第01讲 三角函数的概念与诱导公式（练习）（解析版）

第01讲三角函数的概念与诱导公式（模拟精练+真题演练）1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】展开过程中：,,故选：D.2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（

）（精确到）

A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，弦(m)，矢(m)，则弧田面积=()，所以弧田面积约是.故选：A3．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：，解得：.故选：A.4．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）如图，点为角的终边与单位圆的交点，（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由单位圆可知，，且为第一象限角，根据同角三角函数的基本关系可得，所以，所以.故选：D5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】

设，则，，因，则，故，，故选：B6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，即，所以，即，所以，故选：C．7．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得：，所以.故选：A8．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，现将角的终边绕原点O逆时针方向旋转与单位圆交点的纵坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，所以，则.故选：A.9．（多选题）（2023·吉林·统考二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（

）A．经过1后，扇形AOB的面积为B．经过2后，劣弧的长为C．经过6后，质点B的坐标为D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相即【答案】BD【解析】对于，由题意可知：经过1后，，所以此时扇形AOB的面积为，故选项错误；对于，经过2后，，所以此时劣弧的长为，故选项正确；对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故选项错误；对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，故选项正确，故选：.10．（多选题）（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）下列说法正确的是（

）A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于C．经过小时，时针转了D．若角和角的终边关于对称，则有【答案】ABD【解析】对于A，因为角终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点的横坐标和纵坐标异号，故；因为，所以或，故角终边上点坐标对应为：或即或，所以角终边在第二象限或第四象限，综上，角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为，故B正确；对于C，钟表上的时针旋转一周是，其中每小时旋转，所以经过4小时应旋转，故C错误；对于D，角和角的终边关于直线对称，则，，故D正确故选：ABD11．（多选题）（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，则下列说法正确的是（

）A．B．扇形的面积为C．D．当时，四边形的面积为【答案】ACD【解析】由题意圆的半径选项A：由题意得所以所以，故A正确；选项B：因为，所以扇形的面积，故B错误；选项C，故C正确；选项D：因为，所以故D正确故选：ACD.12．（多选题）（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知，，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A：因为所以即，所以A正确;对于B、C：因为，且，所以，即，所以所以B错误，C正确;对于D：联立，解得所以，所以D正确.故选：ACD.13．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知为锐角，若，则________．【答案】【解析】，所以，因为为锐角，所以，，故答案为：14．（2023·陕西西安·统考三模）已知，则_______．【答案】【解析】，故答案为：15．（2023·江西赣州·统考二模）已知为锐角，满足，则________．【答案】2【解析】因为，整理得，解得或，又因为为锐角，则，所以.故答案为：2.16．（2023·上海徐汇·南洋中学校考三模）已知一个半径为4的扇形圆心角为，面积为，若，则_____．【答案】/0.5【解析】已知扇形半径为，圆心角为，∵扇形面积，∴，∴，解得：.故答案为：.1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，A． B． C． D．【答案】【解析】，，，是的中点，在上，，延长可得在上，，．故选：．2．（2020•上海）“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】【解析】（1）若，则，““是““的充分条件；（2）若，则，得不出，“”不是“”的必要条件，“”是“”的充分非必要条件．故选：．3．（2021•甲卷）若，，则A． B． C． D．【答案】【解析】由，得，即，，，则，解得，则，．故选：．4．（2020•新课标Ⅱ）若为第四象限角，则A． B． C． D．【答案】【解析】为第四象限角，则，，则，是第三或第四象限角或为轴负半轴上的角，，故选：．5．（2020•新课标Ⅰ）已知，且，则A． B． C． D．【答案】【解析】由，得，即，解得（舍去），或．，，，则．故选：．6．（2023•乙卷）若，，则．【答案】．【解析】，，令，，设终边上一点的坐标，则，则．故答案为：．7．（2022•浙江）若，，则，．【答案】；．【解析】，，，，，，解得，，．故答