调递减；当时，单调递增，，要使有两个零点，首先必有当时，注意到，在和上各有一个零点，符合题意，综上：取值范围为．（3）由题得，，设与切于，，，要证：，需证：即证：，即证：．令，需要证明：，．构造，，在上单调递增，，证毕．典例6、答案：（1）（2）答案见解析（3）解：（1）由已知，所以，所以，切线斜率，所以函数在，点处的切线方程为，即.（2），令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，由得，所以当时，由，函数有两个变号零点，函数有两个极值点.当时，函数有一个变号零点，函数有一个极值点.当时，函数没有变号零点，函数没有极值点.（3）不等式等价于.令，则在上恒成立，所以必须有，所以.又，显然当时，，则函数在上单调递增，所以，所以.综上可知，的取值范围为.随堂练习：答案：（1）；（2）；（3）证明见解析.解：（1）由求导得：，则，而，所以函数在处的切线方程为：，即.（2），，令，求导得：，当