2025年高考数学一轮专题复习-数列专题三（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--数列专题三知识点一等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,错位相减法求和,分组（并项）法求和典例1、已知为等差数列，为等比数列，．（1）求和的通项公式；（2）记的前项和为，求证：；（3）对任意的正整数，设求数列的前项和．

随堂练习：已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；（3），求数列的前项和．典例2、在等差数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和；（3）记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数k的最小值．

随堂练习：已知数列中，，，，数列的前n项和为Sn.（1）求的通项公式；（2）已知，（i）求数列前n项和Tn；（ii）证明：当时，.典例3、已知数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若数列，，求前项和.

随堂练习：已知等差数列的前项和为，公差为1，且满足．数列是首项为2的等比数列，公比不为1，且、、成等差数列，其前项和为．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求正整数的值；（3）记，求数列的前项和．知识点二等差数列通项公式的基本量计算,写出等比数列的通项公式,求等比数列前n项和,分组（并项）法求和典例4、已知数列是等差数列，记为的前n项和，是等比数列，．（1）求；（2）记，求数列的前2n项和．

随堂练习：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.典例5、已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列.（1）求数列和的通项公式；（2）记数列满足：，求数列的前项和.

随堂练习：已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）若设的前项和为，求．典例6、已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的通项，求数列的前n项和．

随堂练习：已知正项数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．

人教A版数学--数列专题三答案典例1、答案：（1），；（2）证明见解析；（3）.解:(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(2)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(3)当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和①由①得②由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.随堂练习：答案：（1），；（2）；（3）．解：（1）依题有,因为，解得：．数列是等差数列,设其公差为,，解得：.（2）数列与数列都是递增数列,,,,新数列的前50项和为:.（3）∵，设,，，两式相减有,∴.∴..典例2、答案：（1）（2）（3）9解：（1）设公差为，则，解得，所以；（2）由题意，所以，；（3）由（1），，，相减得，，由，得，令，则，设，则，当时，，当时，，即，当时，，，，，所以当时，，当时，，当时，递减，当时，递增，，，，因此当时，，当时，，所以满足的的最小值是9，即的最大值是9．随堂练习：答案：（1）（2）（i）Tn；（ii）证明见解析解：（1）由题意可知，数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.当n为奇数时，；当n为偶数时，（2）（i），，；（ii），，则；（时等号成立）当时，设，；综上，当时，.典例3、答案：（1）（2）（3）解：（1）当时，，可得，当时，由可得，上述两个等式作差得，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故.（2），所以，，所以，，上述两个等式作差得，因此，.（3）由题意可得，，所以，.随堂练习：答案：（1），；（2）4；（3）.解：（1）依题意，，解得，则，设数列的公比为q，因，，成等差数列，则，有，而，解得，，所以数列和的通项公式分别为：，.（2）由（1）知，，，，依题意，，整理得，而，解得，所以正整数n的值是4.（3）由（1）知，令数列的前n项和为，数列的前n项和为，则，于是得，两式相减得：，因此，，，数列的前项和.典例4、答案：（1）（2）解：（1）由题意得，所以①，又是等比数列，所以，因为，所以②，又，故由①②联立解得，又是等差数列，所以为定值，即为定值，故为等比数列，首项，公比，所以的通项公式为．（2）由（1）得，所以，即是以1为首项，4为公差的等差数列，令，则，记的前n项和为，所以，数列数列的前2n项和为．随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）设公差为，则，即，因为，，成等比数列，所以，即，整理得，因为所以，代入，解得，所以.（2）,所以.典例5、答案：（1），（2）解：（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，所以，即数列为公比为等比数列.所以由可得即，数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式：.由，，成等差数列，得：，，，有.（2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列..随堂练习：答案：（1）；（2）解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，或是正项等比数列，，．（2）由（1）知，，．典例6、答案：（1）（2）解：（1）设数列的公比为q，因为，即，得，解得或，当时，，不合题意，舍去，所以，由，解得，所以，对于，因为①，当时，，则，当时，②，由①－②得，即，又，也适合上式，故，，采用累乘法求通项得，所以．（2）由（1）可得：，则，则数列的前n项和，①当为偶数，时，采用分组求和：，，所以；②当为奇数，且时，为偶数，由（1）中结论得，此时，当时，，也适合上式，所以.综上所述，．