第01讲 数列的基本知识与概念（六大题型）（讲义）（原卷版）

第01讲数列的基本知识与概念目录考点要求考题统计考情分析（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．2021年北京卷第10题，4分2020年浙江卷第11题，4分高考对数列概念的考查相对较少，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是数列与函数结合考查单调性、周期性、最值性.知识点一、数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．知识点二、数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：知识点三、数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【解题方法总结】（1）若数列的前项和为，通项公式为，则注意：根据求时，不要忽视对的验证．（2）在数列中，若最大，则若最小，则题型一：数列的周期性例1．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，，且，则（

）A． B． C． D．例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，对所有的正整数都有，则（

）A．

B．

C．

D．例3．（2023·江西赣州·高三校联考阶段练习）斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（

）A．0 B．1 C．2 D．3变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知数列中，，则（

）A． B． C．2 D．1变式2．（2023·全国·高三对口高考）设函数定义如下，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为（

）x1234541352A．1 B．2 C．4 D．5变式3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列中，已知，当时，是的个位数，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1变式4．（2023·北京通州·统考三模）数列中，，则（

）A． B． C．2 D．4【解题方法总结】解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．题型二：数列的单调性例4．（2023·北京密云·统考三模）设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分也不是必要条件例5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式5．（2023·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式7．（2023·江苏南通·高三期末）已知数列是递增数列，且，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若是递增数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式9．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列为递减数列，其前n项和，则实数m的取值范围是（

）．A． B． C． D．【解题方法总结】解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列作商比较法根据与1的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图象直观判断题型三：数列的最大（小）项例7．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于______.例8．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，若，则的最小值为______．例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的最小值为_________变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，，，若是唯一的最大项，则k的取值范围为______．变式11．（2023·高三课时练习）数列的通项公式为若是中的最大项，则a的取值范围是______．变式12．（2023·北京·高三北京八中校考阶段练习）数列中，，则此数列最大项的值是__________．变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知，若数列中最小项为第3项，则______．变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则的最小值为___________.【解题方法总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．（3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为．题型四：数列中的规律问题例10．（2023·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（

）A．110 B．128 C．144 D．89例11．（2023·云南保山·统考二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（

）

A．11 B．12 C．13 D．14例12．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为.记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：；正方形数：；五边形数：；六边形数：，可以推测的表达式，由此计算（

）A．4020 B．4010 C．4210 D．4120变式15．（2023·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（

）A．28 B．36 C．45 D．55变式16．（2023·全国·高三专题练习）早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界．在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为，则（

）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024变式17．（2023·全国·高三专题练习）观察下列各式：；；；；；则（

）A．28 B．76 C．123 D．10变式18．（2023·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列．类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（）A．36 B．25 C．49 D．64【解题方法总结】特殊值法、列举法找规律题型五：数列的恒成立问题例13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝______．例14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若恒成立，则实数k的最小值为______．例15．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是___________.变式19．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．变式20．（2023·河北唐山·高三唐山一中校考阶段练习）数列满足，，若不等式，对任何正整数恒成立，则实数的最小值为A． B． C． D．【解题方法总结】分离参数，转化为最值问题．题型六：递推数列问题例16．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，且，则数列的前2009项之和为______.例17．（2023·全国·高三专题练习）正项数列中，，，猜想通项公式为_________．例18．（2023·广东佛山·统考模拟预测）数列满足，，写出一个符合上述条件的数列的通项公式______.变式21．（2023·全国·模拟预测）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，则是斐波那契数列中的第______项．变式22．（2023·全国·高三专题练习）将一个2021边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使得相邻顶点的颜色互不相同．问：有多少种满足条件的染色方法？变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上有n条直线，其中任意两条不平行，任何三条不共线．问：这些直线把平面分成多少个部分？其中有多少个部分是无界的？变式24．（2023·全国·高三专题练习）（1）学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷10次，不连