第01讲 函数的概念及其表示（十六大题型）（讲义）（原卷版）

第01讲函数的概念及其表示目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：函数的概念 4知识点2：函数的三要素 4知识点3：函数的表示法 5知识点4：分段函数 5解题方法总结 5题型一：函数的概念 6题型二：同一函数的判断 7题型三：给出函数解析式求解定义域 8题型四：抽象函数定义域 8题型五：函数定义域的综合应用 9题型六：待定系数法求解析式 10题型七：换元法求解析式 10题型八：方程组消元法求解析式 11题型九：赋值法求解析式 11题型十：求值域的7个基本方法 12题型十一：数形结合求值域 15题型十二：值域与求参问题 15题型十三：判别式法求值域 16题型十四：三角换元法求值域 16题型十五：分段函数求值、求参数问题 17题型十六：分段函数与方程、不等式 1704真题练习·命题洞见 1805课本典例·高考素材 1806易错分析·答题模板 20易错点：错求抽象函数的定义域 20答题模板：求抽象函数的定义域 20

考点要求考题统计考情分析（1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域．（2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．（3）了解简单的分段函数，并会简单的应用．2024年上海卷第2题，5分2024年I卷第8题，5分2023年北京卷第15题，5分2022年浙江卷第14题，5分2021年浙江卷第12题，5分高考对函数的概念及其表示的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质．复习目标：1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素2、会求常见函数的定义域和值域3、掌握求函数解析式的方法

知识点1：函数的概念（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．【诊断自测】下列图象中，y不是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

知识点2：函数的三要素（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．【诊断自测】下列四组函数：①；②；③；④；其中表示同一函数的是（

）A．②④ B．②③ C．①③ D．③④知识点3：函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．【诊断自测】已知函数，则（

）A． B．C． D．知识点4：分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．【诊断自测】（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2解题方法总结1、基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切的定义域是且；（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．2、基本初等函数的值域（1）的值域是．（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为．（3）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．题型一：函数的概念【典例1-1】下列对应是从集合A到集合B的函数的是（

）A． B．C． D．【典例1-2】已知是定义在有限实数集A上的函数，且，若函数的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则的值不可能是（

）A．0 B． C． D．【方法技巧】利用函数概念判断：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即“多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素.【变式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的定义域不可能是（

）A． B．C． D．R【变式1-2】将函数的图象绕着原点沿逆时针方向旋转角得到曲线，已知曲线始终保持为函数图象，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【变式1-3】存在定义域为的函数，满足对任意，使得下列等式成立的是（

）A． B．C． D．题型二：同一函数的判断【典例2-1】下列各组函数相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【典例2-2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【方法技巧】当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．【变式2-1】（多选题）下列各组函数表示的是不同函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【变式2-2】以下四组函数中，表示同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【变式2-3】（多选题）（2024·高三·浙江金华·期末）已知函数，．（

）A．若，则B．若，则C．对于，若，则D．对于，若，则题型三：给出函数解析式求解定义域【典例3-1】（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为．【典例3-2】已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为(A． B． C． D．【方法技巧】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式．【变式3-1】函数的定义域是.【变式3-2】（2024·北京怀柔·模拟预测）函数的定义域是.【变式3-3】（2024·北京平谷·模拟预测）函数的定义域是题型四：抽象函数定义域【典例4-1】已知函数的定义域是，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【典例4-2】已知的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【方法技巧】1、抽象函数的定义域求法：（1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域．（2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解.2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再取交集．【变式4-1】（2024·高三·河北邢台·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为．【变式4-2】已知函数的定义域为，求的定义域.【变式4-3】（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．题型五：函数定义域的综合应用【典例5-1】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（

）A． B．或C． D．或【典例5-2】若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．【变式5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是.【变式5-2】若函数的定义域为，则实数的取值范围为．【变式5-3】当时，函数和有意义，则实数的取值范围是.题型六：待定系数法求解析式【典例6-1】一次函数在上单调递增，且，则.【典例6-2】已知二次函数满足，，则不等式的解集为．【方法技巧】当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．【变式6-1】已知函数是一次函数，且，则的解析式为.【变式6-2】已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为.题型七：换元法求解析式【典例7-1】已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝．【典例7-2】已知，则（

）A． B．C． D．【方法技巧】当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法．【变式7-1】设是定义在上的函数，且有唯一解或无解，且对任意，均有，请写出一个符合条件的.【变式7-2】若是定义域为上的单调函数，且对任意实数都有，其中是自然对数的底数，则（）A．4 B．C． D．【变式7-3】（2024·高三·江西·期中）设是定义在上的单调函数，若，则不等式的解集为.【变式7-4】设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则.题型八：方程组消元法求解析式【典例8-1】已知为奇函数，为偶函数，且满足，则=（

）A． B．C． D．【典例8-2】已知，那么．【方法技巧】若已知成对出现，或，等类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．【变式8-1】（2024·高三·辽宁丹东·期中）若，函数满足，则．【变式8-2】已知满足，则．【变式8-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则.题型九：赋值法求解析式【典例9-1】已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个（答案不唯一）．【典例9-2】已知函数，且，，则函数的一个解析式为.【方法技巧】若已知抽象函数表达式，则常用赋值法【变式9-1】已知函数满足，则的解析式可以是（写出满足条件的一个解析式即可）．【变式9-2】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式．【变式9-3】对，函数都满足：①；②；③；则．【变式9-4】设偶函数f(x)满足：，且当时时，，则．题型十：求值域的7个基本方法【典例10-1】求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；【典例10-2】求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．【方法技巧】函数值域的求法主要有以下几种（1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．（7）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法．【变式10-1】求下列函数的值域．（1）求函数的值域．（2）求函数的值域．（3）求函数，的值域．【变式10-2】求下列函数的值域：(1)；(2)；(3).【变式10-3】求下列函数的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.题型十一：数形结合求值域【典例11-1】函数的值域为【典例11-2】函数的值域为.【方法技巧】根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图形模型．【变式11-1】函数的值域是．【变式11-2】函数的值域是．【变式11-3】函数的值域为.【变式11-4】函数的值域为.题型十二：值域与求参问题【典例12-1】若函数的值域为，则的值为.【典例12-2】若函数的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【方法技巧】值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决.【变式12-1】已知函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式12-2】定义若函数，则的最大值为；若在区间上的值域为，则的最大值为．【变式12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为．题型十三：判别式法求值域【典例13-1】函数，的值域为．【典例13-2】函数的值域是．【方法技巧】判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．【变式13-1】已知，且，则的取值范围是.【变式13-2】已知，函数的最大值为，则实数的值为.【变式13-3】函数的值域是.题型十四：三角换元法求值域【典例14-1】求函数的值域.【典例14-2】（2024·高三·河南·期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．【方法技巧】充分利用三角函数的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法．【变式14-1】（2024·上海徐汇·模拟预测）函数的值域为.题型十五：分段函数求值、求参数问题【典例15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A． B．0 C． D．1【典例15-2】已知函数，若，则（

）A．0 B．2 C． D．2或3【方法技巧】根据分段函数解析式求函数值，首先明确自变量的值属于哪个区间，其次选择相应的解析式代入解决.【变式15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的值为（

）A．2或 B．2或 C．或 D．1或【变式15-2】（2024·全国·模拟预测）设，若，则（

）A．14 B．16 C．2 D．6【变式15-3】（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（

）A． B． C． D．题型十六：分段函数与方程、不等式【典例16-1】已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例16-2】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【方法技巧】已知函数值或函数的范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但是一定要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段自变量的范围.【变式16-1】（2024·湖北·一模）已知函数，则关于x的不等式的解集为．【变式16-2】（2024·全国·模拟预测）已