【专项精练】第21课 三角函数的两角和与差-2024年新高考数学分层专项精练（解析版）

第21课三角函数的两角和与差（分层专项精练）【一层练基础】一、单选题1．（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角恒等变换公式求解.【详解】所以，所以故选:B.2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知，为钝角，，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】首先求出，从而求出，再根据利用两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为，所以，因为为钝角，所以，则，所以.故选：B3．（2022·全国·统考高考真题）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.4．（2023春·江苏徐州·高三新沂市第三中学校考阶段练习）中已知且，则（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】B【分析】根据进行化简整理即可求得的值.【详解】由题意得，则有整理得：，故选：B二、多选题5．（2021·山东泰安·统考模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，且的图像关于直线对称，则下列结论正确的是（

）A．B．C．函数在区间内单调递减D．方程在区间上有201个根【答案】AD【分析】根据平移得出，结合对称轴即可求出，判断A；再计算出可判断B；化简求出即可判断C；根据求解即可判断D.【详解】由题得，由题意知，，解得，，因为，所以，A项正确；，则，B项错误；，显然在区间内单调递增，C项错误；由，得，整理得，则，，又，则，故方程在区间上有201个根，D项正确．故选：AD．6．（2022·高一单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．B．是图象的一条对称轴C．的最小正周期为D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称【答案】AC【分析】变形得，然后根据三角函数的性质逐一判断即可.【详解】，A正确；，由于在对称轴处函数值要取到最值，故B错误；，C正确；将的图象向左平移个单位后得，其为偶函数，不关于原点对称，D错误.故选：AC.7．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，是方程的两不等实根，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根据题意可得，，再利用两角和的正切公式可判断B，利用基本不等式可判断C、D【详解】由，是方程的两不等实根，所以，，，由，，均为正数，则，当且仅当取等号，等号不成立，当且仅当取等号，故选：BCD【点睛】本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.三、填空题8．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考二模）若，，则.【答案】【分析】先通过以及确定的范围，进而可得，再利用两角差的余弦公式展开计算即可.【详解】,，又，若，则，与矛盾，，，.故答案为：.9．（2023·重庆·校联考模拟预测）已知函数，则的最大值为.【答案】/【分析】设，用换元法化为二次函数求解．【详解】设，则，，，∴时，，即．故答案为：．四、解答题10．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，(1)若，求角B.(2)设，，试求的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】(1)

由余弦定理可得角，由两角差的正切公式可得，进而；(2)

化简后，将看成变量，则为一个开口向下的二次函数，根据可得有最大值.(1)，∴，，∵,∴，又∵∴.(2)，∵，∴，，∴当时，有最大值.【二层练综合】一、单选题1．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得,进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果.【详解】因为，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故选：B.二、多选题2．（2022春·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的图象关于点对称B．函数在单调递增C．函数在上的值域为D．把函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象【答案】BC【分析】先化简整理函数，再利用正弦函数的图像与性质依次判断各选项，从而得到答案.【详解】函数对于A，当时，，故图像不关于点对称，故A错误；对于B，由得，当时，知函数在单调递增，故B正确；对于C，由，知，由正弦函数性质知，，故C正确；对于D，函数的图象向左平移个单位长度可得到函数，故D错误；故选：BC【点睛】方法点睛：函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.三、填空题3．（2022·高一课时练习）已知，是方程的两根，则.【答案】【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得，，再运用余弦、正弦和和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.【详解】解：由已知得，，.故答案为：.四、解答题4．（2022秋·全国·高一期末）已知，．(1)求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.【详解】（1）解：因为，，又，所以，所以.（2）解：因为，，又因为，所以，由（1）知，，所以．因为，，则，所以．【三层练能力】一、多选题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件一定能够使为等腰三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用余弦定理和题给条件即可得到为等腰三角形，进而肯定选项A；利用余弦定理两角差的正弦公式和题给条件即可得到为等腰三角形或直角三角形，进而否定选项B；利用两角和与差的余弦公式及题给条件即可得到为等腰三角形，进而肯定选项C；利用正弦定理均值定理和题给条件即可得到为等腰三角形，进而肯定选项D.【详解】选项A：由，可得整理得，则，则为等腰三角形.判断正确；选项B：由可得则整理得，即或则为等腰三角形或直角三角形.判断错误；选项C：由，可得则，则又，则，则为等腰三角形.判断正确；选项D：由，可得，由（当且仅当时等号成立），可得则，又，则，则.判断正确.故选：ACD二、填空题2．（2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围